分割四元数

分割四元数乗算

×	1	私	j	け
1	1	私	j	け
私	私	−1	け	−j
j	j	−k	1	−i
け	け	j	私	1

抽象代数学において、分割四元数 あるいは余四元数は、1849年にジェームズ・コックルによって後者の名称で導入された代数構造を形成する。これらは実数上の4次元の結合代数を形成する。

20世紀に環と代数の座標自由定義が導入された後、分割四元数の代数は2×2実数行列の環と同型であることが証明されました。したがって、分割四元数の研究は実数行列の研究に還元することができ、これが20世紀と21世紀の数学文献において分割四元数への言及がほとんどない理由を説明できるかもしれません。

意味

分割四元数は、次の積の規則を満たす 4 つの基底要素1、i、j、kの線形結合(実係数を持つ)です。

i ² = −1、

j ² = 1、

k ² = 1、

ij = k = −ji。

結合性により、これらの関係は

jk = −i = −kj、

ki = j = −ik、

また、ijk = 1 です。

したがって、分割四元数は、{1, i, j, k}を基底とする4次元の実ベクトル空間を形成する。また、分配法則による上記の積の規則をすべての分割四元数に 拡張することにより、非可換環も形成する。

正方行列

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

対応する分割四元数と同じ乗算表を満たす。これらの行列は2行2列の行列の基底を形成するため、1、i、j、kをそれぞれに写す唯一の線形関数は、分割四元数から2行2列の実数行列への 代数同型性を誘導する。 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}$

上記の乗法規則は、8つの要素1, i, j, k, −1, −i, −j, −kがこの乗法の下で群を形成することを示唆しており、これは正方形の対称群である二面体群D ₄と同型である。実際、座標が0または1である点を頂点とする正方形を考えると、行列は時計回りに1/4回転したものであり、行列は第1対角線を中心とした対称性、行列はx軸を中心とした対称性である。 ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

プロパティ

1843年にハミルトンによって導入された四元数と同様に、それらは4次元の実結合代数を形成します。しかし、2×2行列の実代数と同様に、そして四元数の実代数とは異なり、分割四元数には非自明な零因子、冪零元、およびべき等元が含まれます。（例えば、⁠1/2⁠ (1 + j)は冪等な零因子であり、 i − jは冪等である。)実数上の代数として、分割四元数の代数は、上で定義された同型性により、2×2 実行行列の代数と同型 です。

この同型性により、各分割四元数を2×2行列と同一視することが可能になります。したがって、分割四元数のすべての性質は、しばしば異なる名前で呼ばれる行列の同様の性質に対応します。

分割四元数 q = w + x i + y j + z kの共役はq ^∗ = w − x i − y j − z kです。行列で表現すると、共役は対角要素を交換し、他の2つの要素の符号を変更することで得られる 補因子行列です。

分割四元数とその共役の積は等方性二次形式である。

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

これは分割四元数のノルムまたは関連行列の 行列式と呼ばれます。

分割四元数q = w + x i + y j + z kの実部はw = ( q ^∗ + q )/2です。これは、付随する行列のトレースに等しくなります。

2つの分割四元数の積のノルムは、それぞれのノルムの積です。同様に、行列の積の行列式は、それぞれの行列式の積です。この性質は、分割四元数が合成代数を形成することを意味します。ノルムが0でない分割四元数が存在するため、分割四元数は「分割合成代数」を形成します。これが、分割四元数の名前の由来です。

非零ノルムを持つ分割四元数には、乗法逆元、すなわちq ^∗ / N ( q )が存在する。行列の観点から見ると、これはクラメールの規則に相当し、その規則は行列式が非零である場合にのみ行列が逆行列であるということを主張する。この場合、行列の逆元は余因子行列を行列式で割った商となる。

分割四元数と2×2実数行列の同型性は、非ゼロノルムの分割四元数の乗法群がと同型であり、ノルム1の分割四元数の乗法群がと同型であることを示しています。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} ).}$

幾何学的には、分割四元数は平面の束としてハミルトン四元数に例えることができます。どちらの場合も、実数は束の軸を形成します。ハミルトン四元数には虚数単位の球面があり、任意の反対側の虚数単位のペアは実数直線と複素平面を生成します。分割四元数には、双曲型単位と虚数単位の双曲面があり、分割複素平面または通常の複素平面を生成します。これについては、後述の§ 層化で説明します。

複素行列としての表現

分割四元数は、複素要素を持つ2×2行列の単位結合部分代数として表現される。この表現は、分割四元数w + x i + y j + z kを行列に 写す代数準同型写像によって定義される。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.}$

ここで、i (イタリック体) は虚数単位であり、分割四元数基底要素i (直立ローマン体) と混同しないでください。

この準同型の像は、次の形式の行列によって形成される 行列環である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

ここで上付き文字は複素共役を表します。 ${\displaystyle ^{*}}$

この準同型写像は、分割四元数i、j、kをそれぞれ行列に 写像する。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}.}$

代数の同型性は、行列の乗算を用いてi、j、kの等式を検証することで完成する。例えば、

${\displaystyle jk={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i.}$

したがって、複素行列として表される分割四元数の場合、共役は余因子の行列であり、ノルムは行列式になります。

分割四元数を複素行列として表現すると、行列式1の行列は特殊ユニタリー群SU(1,1)を形成し、これは双曲幾何学 におけるポアンカレ円板モデルの双曲運動を記述するために使用される 。^{[ 1 ]}

分割複素数からの生成

分割四元数は、 LE DicksonとAdrian Albertの方法に似た修正Cayley-Dickson構成法^{[ 2 ]}によって生成できる。除算代数C、H、Oに対して。乗法規則は 、実分割の場合に2倍積を生成するときに使用される。2倍共役は、 aとbが分割複素数で分割四元数である 場合、 $${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\ da+bc^{*})}$$ ${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$ $${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$$ ${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

それから $${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$$

階層化

このセクションでは、単一の分割四元数によって生成される 実部分代数を研究し、分類します。

p = w + x i + y j + z k を分割四元数とする。その実部はw = ⁠1/2⁠ ( p + p ^* )。q = p – w = ⁠とします。1/2⁠ ( p – p ^* )をその非実数部とする。 q ^* = – qであり、したがってp ^{2 が}実数となるのは、 pが実数 ( q = 0かつp = w ) または純粋に非実な分割四元数( w = 0かつp = q ) の場合のみである。 ${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$

pによって生成される部分代数の構造は、次のように簡単に理解できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$

${\displaystyle \mathbb {R} [p]=\mathbb {R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in \mathbb {R} \},}$

これは可換代数である。pが実数である場合を除き、その次元は2である（この場合、部分代数は単に である）。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

平方根が実数である非実数元はaqの形を持ち、 ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} .}$

考慮すべき 3 つのケースがあり、次のサブセクションで詳しく説明します。

べき乗ケース

上記の表記法を用いると、もし（つまりqが冪零ならば）N ( q ) = 0、つまり、これは0 ≤ t < 2 πとなるようなwとtが 存在することを意味する。 ${\displaystyle q^{2}=0,}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .}$

これは、非実数部がべき乗であるすべての分割四元数のパラメーター化です。

これは、円の点によるこれらの部分代数のパラメータ化でもあります。つまり、形式の分割四元数は円を形成します。べき零元によって生成される部分代数には、円の 1 つの点が正確に含まれます。また、円には他の点は含まれません。 ${\displaystyle \mathrm {i} +\cos(t)\mathrm {j} +\sin(t)\mathrm {k} }$

冪零元によって生成される代数は、双対数平面および双対数平面と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}\rangle }$

虚数単位

二枚の双曲面、虚数単位の源

これはN ( q ) > 0の場合で ある 。 ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

⁠​1/n⁠ q は2枚の方程式に属します。したがって、 0 ≤ t < 2 πと なる実数n、t、uが存在し、 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

これは、非実数部に正のノルムを持つすべての分割四元数のパラメーター化です。

これは、2 枚の双曲面の反対の点のペアによる対応する部分代数のパラメーター化でもあります。形式の分割四元数は2 枚の双曲面を形成します。正ノルムの非実数部を持つ分割四元数によって生成される部分代数には、この双曲面の各シートに 1 つずつ、正確に 2 つの反対の点が含まれます。また、双曲面には他の点は含まれません。 ${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

正ノルムの非実数部を持つ分割四元数によって生成される代数は、複素数体および複素数体と同型です。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}+1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

双曲単位

一枚の双曲面、双曲単位の元となる。 （記事では縦軸をxと呼ぶ）

これはN ( q ) < 0の場合で ある 。 ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

⁠​1/n⁠ q は方程式y ² + z ² − x ² = 1の1枚の双曲面に属します。したがって、 0 ≤ t < 2 πを 満たす実数n , t , uが存在し、

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} .}$

これは、非実数部に負のノルムを持つすべての分割四元数のパラメーター化です。

これは、1 枚の双曲面の反対点のペアによる対応する部分代数のパラメーター化でもあります。つまり、形式の分割四元数は1 枚の双曲面を形成します。負のノルムの非実数部を持つ分割四元数によって生成される部分代数には、この双曲面上に正確に 2 つの反対点が含まれ、双曲面には他の点は含まれません。 ${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k} }$

負のノルムを持つ非実数部を持つ分割四元数によって生成される代数は、分割複素数環と同型である。また、代数として、によって定義される写像によって も同型である。 ${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\langle X^{2}-1\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

規範による階層化

上で見たように、ノルムが-1、1、0の純粋に非実数の分割四元数は、非実数四元数の空間で それぞれ 1 枚の双曲面、2 枚の双曲面、円錐を形成します。

これらの面は互いに漸近線をなしており、交差しません。これらの補面は6つの連結領域から構成されます。

• 2枚の双曲面の凹面側に位置する2つの領域。 ${\displaystyle N(q)>1}$
• 2枚の双曲面と円錐の間の2つの領域、ここで ${\displaystyle 0<N(q)<1}$
• 一枚のシートの円錐と双曲面の間の領域で ${\displaystyle -1<N(q)<0}$
• 一枚のシートの双曲面の外側の領域、ここで ${\displaystyle N(q)<-1}$

この層化は、固定ノルムの分割四元数を考えることで精緻化できる。任意の実数n ≠ 0に対して、ノルムnの純粋非実分割四元数は双曲面を形成する。これらの双曲面はすべて上記の円錐に漸近線を描き、これらの面は互いに交差しない。純粋非実分割四元数の集合はこれらの面の非結合和集合であるため、これにより所望の層化が実現される。

色空間

分割四元数は色バランスに応用されている^{[ 3 ]。}このモデルは、代数を表現する対称行列のジョルダン代数を参照している。このモデルは、三色性（trichromacy）とヘリングの対立性を調和させ、色距離には 双曲幾何学のケーリー・クラインモデルを用いている。

歴史的ノート

コクアタニオンは、 1849年にジェームズ・コックルによってロンドン・エディンバラ・ダブリン哲学雑誌で初めて（その名前で） ^{[ 4 ]}紹介されました。コックルの入門論文は、1904年のクアタニオン協会の参考文献^{[ 5 ]}に掲載されています。

1878年、WKクリフォードは分割四元数の行列表現をほぼ記述した。^{[ 6 ]}彼は虚数単位Kを で表した。唯一の欠点は、式にマイナス記号が抜けていたことである。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle JK={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}=-I.}$

アレクサンダー・マクファーレンは、 1900年にパリで開催された国際数学者会議で講演した際、分割四元数ベクトルの構造を外球面系と呼んだ。 ^{[ 7 ]}マクファーレンは、1910年に四元数協会の会報に掲載された論文「空間代数の原理の統一と発展」の中で、「球面解析の双曲面対応物」について考察した。^{[ 8 ]}

ハンス・ベックは1910年に分割四元数変換とメビウス変換の円置換特性を比較した。 ^{[ 9 ]}分割四元数構造はAnnals of Mathematicsでも簡単に言及されている。^{[ 10 ] [ 11 ]}

同義語

• パラクォータニオン（Ivanov and Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006）パラクォータニオン構造を持つ多様体は、微分幾何学と弦理論において研究されている。パラクォータニオンに関する文献では、kは−kに置き換えられる。
• 外球面システム（マクファーレン 1900）
• 分割四元数（ローゼンフェルド 1988）^{[ 12 ]}
• 反四元数（ローゼンフェルド 1988）
• 擬四元数（ヤグロム 1968 ^{[ 13 ]}ローゼンフェルド 1988）

参照

• パウリ行列
• 分割双四元数
• 分割八元数
• 双対四元数

参考文献

1. Karzel, Helmut & Günter Kist (1985)「運動学的代数とその幾何学」『環と幾何学』 R. Kaya, P. Plaumann, K. Strambach編、pp. 437–509, esp 449,50, D. Reidel ISBN 90-277-2112-2
2. Kevin McCrimmon (2004) A Taste of Jordan Algebras、64ページ、Universitext、Springer ISBN 0-387-95447-3MR  2014924
3. Michel Berthier、Nicoletta Prencipe、Edouardo Provenzi (2023)知覚ホワイト バランスのための分割四元数@ HAL
4. ジェームズ・コックル（1849）「複数の虚数を含む代数体系について」『哲学雑誌』 （シリーズ3）35:434,5、生物多様性遺産図書館からのリンク
5. A. Macfarlane (1904) Bibliography of Quaternions and Allied Systems of Mathematics 、 Cornell University Historical Math Monographsより、James Cockle の項目、pp. 17–18
6. WK Clifford (1878) Elements of Dynamic、170ページ、インターネットアーカイブより
7. A. Macfarlane (1900)空間解析の曲線座標への応用Archived 2014-08-10 at the Wayback Machine、 Proceedings of the International Congress of Mathematicians、パリ、ページ306、 International Mathematical Unionより
8. A. Macfarlane (1910)「空間代数の原理の統一と発展」インターネットアーカイブ経由。
9. ハンス・ベック(1910) Ein Seitenstück zur Mobius'schen Geometrie der Kreisverwandschaften、米国数学協会論文集11
10. AA Albert (1942)、「合成が可能な二次形式」、 Annals of Mathematics 43:161-77
11. Valentine Bargmann (1947)、「ローレンツ群の既約ユニタリ表現」Annals of Mathematics 48: 568–640
12. Rosenfeld, BA (1988)『非ユークリッド幾何学の歴史』 389ページ、Springer-Verlag ISBN 0-387-96458-4
13. Isaak Yaglom (1968) Complex Numbers in Geometry、24ページ、 Academic Press

さらに読む

• ブロディ、ドルジェ・C.、エヴァ＝マリア・グレーフェ.「複素化力学とコクォータニオンについて」Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• イワノフ、ステファン；ザムコボイ、シメオン（2005）、「パラエルミート多様体とパラクォータニオン多様体」、微分幾何学とその応用23、pp.205-234、arXiv：math.DG / 0310415、MR 2158044。 
• Mohaupt, Thomas (2006)、「特殊幾何学における新しい展開」、arXiv : hep-th/0602171。
• オズデミール、M.（2009）「分割四元数の根」応用数学レター22：258-63。[1]
• オズデミール、M. & AAエルギン (2006)「ミンコフスキー3次元空間における時間的四元数による回転」、Journal of Geometry and Physics 56: 322–36. [2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M Rodrigues-Dagnino (2008)「コ四元数代数のいくつかの代数的および解析的特性」、『応用クリフォード代数の進歩』。

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