プッシュフォワード（差動）

Linear approximation of smooth maps on tangent spaces

写像φが多様体M上のすべての点を多様体Nに運ぶ場合、 φの押し進めにより、Mのすべての点における接空間のベクトルがNのすべての点における接空間に運ばれます。

微分幾何学において、プッシュフォワードは、接空間上の滑らかな写像（定式化多様体）の線型近似です。が滑らかな多様体の間の滑らかな写像であるとすると、と表記される点 におけるの微分は、ある意味で の近くの の最良線型近似になります。 これは、通常の微積分における全微分の一般化と見ることができます。明示的には、微分はにおけるの接空間から、におけるの接空間への線型写像です。したがって、これを使用して上の接ベクトルを上の接ベクトルに押し進めることができます。写像の微分は、さまざまな著者によって の導関数または全微分とも呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}\colon T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

モチベーション

をの開部分集合から の開部分集合への滑らかな写像とする。の任意の点について、におけるのヤコビアン（標準座標に関する）は における の全微分の行列表現であり、これは線型写像である。 ${\displaystyle \varphi :U\to V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}:T_{x}\mathbb {R} ^{m}\to T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$

それらの接空間の間にある。これらの接空間はそれぞれ、およびに同型であることに注意されたい。プッシュフォワードは、この構成を、任意の滑らかな多様体との間の滑らかな関数がの場合に一般化する。 ${\displaystyle T_{x}\mathbb {R} ^{m},T_{\varphi (x)}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

滑らかな地図の微分

を滑らかな多様体の滑らかな写像とする。におけるの微分が線型写像であるとき、 ${\displaystyle \varphi \colon M\to N}$ ${\displaystyle x\in M,}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\colon \ T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,}$

におけるの接空間からにおけるの接空間へ。による接ベクトルの像は、による の押し出しと呼ばれることもあります。この押し出しの正確な定義は、接ベクトルに使用する定義によって異なります (さまざまな定義については、接空間を参照してください)。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi (x).}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}X}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi .}$

接ベクトルが曲線の同値類として定義され、その微分は次のように与えられる。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$

${\displaystyle d\varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).}$

ここで、はの曲線であり、は における曲線の接線ベクトルである。言い換えれば、 における曲線の接線ベクトルの押し出しは、における曲線の接線ベクトルである。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x,}$ ${\displaystyle \gamma '(0)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varphi \circ \gamma }$ ${\displaystyle 0.}$

あるいは、接ベクトルが滑らかな実数値関数に作用する微分として定義される場合、微分は次のように与えられる。

${\displaystyle d\varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi ),}$

任意の関数と点における任意の微分に対して（微分はライプニッツ則を満たす線型写像として定義されます。「微分による接空間の定義」を参照してください）。定義により、 の押し出しはにおいてであり、したがってそれ自体が微分である。 ${\displaystyle f\in C^{\infty }(N)}$ ${\displaystyle X\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle X\colon C^{\infty }(M)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$ ${\displaystyle d\varphi _{x}(X)\colon C^{\infty }(N)\to \mathbb {R} }$

2つのチャートを選んだ後、と の開集合の間の滑らかな写像によって の周囲が局所的に決定され、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi (x),}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle d\varphi _{x}\left({\frac {\partial }{\partial u^{a}}}\right)={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

アインシュタインの総和記法では、偏導関数は与えられたチャートのに対応するの点で評価されます。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$

線形性によって拡張すると次の行列が得られる。

${\displaystyle \left(d\varphi _{x}\right)_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\widehat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

したがって、微分は、各点における滑らかな写像に関連付けられた、接空間間の線型変換である。したがって、選択された局所座標において、これは からへの対応する滑らかな写像のヤコビ行列で表される。一般に、微分は必ずしも逆変換可能である必要はない。しかし、 が局所微分同相写像である場合、 は逆変換可能であり、逆変換はの引き戻しを与える。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle d\varphi _{x}}$ ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N.}$

微分は、次のようなさまざまな表記法で表現されることが多い。

${\displaystyle D\varphi _{x},\left(\varphi _{*}\right)_{x},\varphi '(x),T_{x}\varphi .}$

定義から、合成写像の微分は微分（すなわち、関数的振る舞い）の合成であることが分かります。これは滑らかな写像の連鎖律です。

また、局所微分同相写像の微分は接空間の線型同型です。

接束上の微分

滑らかな写像の微分は、明らかな方法で、の接バンドルから の接バンドルへのバンドル写像（実際にはベクトルバンドル準同型）を誘導します。これはで表され、次の可換図に適合します。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$

ここで、およびはそれぞれ、およびの接バンドルのバンドル投影を表します。 ${\displaystyle \pi _{M}}$ ${\displaystyle \pi _{N}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$からプルバックバンドルφ ^∗ TNへのバンドル写像を誘導し、 ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle (m,v_{m})\mapsto (\varphi (m),\operatorname {d} \!\varphi (m,v_{m})),}$

ここで、 であり、 である。後者の写像は、ベクトル束Hom( TM , φ ^∗ TN )のM上の切断と見ることができる。この束写像は とも表記され、接写像とも呼ばれる。このように、は関手 である。 ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle v_{m}\in T_{m}M.}$ ${\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi }$ ${\displaystyle T\varphi }$ ${\displaystyle T}$

ベクトル場の推進

滑らかな写像φ  : M → NとM上のベクトル場 Xが与えられた場合、 φによるXの押し出しをN上の何らかのベクトル場Yと同一視することは通常不可能である。例えば、写像φが射影的でない場合、 φの像の外側でそのような押し出しを自然に定義する方法はない。また、φが単射的でない場合、与えられた点において複数の押し出しの選択肢が存在する可能性がある。しかしながら、写像に沿ったベクトル場の概念を用いることで、この困難を明確にすることができる。

φ ^∗ TNのM上への切断は、 φに沿ったベクトル場と呼ばれる。例えば、MがNの部分多様体であり、φ が包含である場合、φに沿ったベクトル場はNの接束のMに沿った切断に等しい。特に、M上のベクトル場は、 TMをTNに包含することにより、そのような切断を定義する。この考え方は、任意の滑らかな写像にも一般化できる。

XがM上のベクトル場、すなわちTMの切断であるとする。すると、上記の意味で、φ _∗ Xが生成される。これはφに沿ったベクトル場、すなわちM上のφ ^∗ TNの切断である。 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi \circ X}$

N上の任意のベクトル場Y は、 ( φ ^∗ Y ) _x = Y _{φ ( x )}を満たすφ ^∗ TNのプルバック断面φ ^∗ Yを定義する。M上のベクトル場XとN上のベクトル場Yは、 φに沿ったベクトル場としてφ _∗ X = φ ^∗ Yが成り立つとき、 φ関係にあるという。言い換えれば、M上の任意のxに対して、dφ _x ( X ) = Y _{φ ( x )}が成り立つ。

状況によっては、M上のベクトル場Xが与えられたとき、 Xとφ関係にあるN上のベクトル場Yが唯一存在する。これは特にφが微分同相写像であるときに当てはまる。この場合、プッシュフォワードはN上のベクトル場Yを定義し、これは次のように与えられる。

${\displaystyle Y_{y}=\phi _{*}\left(X_{\phi ^{-1}(y)}\right).}$

より一般的な状況は、φが射影的な場合（例えばファイバー束の束射影）に生じる。このとき、 M上のベクトル場Xが射影可能であるとは、 Nの任意のyに対して、dφ _x ( X _x ) がφ ⁻¹ ({ y })におけるxの選択に依存しないことを意味する。これはまさに、 N上のベクトル場としてのXの押し出しが適切に定義されることを保証する条件である。

例

リー群上の乗算からの前進

リー群 が与えられれば、乗法写像 を用いて左乗法写像と右乗法写像を得ることができます。これらの写像は、 の原点における接空間（その付随リー代数）から上の左または右の不変ベクトル場 を構築するために使用できます。例えば、 が与えられ、任意のに対して によって定義される上の付随ベクトル場が得られます。これは、プッシュフォワード写像の曲線定義を用いて容易に計算できます。が に関して一定であるため、となる曲線がある場合、 が得られます 。これは、接空間を と解釈できることを意味します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m(-,-):G\times G\to G}$ ${\displaystyle L_{g}=m(g,-)}$ ${\displaystyle R_{g}=m(-,g)}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{g}=(L_{g})_{*}(X)\in T_{g}G}$$ ${\displaystyle g\in G}$ $${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to G}$$ $${\displaystyle \gamma (0)=e\,,\quad \gamma '(0)=X}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(L_{g})_{*}(X)&=(L_{g}\circ \gamma )'(0)\\&=(g\cdot \gamma (t))'(0)\\&={\frac {dg}{dt}}\gamma (0)+g\cdot {\frac {d\gamma }{dt}}(0)\\&=g\cdot \gamma '(0)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle T_{g}G}$ ${\displaystyle T_{g}G=g\cdot T_{e}G=g\cdot {\mathfrak {g}}}$

いくつかのリーグループの推進

例えば、ハイゼンベルク群が行列で与えられる 場合、そのリー代数は行列の集合で与えられます。これは、 (i行j列)の上位行列要素の1つに任意の実数を与える経路を見つけることができるためです。すると、に対しては、元の行列の集合と等しいものとなります。これは常に当てはまるとは限りません。例えば、群ではリー代数は行列の集合として与えられます。したがって、ある行列に対しては、同じ行列の集合ではないものとなります。 ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle H=\left\{{\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ ${\displaystyle \gamma :(-1,1)\to H}$ ${\displaystyle i<j}$ $${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle T_{g}H=g\cdot {\mathfrak {h}}=\left\{{\begin{bmatrix}0&a&b+2c\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}}:a,b,c\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle G=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&1/a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\}}$$ $${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\left\{{\begin{bmatrix}a&b\\0&-a\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$ $${\displaystyle g={\begin{bmatrix}2&3\\0&1/2\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle T_{g}G=\left\{{\begin{bmatrix}2a&2b-3a\\0&-a/2\end{bmatrix}}:a,b\in \mathbb {R} \right\}}$$

参照

• プルバック（微分幾何学）
• フローベースの生成モデル

参考文献

• Lee, John M. (2003).滑らかな多様体入門. Springer Graduate Texts in Mathematics. 第218巻.
• ヨスト、ユルゲン (2002). 『リーマン幾何学と幾何学解析』 ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 3-540-42627-2。 セクション1.6を参照してください。
• アブラハム、ラルフ、マースデン、ジェロルド・E. (1978). 『力学の基礎』ロンドン: ベンジャミン・カミングス. ISBN 0-8053-0102-X。 セクション1.7と2.3を参照してください。

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