数論において、与えられた基数における自己数は、他の自然数との各桁との和として表すことができない自然数である。20 は自己数 (基数 10) である。なぜなら、そのような組み合わせは見つからないからである (すべて20 未満の結果になり、その他すべて20 より大きい結果になる)。21 は自己数ではない。なぜなら、 n = 15を使用して 15 + 1 + 5 と表すことができるからである。これらの数は、1959 年にインドの数学者 D. R. カプレカーによって初めて説明された。^[¹^] $b$ $n$ $n$ $n<15$ $n$

定義と特性

を自然数とします。基数に対する-self関数を以下のように定義します。 $n$ $b$ $F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ $b>1$

F_{b}(n)=n+\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}.

ここではを底とする数の桁数であり、 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ $b$

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

は数の各桁の値です。自然数は、の逆像が空集合であるとき、-自己数となります。 $n$ $b$ $n$ $F_{b}$

一般に、偶数基数の場合、基数以下の奇数はすべて自己数となる。なぜなら、そのような奇数以下の数は、その桁に加算すると偶数となる1桁の数でなければならないからである。奇数基数の場合、すべての奇数は自己数となる。^{[ 2 ]}

与えられた基数における自己数の集合は無限であり、正の漸近密度を持つ。が奇数のとき、この密度は1/2である。^[³^] $b$ $b$

特定の基数における自己番号

2進数の自己番号については、（ OEISのシーケンスA010061）を参照してください。（10進数で書かれています）

最初のいくつかの 10 進数の自己数は次のとおりです。

1、3、5、7、9、20、31、42、53、64、75、86、97、108、110、121、132、143、154、165、176、187、198、209、211、222、233、244、255、266、277、288、299、310、312、323、334、345、356、367、378、389、400、411、413、 424、435、446、457、468、479、490、…（OEISのシーケンスA003052）

自己プライム

自己素数とは、それ自体が素数である数です。

10進数の最初のいくつかの素数は

3、5、7、31、53、97、211、233、277、367、389、457、479、547、569、613、659、727、839、883、929、1021、1087、1109、1223、1289、1447、1559、1627、1693、1783、1873、…（OEISのシーケンスA006378）

参考文献

^ ( OEISの配列A003052 )
^ サンダー＆クリスティシ (2004) p.384
^ サンダー＆クリスティシ (2004) p.385

Kaprekar, DR「新しい自己数の数学」 Devaiali (1963): 19 - 20。
RB Patel (1991). 「k-自己数に対するいくつかのテスト」. Math. Student . 56 : 206–210 .
B. Recaman (1974). 「問題E2408」.アメリカ数学月刊. 81 (4): 407. doi : 10.2307/2319017 . JSTOR 2319017 .
サンダー、ジョゼフ。クリスティチ、ボリスラフ (2004)。整数論ハンドブック II．ドルドレヒト: クルーワー学者。32 ～ 36ページ。ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001 .
ワイスタイン、エリック W. 「自己数」。MathWorld 。

[1] ( OEISの配列A003052 )

[CS384-2] サンダー＆クリスティシ (2004) p.384

[CS385-3] サンダー＆クリスティシ (2004) p.385

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