ピタゴラスの三つ組

Integer side lengths of a right triangle

最小のピタゴラス数列3 ² + 4 ² = 5 ^{2を示すアニメーション}

ピタゴラス数列は、 3つの正の整数 a、b、cから成り、a ² + b ² = c ²が成り立ちます。このような数列は一般的に( a、b、c )と表記され、よく知られている例としては(3, 4, 5)があります。( a、b、c )がピタゴラス数列であれば、任意の正の整数kに対して( ka、kb、kc )もピタゴラス数列です。辺の長さがピタゴラス数列である三角形は直角三角形であり、ピタゴラス三角形と呼ばれます。

原始ピタゴラス数列は、 a、b、cが互いに素である（つまり、 1 より大きい公約数を持たない）数列です。 ^[1]たとえば、(3, 4, 5)は原始ピタゴラス数列ですが、(6, 8, 10)はそうではありません。すべてのピタゴラス数列は、 ( a、b、c )を最大公約数で割ることで、一意の原始ピタゴラス数列にスケーリングできます。逆に、すべてのピタゴラス数列は、原始ピタゴラス数列の要素に正の整数（3 つの要素に対して同じ）を掛けることで得られます。

ピタゴラスの定理に由来する名前は、すべての直角三角形の辺の長さが式 を満たすというものです。したがって、ピタゴラス三倍体は、直角三角形の3つの整数の辺の長さを表します。ただし、辺の長さが整数でない直角三角形はピタゴラス三倍体を形成しません。例えば、辺が と である三角形は直角三角形ですが、2の平方根は整数ではないため、ピタゴラス三倍体ではありません。さらに、 は無理数 であるため、と は整数の公倍数を持ちません。 ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ${\displaystyle a=b=1}$ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ピタゴラス算数は古代から知られていました。最古の記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板「プリンプトン322」に記されており、 60進法で記されています。^[2]

整数解を求める場合、方程式 a ² + b ² = c ²はディオファントス方程式です。したがって、ピタゴラス数列は非線形ディオファントス方程式の最も古い既知の解の一つです。

例

aとbが6000未満の最初のピタゴラス数列の辺 ( a , b ) の散布図。放物線状のパターンを示すために負の値も含められている。「放射線」は、 ( a , b , c )がピタゴラス数列であるならば、(2 a , 2 b , 2 c )、(3 a , 3 b , 3 c ) 、そしてより一般的には、任意の正の整数kに対して( ka , kb , kc )もピタゴラス数列であるという事実から生じている。

100 までの原始ピタゴラス数列は 16 個あります。

（3、4、5）	（5、12、13）	（8、15、17）	（7、24、25）
（20、21、29）	（12、35、37）	（9、40、41）	（28、45、53）
（11、60、61）	（16、63、65）	（33、56、65）	（48、55、73）
（13、84、85）	（36、77、85）	（39、80、89）	（65、72、97）

(6, 8, 10) などのその他の小さなピタゴラス数列は原始数ではないためリストされていません。たとえば、(6, 8, 10) は (3, 4, 5) の倍数です。

これらの各ポイント（およびその倍数）は、右側の散布図で放射状の線を形成します。

以下は、300 までの残りの原始ピタゴラス数列です。

（20、99、101）	（60、91、109）	（15、112、113）	（44、117、125）
（88、105、137）	（17、144、145）	（24、143、145）	（51、140、149）
（85、132、157）	（119、120、169）	（52、165、173）	（19、180、181）
（57、176、185）	（104、153、185）	（95、168、193）	（28、195、197）
（84、187、205）	（133、156、205）	（21、220、221）	（140、171、221）
（60、221、229）	（105、208、233）	（120、209、241）	（32、255、257）
（23、264、265）	（96、247、265）	（69、260、269）	（115、252、277）
（160、231、281）	（161、240、289）	（68、285、293）

トリプルの生成

ユークリッドの公式

メートル=	2
n =	1 :
ア=	3
b =	4
c =	5

原始ピタゴラス数列。奇数辺aは横軸に、偶数辺bは縦軸にプロットされている。曲線グリッドは、ユークリッドの公式における定数m − nと定数m + nの曲線で構成される。

ユークリッドの公式によって生成される三項プロットは、z ² = x ² + y ²円錐の一部を描きます。定数mまたはnは、円錐上の放物線の一部を描きます。

ユークリッドの公式^{[3]は、任意の整数}mとn（m > n > 0）のペアが与えられたときに、ピタゴラス数列を生成するための基本公式である。この公式によれば、整数は

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$

ピタゴラスの三つ組を形成する。例えば、整数

${\displaystyle m=2,\ \,n=1}$

プリミティブトリプル（3, 4, 5）を生成する。

${\displaystyle a=2^{2}-1^{2}=3,\ \,b=2\times 2\times 1=4,\ \,c=2^{2}+1^{2}=5.}$

ユークリッドの公式によって生成される三つ組は、mとnが互いに素で、かつそのうちの一方が偶数である場合にのみ原始的である。mとnが両方とも奇数の場合、a 、 b 、cは偶数となり、三つ組は原始的ではない。しかし、 mとnが互いに素である場合、 a、b、cを2で割ると原始的三つ組が得られる。^[4]

すべての原始ピタゴラス数列は（ aとbの交換後、 a が偶数の場合）、互いに素な数m、n の唯一のペアから生じ、そのうちの1つは偶数です。したがって、原始ピタゴラス数列は無限に存在します。ユークリッドの公式における a 、 b 、 c と m 、 n の関係は、この記事の残りの部分で参照されます。

ユークリッドの公式はすべての基本三項を生成するにもかかわらず、すべての三項を生成するわけではない。例えば、(9, 12, 15)は整数mとnを使って生成することはできない。これは、公式に 追加のパラメータkを挿入することで解決できる。すべてのピタゴラス三項は、

${\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}$

ここで、 m、n、k は、 m > n を満たす正の整数であり、mとnは互いに素であり、両方とも奇数ではありません。

これらの式がピタゴラス数列を生成することは、初等代数を用いてa ² + b ²を展開し、結果がc ²に等しいことを検証することで検証できます。すべてのピタゴラス数列は整数kで割ることで原始数列を得ることができるため、 mとnを用いた式を用いて原始数列を生成し、最後の式のようにkを掛け合わせることで、すべての数列を一意に生成できます。

特定の整数列からmとnを選ぶと、興味深い結果が得られます。例えば、mとnが連続するペル数である場合、aとbの差は1になります。^[5]

ユークリッドの時代以来、特定の特性を持つ三つ組を生成するための多くの公式が開発されてきました。

ユークリッドの公式の証明

ユークリッドの公式がa、b、cを満たすことで三角形がピタゴラス三角形となることは、正の整数mとn（m > n）に対して、公式によって与えられるa、b、cがすべて正の整数であるという事実と、

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=c^{2}.}$

あらゆる原始ピタゴラス数列に対してa、b、c がユークリッドの公式で表現される必要があることの証明は、次のとおりです。 ^{[6]このような原始数列はすべて}( a、b、c )と表記でき、a ² + b ² = c ²であり、a 、 b、cは互いに素です。したがって、 a、b、cは互いに素です(素数がそのうちの 2 つを割り切る場合、3 つ目の数も割り切れる必要があります)。a と b は互いに素であるため、少なくともそのうちの 1 つは奇数です。a が奇数であるとすると、 bは偶数で、cは奇数です ( aとb の両方が奇数であれば、c は偶数になり、c ^{2 は}4 の倍数になり、a ² + b ²は 4 を法として2 に合同になります。これは、奇数の平方が 4 を法として 1 に合同であるのと同じです)。

aは奇数であると仮定します。したがって、 が得られ、したがってが有理数なので、最小の項で に等しくします。したがっては の逆数なので、 を解くと ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$ ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}}$ ${\displaystyle (c-a)(c+a)=b^{2}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}={\tfrac {b}{(c-a)}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c-a)}{b}}={\tfrac {n}{m}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {(c+a)}{b}}.}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\quad \quad {\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}}$

のために、そして与える ${\displaystyle {\tfrac {c}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}+{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn}},\quad \quad {\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {m}{n}}-{\frac {n}{m}}\right)={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.}$

が完全に約分されているため、mとn は互いに素であり、両方が偶数になることはありません。両方が奇数の場合、分子は4 の倍数になります (奇数の平方は 4 を法として 1 と合同であるため)。また、分母の 2 mn は4 の倍数ではありません。4 は分子に含まれる最小の偶数因数であり、2 は分母に含まれる最大の偶数因数であるため、a は奇数として定義されているにもかかわらず、偶数になります。したがって、 mとnの一方が奇数でもう一方が偶数であり、分母が 2 mnである 2 つの分数の分子は奇数です。したがって、これらの分数は完全に約分されます (この分母を割り切る奇数の素数は、mとnの一方を割り切れますが、もう一方は割り切れません。したがって、 m ² ± n ²を割り切れません)。したがって、分子と分子、分母と分母を等しくすることで、ユークリッドの公式が得られます。 ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}$mとn は互いに素であり、偶奇が逆である。

より長いが、より一般的な証明はMaor (2007) ^[7]とSierpiński (2003) ^[8]に示されている。別の証明は、ディオファントス方程式§ピタゴラス三つ組の例で、2次の同次ディオファントス方程式すべてに適用される一般的な方法の例として示されている。

ユークリッドの公式におけるパラメータの解釈

ピタゴラス三角形の辺の長さがそれぞれm ² − n ²、2 mn、m ² + n ^{2であり、長さ}m ² − n ²の辺と長さm ² + n ²の斜辺の間の角度をβとすると、全角三角関数の値は、、 となる。 [ ^9] ${\displaystyle \tan {\tfrac {\beta }{2}}={\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle \cos {\beta }={\tfrac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}}$ ${\displaystyle \tan {\beta }={\tfrac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}}$

変種

ユークリッドの式の次の変形は、mとnに関してより対称的であるため ( mとnに対して同じ偶奇条件)、より便利な場合があります。

mとnがm > nとなるような奇数整数である場合、

${\displaystyle a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}},\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}}$

はピタゴラス数列を形成する3つの整数であり、 mとnが互いに素である場合にのみ原始ピタゴラス数列となる。逆に、すべての原始ピタゴラス数列は（ aが偶数の場合、aとbを入れ替えた後）、互いに素である奇数の唯一のペアm > n > 0から生じる。

交換しない1つのそしてb

上記のプレゼンテーションでは、すべてのピタゴラス数列はユークリッドの公式から「a が偶数の場合、a と b を入れ替えた後」に一意に得られると述べられています。ユークリッドの公式と上記の変形を以下のように統合することで、この入れ替えを回避でき、以下の結果が得られます。

あらゆる原始ピタゴラス数列は一意に表すことができる

${\displaystyle a=2\varepsilon mn,\quad b=\varepsilon (m^{2}-n^{2}),\quad c=\varepsilon (m^{2}+n^{2}),}$

ここで、mとnは互いに素な正の整数であり、mとnが両方とも奇数の場合、そうでない場合。同様に、aが奇数の場合、aが偶数の場合も同様である。 ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$

原始ピタゴラス数列の基本的性質

一般的な特性

原始ピタゴラス数列( a、b、c )においてa < b < c ( aとbのどちらが偶数でどちらが奇数かを指定しない)の特性には次のものがあります。

• ${\displaystyle {\tfrac {(c-a)(c-b)}{2}}}$は常に完全な正方形である^[10]。実際、それは関連する直角三角形の内接円の2乗に等しい。 ^[要出典]
• a、b、cのうち最大で1つが正方形である。^[11]
• ピタゴラス三角形の面積は整数の平方^{[12] : p. 17}または平方^{[12] : p. 21 の2倍にはならない。}
• a、bのうち必ず1つは2で割り切れる（偶数）であり、斜辺cは常に奇数である。^[13]
• aとbのうちのどちらか一方は3で割り切れるが、c は3で割り切れない。[ 14 ^{] [8] : 23–25}
• a、bのうち確実に1つは4で割り切れるが、^[8] cは4で割り切れない（cが偶数にならないため）。
• a、b、cのうち1つだけが5で割り切れる。^[8]
• abcを常に割り切れる最大の数は60です。^[15]
• 2 m +1の形をとる奇数（ただしmは整数でm >1）は、原始ピタゴラス数列の奇数となることができます。以下の「ほぼ二等辺の原始ピタゴラス数列」のセクションを参照してください。ただし、原始ピタゴラス数列の偶数となるのは4で割り切れる偶数のみです。これは、上記のユークリッドの偶数となる公式が2 mnであり、 mまたはnのいずれかが偶数でなければならないためです。
• 斜辺c（常に奇数）は2つの平方数の和である。これは、そのすべての素因数が4 n + 1の形の素数であることを必要とする。^{[16]したがって、 c は}4 n + 1の形をとる。原始ピタゴラス数列の可能な斜辺数の列は、（ OEISの列A008846 ）に示されている。
• 面積（K = ab /2）は6で割り切れる合同な数^[17]である。
• すべてのピタゴラス三角形において、内接円の半径と3つの外接円の半径は正の整数である。具体的には、原始三辺形において、内接円の半径はr = n ( m − n ) であり、辺m 2 − n 2、2mn 、斜辺m ² + n ²に対向する^外接円の^半径はそれぞれm ( m − n )、n ( m + n )、m ( m + n )である。^[18]
• 直角三角形の場合、タレスの定理の逆により、外接円の直径は斜辺に等しくなります。したがって、原始三つ組の場合、外接円の直径はm ² + n ²であり、外接半径はその半分となり、有理数ですが整数ではありません ( mとn は逆の偶奇性を持つため)。
• ピタゴラス三角形の面積に内接円と3つの外接円の曲率を掛けると、それぞれ4つの正の整数w > x > y > zが得られる。整数− w、x、y、z はデカルトの円方程式を満たす。^{[19]同様に、任意の直角三角形の}外側のソディ円の半径はその半周に等しい。外側のソディ中心はDに位置し、ここでACBDは長方形、ACB は直角三角形、AB は斜辺である。^{[19] : p. 6}
• 原始ピタゴラス数列の2辺だけが同時に素数になることができる。これは、原始ピタゴラス数列を生成するユークリッドの公式によれば、1つの辺は合成数かつ偶数でなければならないためである。^[20]しかし、1辺だけが完全累乗の整数になることができる。なぜなら、2辺が等しい指数を持つ完全累乗の整数である場合、、およびが互いに素であるディオファントス方程式に整数解が存在しないという事実と矛盾するからである。^[21] ${\displaystyle p\geq 2}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ピタゴラス三角形の斜辺と一方の辺が別のピタゴラス三角形の辺であるようなものは存在しない。これはフェルマーの直角三角形の定理の同値な形式の一つである。^{[12] : p. 14}
• それぞれの原始ピタゴラス三角形は面積Kと半周の二乗sの比を持ち、これはその三角形自体に固有であり、 ^[22]で与えられる。

${\displaystyle {\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(m-n)}{m(m+n)}}=1-{\frac {c}{s}}.}$

• 原始ピタゴラス三角形は斜辺からの高さが整数ではありません。つまり、すべての原始ピタゴラス三角形は分解不可能です。^[23]
• すべての原始ピタゴラス数列の集合は、自然な方法で根付き三分木を形成します。 「原始ピタゴラス数列のツリー」を参照してください。
• ピタゴラス三角形の鋭角はどちらも有理数度にはなり得ない。^{[24] （これは}ニーヴンの定理 から導かれる。）

特殊なケース

さらに、特定の追加特性を持つ特別なピタゴラス数列が存在することが保証されます。

• 2 より大きい整数で2 mod 4 と合同でない整数（言い換えれば、4 k + 2の形ではない2 より大きい整数）はすべて、原始ピタゴラス数列の一部です。（整数が4 kの形をしている場合は、ユークリッドの公式でn = 1、m = 2 kとすることができます。整数が2 k + 1の場合は、 n = k、 m = k + 1とすることができます。）
• 2より大きい整数はすべて、原始ピタゴラス数列または非原始ピタゴラス数列の一部です。例えば、整数6、10、14、18は原始ピタゴラス数列の一部ではありませんが、非原始ピタゴラス数列(6、8、10)、(14、48、50)、(18、80、82)の一部です。
• ピタゴラス数列において、斜辺と最長辺の差がちょうど1であるものは無限に存在する。このような数列は必然的に原始数列であり、(2 n + 1, 2 n ² + 2 n , 2 n ² + 2 n +1)の形をとる。これはユークリッドの公式から導き出される結果であり、この条件は数列が原始数列であることを意味し、( m ² + n ² ) - 2 mn = 1を満たす必要があることを示している。これは( m - n ) ² = 1を意味し、したがってm = n + 1となる。したがって、ユークリッドの公式のn + 1をmに置き換えると、上記の数列が得られる。
• 斜辺と最長辺の差がちょうど2である原始ピタゴラス数列は無限に存在します。これらはすべて原始数列であり、ユークリッドの公式にn = 1を代入することで得られます。より一般的には、任意の整数k > 0に対して、斜辺と奇数辺の差が2 k ²である原始ピタゴラス数列が無限に存在します。これらはユークリッドの公式にn = kを代入することで得られます。
• 2つの辺の差がちょうど1であるピタゴラス数列は無限に存在する。例えば、20 ² + 21 ² = 29 ²である。これはユークリッドの公式によって生成され、が収束する。 ${\displaystyle {\tfrac {m-n}{n}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$
• それぞれの正の整数kに対して、斜辺が異なり面積が同じk 個のピタゴラス数列が存在します。
• それぞれの正の整数kに対して、同じ脚aを持つk 個以上の異なる原始ピタゴラス数列が存在する（aは何らかの正の整数である（偶数脚の長さは 2 mnであり、 a を因数分解で複数選択すれば十分である。例えばa = 4 bで、bはk 個の異なる奇数の素数の積である。これにより、少なくとも2 ^{k 個の}異なる原始数列が生成される）。^{[8] : 30}
• それぞれの正の整数kに対して、同じ斜辺を持つ少なくともk個^{の異なるピタゴラス数列が存在する。 [8] : 31}
• c = p ^{e が}素数累乗である場合、 素数p が4 n + 1の形式を持つときに限り、原始ピタゴラス数列a ² + b ² = c ² が存在します。この数列は、 aとbの交換を除いて一意です。
• より一般的には、正の整数cが原始ピタゴラス数列の斜辺となるのは、cの各素因数が4 を法として1と合同となる場合、すなわち各素因数が4 n + 1の形をとる場合である。この場合、 a < bとなる原始ピタゴラス数列( a , b , c )の数は2 ^{k −1}であり、ここでkはcの異なる素因数の数である。^[25]
• ピタゴラス数列は、斜辺cと辺a + bの和がともに平方数となる無限数が存在する。フェルマーによれば、そのような最小の数列^[26]は、辺a = 4,565,486,027,761、辺 b = 1,061,652,293,520、辺c = 4,687,298,610,289である。ここで、 a + b = 2,372,159 ²、辺c = 2,165,017 ^{2である。これは、ユークリッドの公式においてパラメータ値}m = 2,150,905、辺n = 246,792を用いて生成される。
• 斜辺からの高度が整数である非原始ピタゴラス三角形が存在する。^{[27] [28]}このようなピタゴラス三角形は、この高度に沿って2つの別々の小さなピタゴラス三角形に分割できるため、分解可能として知られている。 ^[23]

ユークリッドの公式の幾何学

単位円上の有理点

3,4,5は単位円上のx,y点(4/5,3/5)にマッピングされます。

円上の有理点は、立体投影においては、直線上の有理点に対応します。

ユークリッドのピタゴラス数列の公式

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$

単位円上の有理点の幾何学の観点から理解することができる(Trautman 1998)。

実際、座標( x , y )を持つ直交平面上の点は、 x ² + y ² = 1のとき単位円に属します。その点は、xとyが有理数、つまり 互いに素な整数a、b、cが存在し、

${\displaystyle {\biggl (}{\frac {a}{c}}{\biggr )}^{2}\!+{\biggl (}{\frac {b}{c}}{\biggr )}^{2}=1.}$

両方の要素にc ²を掛けると、円上の有理点が原始ピタゴラス数列と 1 対 1 に対応していることがわかります。

単位円は媒介変数方程式によって定義されることもある。

${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}$

ユークリッドのピタゴラス数列の公式と逆関係t = y / (1 + x )は、 (-1, 0)を除き、円上の点( x , y )が有理数となるのは、対応するtの値が有理数である場合に限ることを意味します。t = y / (1 + x ) = b / ( c + a ) = n / mは、長さbの三角形の辺に対向する角度の半分の正接でもあることに注意してください。

立体投影法

単位円のx軸への立体射影。単位円上の点Pから点 N = (0, 1)（北極）まで直線を引きます。直線が x 軸と交差する点 P ′ がPの立体射影です。逆に、 x軸上の点P ′ からP ′ まで直線を引くと、その直線が単位円と交差する点P が逆立体射影となります。

有理座標を持つ単位円上の点と原始ピタゴラス三元数との間には対応関係がある。この時点で、ユークリッドの公式は三角法、あるいは等価的に立体射影を用いて導くことができる。

立体的アプローチでは、P ′がx軸上の有理座標の点であると仮定する。

${\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}$

すると、基本的な代数によって点Pの座標が

${\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}$

これにより、 x軸上の各有理点は単位円上の有理点に写ることが証明される。逆に、単位円上のすべての有理点はx軸上のそのような点から来ることは、逆ステレオ射影を適用することによって導かれる。P ( x , y )がxとyが有理数である単位円上の点であるとする。すると、 x軸へのステレオ射影によって得られる点P ′ の座標は

${\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}$

それは合理的です。

代数幾何学において、単位円上の有理点の代数多様体は、有理数上のアフィン直線に対して双有理的である。したがって、単位円は有理曲線と呼ばれ、この事実により、有理関数を用いて単位円上の（有理数）点を明示的にパラメータ化することができる。

2次元格子内のピタゴラス三角形

2D格子は孤立した点の規則的な配列であり、任意の 1 点をデカルト原点 (0, 0) として選択すると、他のすべての点は( x、y )にあり、xとyはすべての正と負の整数にわたります。 3 つの要素( a、b、c )を持つ任意のピタゴラス三角形は、座標(0, 0)、( a、 0)、(0, b )を頂点とする 2D 格子内に描画できます。 三角形の境界内に厳密に存在する格子点の数は   ^[29]で与えられます。 原始ピタゴラスの 3 つの要素の場合、この内部格子数は です。  面積 (ピックの定理により、内部格子数から 1 を引いた値に境界格子数の半分を加えた値) は です   。 ${\displaystyle {\tfrac {(a-1)(b-1)-\gcd {(a,b)}+1}{2}};}$ ${\displaystyle {\tfrac {(a-1)(b-1)}{2}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {ab}{2}}}$

面積を共有する2つの原始ピタゴラス数列は、辺が(20, 21, 29)、(12, 35, 37)で面積が210である三角形で初めて出現する（OEISの配列A093536 ）。内部格子数が2つの原始ピタゴラス数列と同じであるのは、(18108, 252685, 253333)、(28077, 162964, 165365)で内部格子数が2287674594である三角形で初めて出現する（OEISの配列A225760）。同じ面積を共有する 3 つの原始ピタゴラス数列が発見されています: (4485, 5852, 7373)、(3059, 8580, 9109)、(1380, 19019, 19069)、面積は 13123110 です。今のところ、同じ内部格子数を共有する 3 つの原始ピタゴラス数列のセットは見つかっていません。

原始ピタゴラス数列の列挙

ユークリッドの公式により、すべての原始ピタゴラス数列は、 、奇数、の整数およびから生成できます。したがって、が区間 にあり、 が奇数である原始ピタゴラス数列には、有理数 (最低項) から 1 対 1 のマッピングが存在します。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m>n>0}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle \gcd(m,n)=1.}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle m+n}$

原始的な3つ組から有理数への逆写像は、2つの和とを研究することによって達成されます。これらの和の1つは、等しい平方数となり、もう1つは、等しい平方数の2倍となります。次に、有理数を決定することができます。 ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle c>b>a>0}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}}$ ${\displaystyle a+c}$ ${\displaystyle b+c.}$ ${\displaystyle (m+n)^{2}}$ ${\displaystyle 2m^{2}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{m}}.}$

原始ピタゴラス数列を列挙するために、有理数は順序付き対として表現され、カントールの対関数のような対関数を用いて整数に写像される。例は（OEISのシーケンスA277557）に示されている。それは次のように始まる。 ${\displaystyle (n,m)}$

${\displaystyle 8,18,19,32,33,34,\dots }$そして有理数を与える

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {2}{5}},{\tfrac {1}{6}},\dots }$これらは、今度は原始的なトリプルを生成する。

${\displaystyle (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17),(7,24,25),(20,21,29),(12,35,37),\dots }$

スピノルとモジュラー群

ピタゴラス数列も同様に次の形式の正方行列に符号化することができる。

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.}$

この形式の行列は対称行列である。さらに、Xの行列式は

${\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}\,}$

これは、 ( a , b , c )がピタゴラス数列のとき、まさにゼロになります。Xがピタゴラス数列に対応する場合、行列としての階数は1でなければなりません。

Xは対称なので、線型代数 の 結果から、^外積が

${\displaystyle X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}[m\ n]=2\xi \xi ^{T}\,}$

1

が成り立ち、ここでTは行列の転置を表す。ξと-ξは同じピタゴラス数列を生成するので、ベクトルξはスピノルとみなすことができる（ローレンツ群SO(1, 2)の場合）。抽象的な言葉で言えば、ユークリッド公式は、各原始ピタゴラス数列が、( 1 )のように整数要素を持つスピノルのそれ自身との外積として表せることを意味する。

モジュラー群Γは整数要素を持つ2×2行列の集合である。

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}$

行列式が1である：αδ − βγ = 1。この集合は群を形成する。なぜなら、Γの行列の逆行列は再びΓに含まれ、Γの2つの行列の積もΓに含まれるからである。モジュラー群はすべての整数スピノルの集合に作用する。さらに、この群は互いに素な要素を持つ整数スピノルの集合に対して推移的である。[ m n ] ^Tが互いに素な要素を持つ場合、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}}$

ここで、uとv は（ユークリッドのアルゴリズムによって）mu + nv = 1となるように選択されます。

( 1 )のスピノル ξ に作用することで、 Γ の作用はピタゴラス数列への作用へと変化する。ただし、負の成分を持つ可能性のある数列も許容する。したがって、AがΓの行列ならば、

${\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T}\,}$

2

は、（1 ）の行列Xへの作用を生じる。これは、原始三つ組への明確に定義された作用を与えない。なぜなら、原始三つ組が非原始三つ組になることがあるからである。この時点で（Trautman 1998に従って）、c > 0かつ（a、b、c）が互いに素であるか、 （a /2、b /2、c /2）が互いに素でa /2が奇数である場合、三つ組（a、b、c ）を標準と呼ぶのが便利である。スピノル[ mn ] ^Tが互いに素な要素を持つ場合、（1 ）によって決定される関連する三つ組（a、b、c）は標準三つ組である。したがって、モジュラー群の作用は、標準三つ組の集合上で推移的である。

あるいは、 mが奇数でnが偶数となるようなmとnの値に注目する。Γの部分群Γ(2)を群準同型性の核とする。

${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2})}$

ここでSL(2, Z ₂ )は2 を法とする整数の有限体Z ₂上の特殊線型群である。Γ(2) は各要素の偶奇性を保存するユニモジュラ変換の群である。したがって、 ξ の最初の要素が奇数で、2番目の要素が偶数であれば、すべてのA ∈ Γ(2)に対してA ξについても同様である。実際、作用 ( 2 ) の下で、群 Γ(2) は原始ピタゴラス数列の集合に対して推移的に作用する (Alperin 2005)。

Γ(2)群は、その生成元が行列である自由群である。

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.}$

したがって、すべての原始ピタゴラス数列は、行列Uと Lのコピーの積として一意に取得できます。

親子関係

Berggren (1934) の結果によれば、すべての原始ピタゴラス数列は、以下の 3 つの線形変換T ₁、 T ₂、 T ₃を使用して (3, 4, 5) 三角形から生成できます。ここで、 a、b、cは数列の辺です。

	新しいサイドA	新しいサイドB	新しいサイドC
T1 :​	a − 2 b + 2 c	2 a − b + 2 c	2 a − 2 b + 3 c
T2 :​	a + 2 b + 2 c	2 a + b + 2 c	2 a + 2 b + 3 c
T 3 :	− a + 2 b + 2 c	−2 a + b + 2 c	−2 a + 2 b + 3 c

言い換えれば、すべてのプリミティブトリプルは、さらに3つのプリミティブトリプルの「親」となる。a = 3、b = 4、c = 5の初期ノードから始めて、操作T ₁は新しいトリプルを生成する。

(3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = (5, 12, 13),

同様にT2とT3_{は(21, 20, 29)と(15, 8, 17)という}三つ組を生成します。

線型変換T ₁、T ₂、T _3は、二次形式という言語で幾何学的に解釈される。これらは、整数上の直交群x 2 ⁺ y 2 ⁻ z 2^を生成する鏡映変換と密接に関連している（ただし、同じではない） 。 ^[30]

ガウス整数との関係

あるいは、ユークリッドの公式はガウス整数を用いて解析・証明することができる。^[31]ガウス整数はα = u + viの形をとる複素数であり、uとvは通常の整数、iは負の1の平方根である。ガウス整数の単位は±1と±iである。通常の整数は有理整数と呼ばれ、「Z」と表記される。ガウス整数はZ [ i ]と表記される。ピタゴラスの定理の右辺はガウス整数で因数分解することができる。

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}=(a+bi)(a-bi).}$

原始ピタゴラス数列とは、aとbが互いに素である数列、つまり整数において共通の素因数を持たない数列のことである。このような数列では、aかbのどちらかが偶数で、もう一方が奇数である。したがって、cも奇数となる。

原始ピタゴラス数列の2つの因数z  := a + biとz*  := a − biは、それぞれガウス整数の平方に等しい。これは、すべてのガウス整数が単位までの ガウス素数に一意に因数分解できるという性質を用いて証明できる。^{[32] （この一意な因数分解は、大まかに言えば、それらのガウス素数に対して}ユークリッドの互除法の一種を定義できるという事実から導かれる。）証明には3つのステップがある。まず、aとbが整数において素因数を共有しない場合、ガウス整数においても素因数を共有しない。 ( a = gu、b = gvとし、ガウス整数g、u、vとし、g は単位ではないと仮定します。すると、uとv は原点を通る同一直線上にあります。このような直線上にあるすべてのガウス整数は、あるガウス整数hの整数倍です。しかし、整数gh ≠ ±1 は、aとb の両方を割り切ります。) 次に、 zとz*も同様に、ガウス整数において素因数を共有しないことがわかります。素因数を共有していたとしたら、それらの公約数δ は、 z + z* = 2 aとz − z* = 2 ibも割り切れることになります。aとb は互いに素であるため、 δ は2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i) ²を割り切る ことになります。式c ² = zz*から、 cは偶数であることが示唆されますが、これは原始ピタゴラス数列の仮説に反しています。第三に、c ²は平方数なので、その因数分解におけるすべてのガウス素数は2倍、つまり偶数回出現する。zとz*は共通の素因数を持たないため、この2倍はこれらにも当てはまる。したがって、zとz*は平方数である。

したがって、最初の因子は次のように書ける。

${\displaystyle a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.}$

この方程式の実数部と虚数部から次の 2 つの式が得られます。

${\displaystyle {\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2}-n^{2}\right).\end{cases}}}$

任意の原始ピタゴラス数列に対して、これらの2つの式を満たす整数mとnが必ず存在する。したがって、任意のピタゴラス数列は、これらの整数のいずれかを選択することで生成できる。

完全な平方ガウス整数として

ガウス整数の平方を考えると、ユークリッドの公式はガウス整数の完全な平方を表すものとして次のように直接解釈できます。

${\displaystyle (m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.}$

ガウス整数はユークリッド領域であり、ガウス整数 p は常に平方であるという事実を使用して、斜辺が素数である場合、ピタゴラスの三つ組が素数のガウス整数の平方に対応することを示すことができます。 ${\displaystyle |p|^{2}}$

ガウス整数が素数でない場合、それは2つのガウス整数pとqの積で、それぞれは整数と整数である。ガウス整数では大きさが乗算されるため、積は となり、これを2乗してピタゴラス数を求めると合成数になる。この逆正則性により証明は完了する。 ${\displaystyle |p|^{2}}$ ${\displaystyle |q|^{2}}$ ${\displaystyle |p||q|}$

トリプルの分布

aとbが4500 未満の最初のピタゴラス数列の脚( a、b )の散布図。

ピタゴラス数列の分布に関する結果は数多く存在します。散布図には、既にいくつかの明らかなパターンが見られます。原始数列の辺( a , b )が散布図に現れるときは必ず、そのすべての整数倍も散布図に現れるため、この性質により、図では原点から放射状に伸びる線が描かれます。

散布図内には、高密度の点群と、それらすべての焦点が原点にあり、四方八方に広がる放物線状のパターンが複数存在します。異なる放物線が軸で交差し、45度の入射角で軸から反射しているように見えます。さらに、3つ目の放物線が垂直に入射しています。この象限内では、原点を中心とする各弧は、放物線の先端と半直角との交点との間の部分を示しています。

これらのパターンは次のように説明できます。 が整数の場合、 ( a , , ) はピタゴラス数列です。 (実際、すべてのピタゴラス数列( a、b、c )は、整数nでこのように記述できます。 aとbを入れ替えた後でも可能です。なぜなら、aとb は両方とも奇数にはなり得ないからです。) したがって、ピタゴラス数列は で示される曲線、つまりa軸で反射された放物線上、およびaとbを入れ替えた対応する曲線上にあります。a が特定のnに対して変化すると(つまり、特定の放物線上)、nが正方形または正方形の小さな倍数であれば、 bの整数値が比較的頻繁に発生します。そのような値がいくつかたまたま接近している場合は、対応する放物線がほぼ一致し、数列が狭い放物線の帯状に集まります。たとえば、38 ² = 1444、2 × 27 ² = 1458、3 × 22 ² = 1452、5 × 17 ² = 1445、10 × 12 ² = 1440です。n ≈ 1450の周りの対応する放物線が散布図で明確に表示されます。 ${\displaystyle a^{2}/4n}$ ${\displaystyle |n-a^{2}/4n|}$ ${\displaystyle n+a^{2}/4n}$ ${\displaystyle n=(b+c)/2}$ ${\displaystyle b=|n-a^{2}/4n|}$

上記の角度特性は、放物線の関数形式から直ちに導き出されます。放物線はa軸でa = 2 nに反射され、この点におけるbのaに関する導関数は –1 です。したがって、入射角は 45° です。すべての三つ組と同様に、クラスターは整数倍で繰り返されるため、値2 nもクラスターに対応します。対応する放物線はb = 2 nでb軸と直角に交差するため、 aとbを入れ替えると、その反射はa = 2 nでa軸と直角に交差します。これは、 nの放物線がa軸で反射されるまさにその点です。（もちろん、 aとbを入れ替えた場合も同様です。）

アルバート・フェスラーらは、等角写像の文脈におけるこれらの放物線の重要性について洞察を提供している。^{[33] [34]}

特殊なケースと関連する方程式

プラトン的連鎖

ピタゴラス数列のより一般的な構成におけるn = 1のケースは、古くから知られていました。プロクロスは、ユークリッドの『原論』第一巻の第47命題の注釈において、これを次のように説明しています。

こうした三角形を見つけるための特定の方法が伝承されており、1つはプラトンに、もう1つはピタゴラスに伝えられている。 （後者は）奇数から始める。というのは、直角を中心とする辺のうち小さい方を奇数とする。次にその数を2乗し、1を引き、その差の半分を直角を中心とする辺のうち大きい方とする。最後にこれに1を加えて、残りの辺、すなわち斜辺を形成する。
…プラトンの方法は偶数から議論するからである。与えられた偶数を直角を中心とする辺の1つとする。次に、この数を2等分し、その半分を2乗し、その平方に1を加えて斜辺を形成し、その平方から1を引き、直角を中心とするもう1つの辺を形成する。…このようにして、他の方法で得られたものと同じ三角形が形成される。

これを方程式にすると次のようになります。

aは奇数である（ピタゴラス、紀元前540年頃）:

${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b={a^{2}-1 \over 2}:{\text{side }}c={a^{2}+1 \over 2}.}$

aは偶数である（プラトン、紀元前380年頃）:

${\displaystyle {\text{side }}a:{\text{side }}b=\left({a \over 2}\right)^{2}-1:{\text{side }}c=\left({a \over 2}\right)^{2}+1}$

適切な再スケーリングにより、基本的なプラトン数列 ( a、( a ² − 1)/2、( a ² + 1)/2 )から、 aに非整数の有理値をとらせることで、すべてのピタゴラス数列が得られることが示されます。数列でa を分数m / nに置き換えると、結果は再スケーリング後の「標準」数列生成子 (2 mn、m ² − n ²、m ² + n ² ) と等しくなります。したがって、すべての数列には対応する有理数a値があり、それを使用して相似三角形 (同じ 3 つの角度と、元の三角形と同じ比率の辺を持つ三角形) を生成できます。例えば、(56, 33, 65)のプラトン的等価数は、 a = m / n = 7/4から( a , ( a ² –1)/2, ( a ² +1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32)として生成されます。プラトン的数列自体は、ディオファントス II.VIIIに記述されている「正方形の分割」の手順に従うことで導出できます^[要説明]。

ヤコビ・マッデン方程式

方程式は、

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

は特別なピタゴラスの三つ組に相当する。

${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}}$

この方程式には、変数を解くのに楕円曲線を使うため、無限の解が存在する。小さな解としては、

${\displaystyle a,b,c,d=-2634,955,1770,5400}$

${\displaystyle a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150}$

2つの平方数の等しい和

解を生成する一つの方法は、次のようにa、b、c、dを整数m、n、p、q でパラメータ化することです。 ^[35] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}}$

${\displaystyle (m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}=(mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.}$

2つの4乗の等しい和

ピタゴラス数列の2つの集合が与えられ、

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2}}$

${\displaystyle (c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}}$

斜辺でない辺と斜辺の等しい積を求める問題

${\displaystyle (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+d^{2})}$

は、次の式と等価であることが容易に分かる。

${\displaystyle a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4}}$

これはオイラーによって初めて解かれました。彼はこれが楕円曲線 上の有理点であることを示したので、解は無限に存在すると示しました。実際、彼は7次多項式パラメータ化も発見しました。 ${\displaystyle a,b,c,d=133,59,158,134.}$

デカルトの円定理

すべての変数が正方形であるデカルトの円定理の場合、

${\displaystyle 2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}}$

オイラーはこれが3つの同時ピタゴラス数列に相当することを示した。

${\displaystyle (2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}$

${\displaystyle (2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}}$

解は無限に存在するが、 の特別なケースでは、方程式は次のように簡略化される。 ${\displaystyle a+b=c}$

${\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2}}$

小さな解として、およびは2元二次形式として解くことができます。 ${\displaystyle a,b,c,d=3,5,8,14}$

ほぼ二等辺のピタゴラス数列

ピタゴラス三つ組はいずれも二等辺三角形ではありません。なぜなら、斜辺と他のいずれかの辺の比は√ 2ですが、√ 2 は2 つの整数の比として表すことができないからです。

しかし、直角三角形には、斜辺以外の辺の長さが1だけ異なる整数の辺を持つものもある。

${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$

${\displaystyle 20^{2}+21^{2}=29^{2}}$

その他にも無数の変数が存在する。これらは以下のように完全にパラメータ化できる。

${\displaystyle \left({\tfrac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {x+1}{2}}\right)^{2}=y^{2}}$

ここで、{ x,y }はペル方程式の解である。 ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1.}$

a、b、cがこのタイプの原始ピタゴラス数列の辺である場合、ペル方程式の解は再帰式で与えられる。

${\displaystyle a_{n}=6a_{n-1}-a_{n-2}+2}$と​ ${\displaystyle a_{1}=3}$ ${\displaystyle a_{2}=20}$

${\displaystyle b_{n}=6b_{n-1}-b_{n-2}-2}$と​ ${\displaystyle b_{1}=4}$ ${\displaystyle b_{2}=21}$

${\displaystyle c_{n}=6c_{n-1}-c_{n-2}}$および⁠ ⁠ 。^[36 ] ${\displaystyle c_{1}=5}$ ${\displaystyle c_{2}=29}$

この原始ピタゴラス数列は、原始ピタゴラス数列の根付き三元木の中央幹 (幹) を形成します。

斜辺でない長い辺と斜辺の差が1である場合、例えば

${\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}}$

${\displaystyle 7^{2}+24^{2}=25^{2}}$

すると、原始ピタゴラス数列a、b、cの完全な解は

${\displaystyle a=2m+1,\quad b=2m^{2}+2m,\quad c=2m^{2}+2m+1}$

そして

${\displaystyle (2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2}}$

ここで、整数は生成パラメータです。 ${\displaystyle m>0}$

これは、ほぼ二等辺三角形の原始ピタゴラス数列に、すべての奇数（1より大きい数）が出現することを示しています。この原始ピタゴラス数列は、原始ピタゴラス数列の根付き三分木の右側の外側の幹を形成します。

このタイプのほぼ二等辺三角形の原始ピタゴラス三辺形のもう一つの性質は、辺が次のように関係していることである。

${\displaystyle a^{b}+b^{a}=Kc}$

ある整数 に対して。言い換えれば、は のように割り切れる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a^{b}+b^{a}}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle (5^{12}+12^{5})/13=18799189}$。^[37]

ピタゴラス数列のフィボナッチ数

5から始めて、2番目のフィボナッチ数は整数の辺を持つ直角三角形の斜辺の長さ、つまり、ピタゴラスの三つ組の最大の数であり、この式から得られるピタゴラスの三角形の列は、長さが $${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}=F_{2n+3}^{2}.}$$

(3,4,5)、(5,12,13)​​、(16,30,34)、(39,80,89)、...

これらの三角形のそれぞれの中央の辺は、前の三角形の3辺の合計です。^[38]

一般化

ピタゴラスの三つ組の概念を一般化する方法がいくつかあります。

ピタゴラスn-タプル

表現

${\displaystyle \left(m_{1}^{2}-m_{2}^{2}-\ldots -m_{n}^{2}\right)^{2}+\sum _{k=2}^{n}(2m_{1}m_{k})^{2}=\left(m_{1}^{2}+\ldots +m_{n}^{2}\right)^{2}}$

は、任意の正の整数の組（m ₁、...、m _n）に対するピタゴラスのn組であり、 m²
₁>メートル²
₂+ ... + m²
_nピタゴラスのn組は、その値の最大公約数で割ることで原始組にすることができます。

さらに、任意の原始ピタゴラスのn組a²
₁+ ... + a²
_n= c ^{2 は}この方法で見つけることができます。( m ₁ , ..., m _n ) = ( c + a ₁ , a ₂ , ..., a _n )を使って上記の式でピタゴラスのn組を取得し、最大公約数である2 m ₁ = 2( c + a ₁ )で割ります。これらの( m ₁ , ..., m _n )値の最大公約数で割ると、同じ原始ピタゴラスのn組が得られます。また、 mを満たす互いに素な正の整数( m ₁ , ..., m _n )の組の間には1対1の対応があります。²
₁>メートル²
₂+ ... + m²
_nおよび原始ピタゴラスのn組。

集合的に互いに素な値と原始ピタゴラスのn組の関係の例としては以下が挙げられる: ^[39] ${\displaystyle {\vec {m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {m}}=(1)&\leftrightarrow 1^{2}=1^{2}\\{\vec {m}}=(2,1)&\leftrightarrow 3^{2}+4^{2}=5^{2}\\{\vec {m}}=(2,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+2^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(3,1,1,1)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}=2^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,2,3)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}=4^{2}\\{\vec {m}}=(4,1,1,1,1,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}=3^{2}\\{\vec {m}}=(5,1,1,1,2,2,2)&\leftrightarrow 1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=4^{2}\end{aligned}}}$

連続した正方形

m ²から始まるk個の連続する正方形の合計F ( k , m )は式^{[40]で与えられるので、}

${\displaystyle F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6}}}$

F ( k , m )が平方となるような値( k , m )を見つけることができる。例えば、項の数自体が平方であるヒルシュホルンの例^[41]

${\displaystyle m={\tfrac {v^{4}-24v^{2}-25}{48}},\;k=v^{2},\;F(m,k)={\tfrac {v^{5}+47v}{48}}}$

そしてv ≥ 5は2または3で割り切れない任意の整数である。最小の場合v = 5、したがってk = 25では、これはよく知られたルーカスの砲弾積み上げ問題をもたらす。

${\displaystyle 0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2}}$

これはリーチ格子に関連する事実です。

さらに、ピタゴラスのn組（n ≥ 4）において、1つを除いてすべての加数が連続している場合、次の式を使うことができる。^[42]

${\displaystyle F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}}$

pの2乗は打ち消されるので、これは線形であり、k、mがpが整数になるように選択されれば簡単に解ける。小さな例として、k = 5、m = 1の場合には、次のようになる。 ${\displaystyle p={\tfrac {F(k,m)-1}{2}}}$

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}}$

このように、ピタゴラスのn組を生成する一つの方法は、^様々なxに対して、

${\displaystyle x^{2}+(x+1)^{2}+\cdots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},}$

ここでq = n –2であり、

${\displaystyle p={\frac {(q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1)}{6}}-1}{2}}.}$

フェルマーの最終定理

ピタゴラス定理の概念を一般化すると、正の整数a、b、cの三つ組において、 a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ（ただしnは2 より真に大きい）を満たすものを探すということになる。ピエール・ド・フェルマーは1637年に、そのような三つ組は存在しないと主張した。この主張は、フェルマーの他のどの予想よりも証明または反証に時間がかかったため、 「フェルマーの最終定理」として知られるようになった。最初の証明は1994年にアンドリュー・ワイルズによってなされた。

n − 1またはn n累乗を足し合わせるとn乗

もう1つの一般化は、 n + 1個の正の整数の列のうち、最後の項のn乗が前の項のn乗の和となるものを探すことです。nの値が既知である最小の列は次のとおりです。

• n = 3: {3、4、5、6}。
• n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
• n = 5: {19、43、46、47、67; 72}
• n = 7: {127、258、266、413、430、439、525; 568}
• n = 8: {90、223、478、524、748、1088、1190、1324、1409}

n = 3の場合、フェルマーの 3 次方程式と呼ばれ 、すべての解を与える一般的な公式が存在します。 ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=w^{3},}$

少し異なる一般化により、 ( k + 1) n乗の和は( n − k ) n乗の和と等しくなります。例えば、

• ( n = 3 ): 1 ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ^{3 、ハーディが}ラマヌジャンとの会話の中で、 1729という数字が2 つの異なる方法で2 つの立方数の和として表すことができる最小の数字であるという話をしたことで有名になりました。

n − 1個の正の整数が存在し、そのn乗の和がn乗となる（ただし、フェルマーの最終定理によれば、n = 3の場合にはそうではない） 。これらはオイラーのべき乗の和予想に対する反例である。最も小さい既知の反例は^{[44] [45] [15]である。}

• n = 4 : (95800, 217519, 414560; 422481)
• n = 5 : (27, 84, 110, 133; 144)

ヘロン三角形の3倍

ヘロン三角形は、一般的に、辺の長さが整数で面積も整数である三角形として定義されます。このような三角形の辺の長さは、a ≤ b ≤ cに対してヘロン三辺形 ( a, b, c )を形成します。ピタゴラス三辺形はどれもヘロン三辺形です。なぜなら、ピタゴラス三辺形においては、少なくとも一方の辺a、b は偶数でなければならないため、面積ab /2 は整数になるからです。しかし、面積が24である例(4, 13, 15)が示すように、すべてのヘロン三辺形がピタゴラス三辺形になるわけではありません。

( a , b , c )がヘロン三角組であれば、 ( ka , kb , kc )もヘロン三角組です。ここでkは任意の正の整数です。その面積は、 ( a , b , c )三角形の整数面積のk ²倍の整数になります。ヘロン三角組( a , b , c )は、 a、b、cが互いに素である場合に原始ピタゴラス三角組です。(原始ピタゴラス三角組では、それらが互いに素であるというより強い主張も適用されますが、原始ヘロン三角形では、 (7, 15, 20)のように、より強い主張が常に成り立つとは限りません。) ピタゴラス三角組ではない最も単純な原始ヘロン三角組をいくつか示します。

（4, 13, 15）面積24

（3, 25, 26）面積36

（7, 15, 20）面積42

（6, 25, 29）面積60

（11, 13, 20）面積66

（13、14、15）面積84

（13, 20, 21）面積126

ヘロンの公式によれば、 a < b < cを満たす正の整数の3つ組（a、b、c）がヘロン的であるための追加条件は、

( a ² + b ² + c ² ) ² − 2( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

または同等

2( a ² b ² + a ² c ² + b ² c ² ) − ( a ⁴ + b ⁴ + c ⁴ )

16 で割り切れる 0 以外の完全な平方数であること。

暗号への応用

原始ピタゴラス数は暗号においてランダムなシーケンスとして、また鍵の生成に使われてきました。^[46]

参照

• ブールピタゴラスの三つ組問題
• ブラフマグプタ三角形
• コングルウム
• ディオファントス II.VIII
• エイゼンシュタイントリプル
• オイラーレンガ
• ヘロンの三角形
• ヒルベルトの定理90
• 整数三角形
• モジュラー演算
• 斜辺以外の数
• プリンプトン 322
• ピタゴラス素数
• ピタゴラス四倍音
• 二次曲面
• 正接半角の公式
• 三角関数の恒等式

注記

1. ロング（1972年、48ページ）
2. ロブソン、エレノア(2002)、「言葉と絵：プリンプトン322の新たな光」（PDF）、アメリカ数学月刊、109 (2): 105– 120、doi :10.1080/00029890.2002.11919845、S2CID  33907668
3. Joyce, DE (1997年6月)、「ユークリッド原論」第10巻、命題XXIX 、クラーク大学
4. ミッチェル、ダグラス W. (2001年7月)、「すべての原始ピタゴラス数列の代替的特徴づけ」、数学ガゼット、85 (503): 273–5、doi :10.2307/3622017、JSTOR  3622017、S2CID  126059099
5. Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A000129 (ペル数)」、オンライン整数シーケンス百科事典、 OEIS Foundation
6. Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, ER (2000)、「原始ピタゴラス数列のパラメトリック表現」、Nelsen, Roger B. (編)、『Proofs Without Words: More Exercises in Visual Thinking』、第2巻、アメリカ数学会、120ページ、ISBN 978-0-88385-721-2、OCLC  807785075
7. マオール、イーライ、「ピタゴラスの定理」、プリンストン大学出版局、2007年：付録B。
8. Sierpiński、Wacław (2003)、Pythagorean Triangles、Dover、pp. iv–vii、ISBN 978-0-486-43278-6
9. ヒューストン、デイビッド（1993年）「ピタゴラスの三倍角公式による証明」、ネルセン、ロジャー・B（編）、Proofs Without Words: Exercises in Visual Thinking、アメリカ数学協会、p. 141、ISBN 978-0-88385-700-7、OCLC  29664480
10. ポサマンティエ、アルフレッド・S.（2010年）、ピタゴラスの定理：その力と美しさの物語、プロメテウスブックス、p.156、ISBN 9781616141813。
11. aとbが両方とも正方であるような解が存在しないことは、フェルマーによって最初に証明された。Koshy , Thomas (2002), Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, p. 545, ISBNを参照。 9780124211711cが平方数の1つである場合については、 Stillwell, John (1998)、Numbers and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics、Springer、p. 133、ISBNを参照。 9780387982892。
12. カーマイケル、ロバート・D.（1915）、ディオファントス分析、ジョン・ワイリー＆サンズ
13. シェルピンスキ 2003, 4–6ページ
14. 南東部組合せ論、グラフ理論、コンピューティングに関する会議議事録、第20巻、Utilitas Mathematica Pub、1990年、p. 141、ISBN 9780919628700
15. MacHale, Des ; van den Bosch, Christian (2012年3月)、「ピタゴラスの三つ組に関する結果の一般化」、Mathematical Gazette、96 : 91–96、doi : 10.1017/S0025557200004010、S2CID  124096076
16. サリー、ジュディス・D.（2007年）、研究へのルーツ：数学的問題の垂直的発展、アメリカ数学会、pp.  74- 75、ISBN 9780821872673。
17. abが12で割り切れるという事実と、合同数が有理数直角三角形の面積であると定義されることから直ちに導かれる。例えば、Koblitz, Neal (1993), Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms, Graduate Texts in Mathematics, vol. 97, Springer, p. 3, ISBNを参照。 9780387979663。
18. バラガー、アーサー（2001）、古典幾何学と現代幾何学の概説：コンピュータアクティビティ付き、プレンティスホール、演習15.3、p。301、ISBN 9780130143181
19. Bernhart, Frank R.; Price, H. Lee (2005),ヘロンの公式、デカルトの円、ピタゴラスの三角形、arXiv : math/0701624
20. Sloane, N. J. A. (編)、「数列 A237518 (プライム(n) と合わせてヘロン三角形を形成する最小の素数)」、オンライン整数数列百科事典、OEIS Foundation
21. H. DarmonとL. Merel. Winding quotientsとFermatの最終定理のいくつかの変種, J. Reine Angew. Math. 490 (1997), 81–100.
22. ローゼンバーグ、スティーブン; スピレーン、マイケル; ウルフ、ダニエル B. (2008年5月)、「ヘロン三角形とモジュライ空間」、数学教師、101 : 656-663、doi :10.5951/MT.101.9.0656
23. Yiu, Paul (2008), 2つの整数直角三角形に分解できないヘロン三角形(PDF)、アメリカ数学会フロリダ支部第41回会議、p. 17
24. ワイスタイン、エリック W.、「Rational Triangle」、MathWorld
25. Yekutieli, Amnon (2023)、「ピタゴラスの三つ組、複素数、アーベル群、素数」、アメリカ数学月刊誌、130 (4): 321– 334、arXiv : 2101.12166、doi :10.1080/00029890.2023.2176114、MR  4567419
26. ピックオーバー、クリフォード・A.（2009）「ピタゴラスの定理と三角形」、数学書、スターリング、p.40、ISBN 978-1402757969
27. Voles, Roger (1999年7月)、「83.27 整数解」、The Mathematical Gazette、83 (497): 269– 271、doi :10.2307/3619056、JSTOR  3619056、S2CID  123267065 ${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
28. リチニック、ジェニファー（2008年7月）「92.48 逆ピタゴラスの定理」、数学ガゼット、92（524）：313–316、doi：10.1017/s0025557200183275、JSTOR  27821792、S2CID  125989951
29. Yiu, Paul (2003)、「レクリエーション数学」(PDF)、コースノート、フロリダアトランティック大学数学科学部、第2章、p. 110
30. (アルペリン 2005)
31. スティルウェル、ジョン（2002年）「6.6 ピタゴラスの三つ組」、数論原論、シュプリンガー、pp.  110–2、ISBN 978-0-387-95587-2
32. ガウス CF (1832)、「Theoria residuorum biquadraticorum」、Comm.社会登録科学。ゴット。記録、４．また、 Werke、2 :67–148も参照。
33. 1988年プレプリント Archived 2011-08-09 at the Wayback Machine 3ページの図2を参照。後にFässler, Albert (June-July 1991), "Multiple Pythagorean number triples", American Mathematical Monthly , 98 (6): 505– 517, doi :10.2307/2324870, JSTOR  2324870として出版された。
34. n脚未満のピタゴラス三角形」、計算および応用数学ジャーナル、143 (1): 117– 126、Bibcode :2002JCoAM.143..117B、doi : 10.1016/S0377-0427(01)00496-4PDFとして
35. Nahin、Paul J. (1998)、An Imaginary Tale: The Story of、ニュージャージー州プリンストン: Princeton University Press、  25–26ページ、ISBN ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ 0-691-02795-1、MR  1645703
36. Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A001652」、整数シーケンスのオンライン百科事典、OEIS Foundation; Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A001653」、整数シーケンスのオンライン百科事典、OEIS Foundation
37. Sloane, N. J. A. (編)、「シーケンス A303734」、整数シーケンスのオンライン百科事典、OEIS Foundation
38. パグニ、デイビッド（2001年9月）「フィボナッチとピタゴラスの出会い」『Mathematics in School』30（4）：39-40、JSTOR  30215477
39. Sloane, N. J. A. (編)、「数列 A351061 (n個の正の完全平方の和として表せる最小の正の整数)」、オンライン整数数列百科事典、 OEIS Foundation
40. 連続する立方体の合計は立方体になる。2008年5月15日のオリジナルからアーカイブ。
41. ヒルシュホーン、マイケル（2011年11月）「連続する平方和が平方になるのはいつか？」 『数学ガゼット』95 : 511–2、doi : 10.1017/S0025557200003636、ISSN0025-5572  、OCLC819659848  、S2CID118776198
42. Goehl, John F. Jr. (2005年5月)、「読者の考察」、Mathematics Teacher、98 (9): 580、doi :10.5951/MT.98.9.0580
43. Goehl, John F., Jr.、「Triples, quartets, pentads」、 Mathematics Teacher 98、2005年5月、580ページ。
44. キム・スコット（2002年5月）「Bogglers」、Discover誌：82ページ。w ⁴ + x ⁴ + y ⁴ = z ⁴という方程式はより困難です。1988年、数学者たちが200年にわたってこの方程式の不可能性を証明しようと試みた後、ハーバード大学のノアム・エルキーズは反例、2,682,440 ⁴ + 15,365,639 ⁴ + 18,796,760 ⁴ = 20,615,673 ⁴を発見しました。
45. エルキーズ、ノアム(1988)、「A4 + B4 + C4 = D4について」、計算数学、51 (184): 825– 835、doi :10.2307/2008781、JSTOR  2008781、MR  0930224
46. Kak, S.と Prabhu, M. 原始ピタゴラス数列の暗号応用 Cryptologia, 38:215–222, 2014. [1]

参考文献

• アルペリン、ロジャー・C. (2005)、「ピタゴラスのモジュラーツリー」（PDF）、アメリカ数学月刊誌、112 (9): 807– 816、CiteSeerX  10.1.1.112.3085、doi :10.2307/30037602、JSTOR  30037602、MR  2179860
• Berggren, B. (1934)、「Pytagoreiska trianglar」、Tidskrift for Elementär Matematik、Fysik och Kemi (スウェーデン語) 、17 : 129–139
• Barning、FJM (1963)、「Over pythagorese en bijna-pythagorese driehoeken en een Generatieprocesmet behulp van unimodulaire matrices」(PDF)、Math.セントラム アムステルダム空軍ズイベレウィスク。 (オランダ語)、ZW-011: 37
• エッカート、アーネスト（1992）「原始ピタゴラス数列」、カレッジ数学ジャーナル、23（5）：413-417、doi：10.2307/2686417、JSTOR  2686417
• エルキーズ、ノーム、ピタゴラスの三つ組とヒルベルトの定理 90 (PDF)
• ヒース、トーマス（1956年）『ユークリッド原論』第1巻（第1巻と第2巻）（第2版）、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-60088-8 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ロング、カルビン・T.（1972）、初等数論入門（第2版）、レキシントン：DCヒース・アンド・カンパニー、LCCN  77171950
• マーティン、アルテマス（1875）、「有理直角三角形はほぼ二等辺三角形である」、アナリスト、3（2）：47-50、doi：10.2307/2635906、JSTOR  2635906
• マカロー、ダリル（2005）「ピタゴラスの三つ組の高さと超過」（PDF）、数学雑誌、78（1）：26– 44、doi：10.1080/0025570X.2005.11953298、S2CID  1701449
• ロミック、ダン (2008)、「ピタゴラス数列のダイナミクス」(PDF)、Trans. Amer. Math. Soc.、360 (11): 6045– 6064、arXiv : math.DS/0406512、doi : 10.1090/S0002-9947-08-04467-X、MR  2425702
• テイゲン, MG; ハドウィン, DW (1971)「ピタゴラス数列の生成について」アメリカ数学月刊誌, 78 (4): 378– 379, doi :10.2307/2316903, JSTOR  2316903
• Trautman, Andrzej (1998)、「ピタゴラスのスピノルとペンローズのツイスト」、SA Hugget、LJ Mason、KP Tod、ST Tsou、NMJ Woodhouse (編)『幾何学的宇宙』（追記）

外部リンク

• クリフォード代数とユークリッドのピタゴラス数列のパラメータ化
• 誤ってコピーされた二次方程式の奇妙な結果
• ピタゴラスの三つ組の性質、インタラクティブな計算機、パズル、問題に関する議論
• 等差数列を用いたピタゴラス数列の生成
• 「ピタゴラス数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ピタゴラスの三つ組のインタラクティブ計算機
• 負のペル方程式とピタゴラス数列
• ピタゴラス数列を多項式の単一の数列でパラメータ化する
• プライス、H.リー（2008）、ピタゴラスの樹：新種、arXiv：0809.4324
• ピタゴラスの三つ組と単位円、第2章～第3章、ジョセフ・H・シルバーマン著『A Friendly Introduction to Number Theory』第3版、2006年、ピアソン・プレンティス・ホール、アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州、ISBN 0-13-186137-9
• ピタゴラスの三つ組をcut-the-knotでインタラクティブアプレットで表示。ピタゴラスの三つ組と単位円の関係を示します。
• ピタゴラスの三つ子
• 三角形の注目すべき内接円
• ピタゴラス数列に関連する二次互換ペアの解
• ピタゴラスの三つ組の理論的性質と幾何学との関連
• 結び目を切る原始ピタゴラス三つ組の基礎となる三元木
• ワイススタイン、エリック W.、「ピタゴラスの三つ組」、MathWorld

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