超加法性

Property of a function

数学において、関数が 超加法的であるとは、すべての関数に対してであり、定義域が ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f.}$

同様に、すべての不等式を満たすシーケンスは、 超加法的と呼ばれます。 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots }$ $${\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$

「超加法」という用語は、ブール代数から、より低い確率などの実数への関数にも適用されます。 ${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y),}$

超加法関数の例

• この写像は非負実数に対しては超加法関数である。 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy\geq f(x)+f(y).}$

• 行列式は非負エルミート行列に対して超加法的である。つまり、 が非負エルミート行列であるとき、 これはミンコフスキーの行列式定理から導かれ、より一般的には、 がサイズ の非負エルミート行列に対して超加法的（同値、凹）^[1]であることを述べている。が非負エルミート行列であるとき、 ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).}$ ${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.}$
• ホルスト・アルツァーは^[2]アダマールのガンマ関数が すべての実数に対して超加法的であることを証明した^[3]。 ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x,y\geq 1.5031.}$
• 相互情報

プロパティ

が超加法関数であり、その定義域に が含まれる場合、これを確認するには、定義不等式に と を設定するだけです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle f(0)\leq 0.}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y=0}$

超加法関数の負の値は、劣加法関数です。

フェケテの補題

超加法列が使用される主な理由は、マイケル・フェケテによる次の補題である。^[4]

補題: (フェケテ) すべての超加法シーケンスに対して、極限は上限に等しい (シーケンスの場合のように、極限は正の無限大になることもあります)。 ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle \lim a_{n}/n}$ ${\displaystyle \sup a_{n}/n.}$ ${\displaystyle a_{n}=\log n!}$

フェケテの補題の類似は、劣加法関数にも成立する。フェケテの補題には、すべての関数に対して上記の超加法性の定義が成立することを必要とせずに拡張されるものがあり、 また、ある種の超加法性と劣加法性の両方が存在する場合、フェケテの補題で存在が表明されている極限への収束速度を推論できる結果もある。このトピックに関する優れた解説は、Steele (1997) に記載されている。^{[5] [6]} ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n.}$

参照

• ショケ積分 – 劣加法積分または優加法積分
• 内測
• 劣加法性 – いくつかの数学関数の性質
• 劣線形関数 – 線形代数における関数の種類

参考文献

1. M. Marcus, H. Minc (1992). 行列理論と行列不等式の概説. Dover. 定理4.1.8, 115ページ.
2. ホルスト・アルツァー (2009)。 「アダマールのガンマ関数の超加法的性質」。ハンブルク大学アブハンドルゲン数学セミナー。79．スプリンガー: 11–23。土井:10.1007/s12188-008-0009-5。S2CID  123691692。
3. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A381340 (H = アダマールのガンマ関数に対して H(2*c) = 2*H(c) となる c > 1.5 の小数値)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
4. フェケテ、M. (1923)。 「Über die Verreilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten」。数学的ツァイシュリフト。17 (1): 228–249。土井:10.1007/BF01504345。S2CID  186223729。
5. Michael J. Steele (1997).確率論と組合せ最適化. SIAM, フィラデルフィア. ISBN 0-89871-380-3。
6. Michael J. Steele (2011). 確率論と組合せ最適化に関するCBMS講義. ケンブリッジ大学.

注記

• ジェルジ・ポリャとガボール・ゼゴ。 （1976年）。解析の問題と定理、第 1 巻。スプリンガー・フェルラーク、ニューヨーク州。ISBN 0-387-05672-6。

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