フレネ・セレ式

空間曲線、ベクトル $T 、 N 、 B$ 、および $T$ と $N$ が張る接触面

微分幾何学において、フレネ・セレの公式は、三次元ユークリッド空間内の微分可能曲線に沿って運動する粒子の運動学的性質、またはいかなる運動とも無関係な曲線自体の幾何学的性質を記述する。より具体的には、これらの公式は、いわゆる接線、法線、および従法線単位ベクトルの相互の導関数を記述する。これらの公式は、独立に発見した二人のフランスの数学者、ジャン・フレデリック・フレネ（1847年の学位論文）、およびジョゼフ・アルフレッド・セレ（1851年）にちなんで名付けられた。これらの公式を書くために現在使用されているベクトル表記と線型代数は、発見当時はまだ利用できなかった。 $\mathbb {R} ^{3},$

接線、法線、従法線単位ベクトルは、 $T$ 、 $N$ 、 $B$ 、またはまとめてフレネ・セレ基底(またはTNB 基底) とも呼ばれ、を張る直交基底を形成し、次のように定義されます。 $\mathbb {R} ^{3},$

$T$ は曲線に接する単位ベクトルであり
$N$ は法線単位ベクトルであり曲線の弧長パラメータに対する $T$ の微分を
$Bは、$ $T$ と $N$ の外積である、従法線単位ベクトルです。

上記の基底は、曲線上の評価点の原点と組み合わせて、移動フレーム、すなわちフレネ・セレフレーム（またはTNBフレーム）を定義します。

フレネ・セレの公式は、次のとおりです。ここで、は弧長に関する導関数、 $κ$ は曲率、 $τは空間曲線の$ ねじれです。（直感的に、曲率は曲線が直線にならない程度を測り、ねじれは曲線が平面にならない程度を測ります。） $κ$ と $τ の2 つの$ スカラーと組み合わされた $TNB$ 基底は、総称してフレネ・セレ装置と呼ばれます。 ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$ ${\tfrac {d}{ds}}$

定義

平面曲線上の2点における T $ベクトル$ と $Nベクトル$
2番目のフレームの翻訳バージョン。
$T$ の変化 $：δT$ $'$ 。
$δs$ は点間の距離です。極限では $N$ 方向となり、曲率はフレームの回転速度を表します。 ${\tfrac {d\mathbf {T} }{ds}}$

$r (t)$ をユークリッド空間上の曲線とし、粒子の位置ベクトルを時間の関数として表す。フレネ・セレの公式は非退化曲線に適用され、これは大まかに言うと、曲率がゼロではない曲線であることを意味する。より正式には、この状況では速度ベクトル $r$ $'($ $t$ $)$ と加速度ベクトル $r$ $''($ $t$ $)$ は比例しないことが求められる。

$s (t)$ は、時間 $t$ において粒子が曲線に沿って移動した弧の長さを表すものとします。量 $s$ は、粒子の軌跡によって描かれた曲線に弧の長さによる自然なパラメータ化(つまり、弧長パラメータ化) を与えるために使用されます。これは、多くの異なる粒子経路が、異なる速度で横断することにより、同じ幾何学的曲線を描く可能性があるためです。詳細には、 $s$ は次のように与えられます。さらに、 $r$ $' \neq 0$ と仮定したので、 $s$ $($ $t$ $)$ は厳密に単調増加関数であることがわかります。したがって、 $tを$ $s$ の関数として解くことができ、 $r$ $($ $s$ $) =$ $r$ $($ $t$ $($ $s$ $))$ と書くことができます。このようにして、曲線は、その弧の長さによって好ましい方法でパラメータ化されます。 $s(t)=\int _{0}^{t}\left\|\mathbf {r} '(\sigma )\right\|d\sigma .$

非退化曲線 $r (s)をその弧の長さでパラメータ化すると、$ フレネ・セレフレーム（または $TNB$ フレーム）を定義できるようになります。

接線単位ベクトル $T$ は次のように定義される。 $\mathbf {T} :={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}.$
法線単位ベクトル $N$ はと定義されます。T $は$ 常に単位大きさを持つため、 $T$ の長さは変化しないため、 $N （$ $T$ の変化）は常に $T$ に垂直であることがわかります。曲率を求めることで、最初の関係が自動的に得られることに注意してください。 $\mathbf {N} :={{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}} \over \left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|},$ $\kappa =\left\|{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}\right\|$

従法線単位ベクトル $Bは、$ $T$ と $N$ の外積として定義されます。 $\mathbf {B} :=\mathbf {T} \times \mathbf {N} ,$

螺旋に沿って移動するフレネ・セレ座標系。T $は$ 青い矢印、 $N$ は赤い矢印、 $B$ は黒い矢印で表されます。

ここから、 $Bは$ 常に $T$ と $Nの$ 両方に垂直であることが分かります。したがって、3つの単位ベクトル $T 、 N 、 B$ はすべて互いに垂直です。

フレネ・セレの式は次のとおりです。

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}&=\kappa \mathbf {N} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {N} }{\mathrm {d} s}}&=-\kappa \mathbf {T} +\tau \mathbf {B} ,\\[4pt]{\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} }{\mathrm {d} s}}&=-\tau \mathbf {N} ,\end{aligned}}$

ここで、 $κ$ は曲率、 $τは$ ねじれ角です。

フレネ・セレの公式はフレネ・セレの定理とも呼ばれ、行列記法を使ってより簡潔に述べることができる。^{[ 1 ]} ${\begin{bmatrix}\mathbf {T'} \\\mathbf {N'} \\\mathbf {B'} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.$

この行列は歪対称です。

n次元の式

フレネ・セレの公式は、1874 年にカミーユ・ジョルダンによって高次元ユークリッド空間に一般化されました。

$r (s)$ がにおける滑らかな曲線であり、 $r$ の最初の $n$ 導関数が線形独立であるとする。 ^[²^] Frenet–Serret フレームのベクトルは、ベクトル $($ $r$ $'($ $s$ $)、$ $r$ $''($ $s$ $)、 ...、$ $r$ $($ $n$ $)$ $($ $s$ $))に$ グラム・シュミット過程を適用することによって構築される直交基底である。 $\mathbb {R} ^{n},$

詳細には、単位接線ベクトルは第1フレネベクトル $e 1 (s)$ であり、次のように定義される。

$\mathbf {e} _{1}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)\|}}$

どこ

${\overline {\mathbf {e} _{1}}}(s)=\mathbf {r} '(s)$

法線ベクトルは、曲率ベクトルとも呼ばれ、曲線が直線からどれだけ離れているかを表します。これは次のように定義されます。 ${\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-\langle \mathbf {r} ''(s),\mathbf {e} _{1}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(s)$

その正規化された形式である単位法線ベクトルは、第2フレネベクトル $e 2 (s)$ であり、次のように定義される。

$\mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}$

$点s$ における接線と法線ベクトルは点 $r$ $($ $s$ $)$ における接触面を定義します。

フレーム内の残りのベクトル（二法線、三法線など）も同様に定義されます。

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{j}(s)&={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}},\\{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)&=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {r} ^{(j)}(s),\mathbf {e} _{i}(s)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(s).\end{aligned}}

$フレームの最後のベクトルは、最初のn - 1個の$ ベクトルの外積によって定義されます。 $\mathbf {e} _{n}(s)=\mathbf {e} _{1}(s)\times \mathbf {e} _{2}(s)\times \dots \times \mathbf {e} _{n-2}(s)\times \mathbf {e} _{n-1}(s)$

$χ i (s)$ 以降で用いられる実数値関数は一般化曲率と呼ばれ、次のように定義される。

$\chi _{i}(s)=\langle \mathbf {e} _{i}'(s),\mathbf {e} _{i+1}(s)\rangle$

フレネ・セレの公式は行列言語で表現すると、

${\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&0&0\\[4pt]-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &0\\[4pt]0&\ddots &\ddots &\chi _{n-1}(s)\\[4pt]0&0&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\\\end{bmatrix}}$

ここで定義した一般化曲率とフレームは、他の文献で見られる慣例とは若干異なる場合があることに注意されたい。上面曲率 $χ n -1$ （この文脈では捩れとも呼ばれる）とフレームの最後のベクトル $e n$ は、符号が異なっている。

$\operatorname {or} \left(\mathbf {r} ^{(1)},\dots ,\mathbf {r} ^{(n)}\right)$

（基底の向き）は通常の捩れから得られる。フレネ・セレの公式は $χ n -1$ と $e n$ $の両方の符号を反転させても不変であり、この符号の変化によりフレームは正の向きを持つ。上で定義したように、フレームはr$ のジェットから向きを継承する。

フレネ・セレ公式の証明

$最初のフレネ・セレ公式は法線N$ と曲率 $κ$ の定義により成立し、3番目のフレネ・セレ公式はねじれ $τ$ の定義により成立する。したがって、必要なのは2番目のフレネ・セレ公式を示すことである。

$T 、 N 、 Bは$ $B = T \times N$ となる直交単位ベクトルなので、 $T = N \times B$ 、 $N = B \times T$ となる。最後の式を $s$ について微分すると、

${\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}=\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}\right)\times \mathbf {T} +\mathbf {B} \times \left({\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}\right)$

これとこれを使うと ${\tfrac {\partial \mathbf {B} }{\partial s}}=-\tau \mathbf {N}$ ${\tfrac {\partial \mathbf {T} }{\partial s}}=\kappa \mathbf {N} ,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {N} }{\partial s}}&=-\tau (\mathbf {N} \times \mathbf {T} )+\kappa (\mathbf {B} \times \mathbf {N} )\\&=\tau \mathbf {B} -\kappa \mathbf {T} \end{aligned}}$

これはまさに2番目のフレネ・セレの式です。

応用と解釈

フレームの運動学

$接線T$ 、法線 $N$ 、従法線 $B$ からなるフレネ・セレ座標系は、 3次元空間の直交基底を形成します。この曲線の各点には、参照系、すなわち直線座標系が付加されます（図を参照）。

フレネ・セレの公式は運動学的解釈が可能である。観測者が曲線に沿って時間的に移動しており、各点に付随する座標系を座標系として用いているとしよう。フレネ・セレの公式は、観測者が曲線に沿って移動するにつれて、この座標系が常に回転することを意味する。したがって、この座標系は常に非慣性である。観測者の座標系の角運動量は、座標系のダルブーベクトルに比例する。

具体的には、観測者が曲線に沿って（慣性）コマ（またはジャイロスコープ）を携帯しているとします。コマの軸が曲線の接線に沿う場合、観測者の非慣性座標系に対して、コマはその軸の周りを角速度−τ で回転するのが観測されます。一方、コマの軸が従法線方向を向いている場合は、角速度 −κ で回転するのが観測されます。これは、曲率が正の定数でねじれがゼロの場合に簡単に視覚化できます。すると観測者は等速円運動をしています。コマが従法線の方向を向いている場合は、角運動量保存則により、円運動と反対方向に回転する必要があります。曲率がゼロになる極限の場合、観測者の法線は接線ベクトルの周りを歳差運動し、同様にコマはこの歳差運動と反対方向に回転します。

一般的なケースは以下に図示されています。ウィキメディアにはさらに詳しい図解があります。

アプリケーション

フレームの運動学は科学の分野で多くの応用があります。

生命科学、特に微生物の運動モデルにおいては、粘性媒体中を運動する生物が方向を変えるメカニズムを説明するために、フレネ・セレ座標系の考察が用いられてきた。^{[ 3 ]}
物理学において、フレネ・セレ座標系は、軌道に自然な座標系を割り当てることが不可能または不便な場合に有用である。例えば相対性理論では、このような状況がしばしば見られる。このような状況において、フレネ・セレ座標系は重力井戸内のジャイロスコープの歳差運動をモデル化するために用いられてきた。^{[ 4 ]}

グラフィックイラストレーション

ヴィヴィアーニ曲線に沿った移動フレネ基底の例 (青の $T 、緑の$ $N$ 、紫の $B$ ) 。

トーラス結び目の例では、接線ベクトル $T$ 、法線ベクトル $N$ 、従法線ベクトル $B$ に加え、曲率 $κ (s)$ とねじれ $τ (s)$ が表示されています。ねじれ関数のピークでは、接線ベクトルを中心としたフレネ・セレ座標系 $($ $T$ $,$ $N$ $,$ $B$ $)$ の回転が明確に確認できます。

曲率の運動学的意義は、平面曲線（一定のねじれ角がゼロ）において最もよく説明されます。平面曲線の曲率に関するページを参照してください。

微積分のフレネ・セレ公式

フレネ・セレの公式は、多変数微分積分学の講義で、らせん曲線などの空間曲線の研究の補足として頻繁に紹介されます。らせん曲線は、一回転あたりの高さ $2π h$ と半径 $r$ で特徴付けられます。半径一定のもとでのらせん曲線の曲率とねじれ角は、以下の公式で与えられます。 ${\begin{aligned}\kappa &={\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\[4pt]\tau &=\pm {\frac {h}{r^{2}+h^{2}}}.\end{aligned}}$

ねじれの符号は、らせんが中心軸の周りを右巻きか左巻きかによって決まります。具体的には、高さ $2π h$ 、半径 $r$ の右巻きらせんの1回転のパラメータ化は、左巻きらせんの場合は、となります。これらは弧長のパラメータ化ではないことに注意してください（弧長のパラメータ化の場合は、 $x$ $、$ $y$ $、$ $z$ のそれぞれをで割る必要があります）。 ${\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi )\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=-r\sin t\\z&=ht\\(0&\leq t\leq 2\pi ).\end{aligned}}$ ${\sqrt {h^{2}+r^{2}}}$

ルディ・ラッカー^{[ 5 ]}は、曲線幾何学に関する解説書の中で、スリンキーのモデルを用いて、ねじれと曲率の意味を説明しています。彼によれば、スリンキーは、中心軸に沿って垂直に引き伸ばしても、ねじれの量は一定であるという性質を特徴としています。（ここで、 $2π$ $h$ はスリンキーのねじれ1回分の高さ、 $r は$ 半径です。）特に、曲率とねじれは、スリンキーを引き伸ばすことで曲率を犠牲にしてねじれを大きくできるという意味で、相補的です。 $A^{2}=h^{2}+r^{2}$

テイラー展開

曲線を繰り返し微分し、フレネ・セレの公式を適用すると、曲線が弧長でパラメータ化されている場合、 $s$ $= 0$ 付近の曲線の次のテイラー近似が得られます。 ^[⁶^] $\mathbf {r} (s)=\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3}).$

ねじれがゼロでない一般的な曲線の場合、 s = 0における $T 、 N 、 B$ 座標系のさまざまな座標平面への曲線の投影には、次の解釈があります。

接触平面は、 $T$ $と$ Nを $含む$ 平面です。この平面への曲線の投影は次のようになります。これは、 $O$ $($ $s2$ $)$ の次数までの放物線で、0における曲率は $κ$ $(0)$ に等しくなります。接触平面には、曲線から接触平面までの距離が $O$ $($ $s3$ $)$ であるのに対し、曲線から他のどの平面までの距離も $O$ $($ $s2$ $)以下であるという特殊な性質があり$ $ます。これは上記のテイラー展開から分かります。つまり、接触平面は$ $、$ ある意味では、与えられた点における曲線に最も近い平面なのです。 $\mathbf {r} (0)+s\mathbf {T} (0)+{\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}\mathbf {N} (0)+o(s^{2}).$
正規平面とは $、$ $N$ と $B$ を含む平面である。この平面への曲線の射影は、次の形を持ち、これは $o$ $($ $s3$ $)$ の位数を持つ尖点立方曲線である。 $\mathbf {r} (0)+\left({\frac {s^{2}\kappa (0)}{2}}+{\frac {s^{3}\kappa '(0)}{6}}\right)\mathbf {N} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$
平行平面とは、 $T$ と $B$ を含む平面である。この平面への曲線の投影は、次の式で表される。これは、 $o$ $($ $s3$ $)$ の $3$ 次多項式のグラフを描く。 $\mathbf {r} (0)+\left(s-{\frac {s^{3}\kappa ^{2}(0)}{6}}\right)\mathbf {T} (0)+\left({\frac {s^{3}\kappa (0)\tau (0)}{6}}\right)\mathbf {B} (0)+o(s^{3})$

リボンとチューブ

一定のねじれと大きく振動する曲率を持つ曲線によって定義されるリボン。この曲線の弧長パラメータ化は、フレネ・セレ方程式の積分によって定義されました。

フレネ・セレ装置を用いると、曲線を中心とする最適なリボンやチューブを定義することができます。これらは、材料科学や弾性理論^{[ 7 ]}、さらにはコンピュータグラフィックス^[⁸^]など、幅広い分野で応用されています。

曲線 $C$ に沿うフレネリボン^[⁹^]は、曲線に沿って単位法線によって生成される線分 $[ -$ $N$ $,$ $N$ $]をスイープして描かれた面です。この面は、$ $C$ の接触面の包絡線 $E$ である接線展開可能面と混同されることがあります。これはおそらく、フレネリボンと $Eの両方が$ $C$ に沿って同様の特性を示すためでしょう。つまり、 $E$ の両シートの接平面は、これらのシートが交差する特異点 $Cの近くで、$ $Cの接触面に近づきます。一方、$ $C$ に沿ったフレネリボンの接平面は、これらの接触面に等しくなります。フレネリボンは一般に展開可能ではありません。

曲線の合同性

古典ユークリッド幾何学では、平面上の図形が合同性に関して不変である性質を研究することに関心が向けられており、2つの図形が合同であれば、それらは同じ性質を持つはずだということがわかる。フレネ・セレの装置は、曲率とねじれを空間曲線の数値不変量として提示する。

大まかに言えば、空間内の2つの曲線 $C$ と $C'$ は、一方を他方に剛体的に動かすことができる場合、合同です。剛体運動は、並進と回転の組み合わせで構成されます。並進は、 $Cの1つの点を$ $C'$ の点に移動します。次に、回転により、曲線 $Cの方向が$ $C'$ の方向と一致するように調整されます。このような並進と回転の組み合わせは、ユークリッド運動と呼ばれます。最初の曲線 $Cを定義するパラメータ化$ $r (t)$ の観点から見ると、 $C$ の一般的なユークリッド運動は次の操作の合成です。

（翻訳） $r (t)\to r (t)+ v$ 、ここで $v$ は定数ベクトル。
(回転) $r (t) + v \to M (r (t) + v)$ 、ここで $M$ は回転行列です。

フレネ・セレ座標系はユークリッド運動に関して特に良好な挙動を示す。まず、 $T$ 、 $N$ 、 $B は$ すべて曲線のパラメータ化の逐次微分として与えられるため、それぞれ $r (t)$ に定数ベクトルを加えても影響を受けない。直感的に、 $r$ $($ $t$ $)$ に付随する $TNB$ 座標系は、新しい曲線 $r$ $($ $t$ $) +$ $vに付随する$ $TNB$ 座標系と同じである。

残るは回転だけである。直感的に、曲線に回転 $Mを適用すると、$ $TNBフレームも回転する。より正確には、フレネ・セレフレームの$ $TNB$ ベクトルを行とする行列 $Q$ は、回転行列によって変化する。

$Q\rightarrow QM.$

ましてや、行列は回転の影響を受けません。 ${\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }$

${\frac {\mathrm {d} (QM)}{\mathrm {d} s}}(QM)^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}MM^{\top }Q^{\top }={\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} s}}Q^{\top }$

回転行列の場合、 $MM T = I$ となるため。

$したがって、 κ$ と $τ$ の要素はユークリッド運動における曲線の不変量です。つまり、曲線にユークリッド運動を適用すると、結果として得られる曲線は同じ曲率とねじれ角を持ちます。 ${\tfrac {dQ}{ds}}Q^{\mathrm {T} }$

さらに、フレネ・セレ座標系を用いることで、逆のことも証明できる。すなわち、同じ曲率とねじれ関数を持つ任意の2つの曲線は、ユークリッド運動によって合同となる。大まかに言えば、フレネ・セレの公式は $TNB$ 座標系のダルブー微分を表す。2つの座標系のダルブー微分が等しい場合、微積分学の基本定理の一種により、それらの曲線は合同であることが主張される。特に、曲率とねじれは、3次元曲線の 完全な不変量集合である。

フレームの他の表現

$上で示したT$ 、 $N$ 、 $B$ の式は、曲線が弧長パラメータで与えられていることを前提としています。これはユークリッド幾何学における自然な仮定です。なぜなら、弧長は曲線のユークリッド不変量だからです。物理学の用語では、弧長パラメータ化はゲージの自然な選択です。しかし、実際には扱いにくい場合があります。他にも等価な式がいくつかあります。

曲線が $r (t)$ で与えられ、パラメータ $t が$ 弧長である必要がないと仮定する。この場合、単位接線ベクトル $T$ は次のように表される。

$\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\|}}$

法線ベクトル $N$ は次の形をとる。

$\mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {T} '(t)}{\|\mathbf {T} '(t)\|}}$

これと加速度の式を用いると、法線ベクトル $B$ は次のように表される。 $\mathbf {r} '(t)=\|\mathbf {r} '(t)\|\mathbf {T} (t)$ $\mathbf {r} ''(t)=\|\mathbf {r} '(t)\|'\mathbf {T} +\kappa \|\mathbf {r} '(t)\|^{2}\mathbf {N}$

$\mathbf {B} (t)=\mathbf {T} (t)\times \mathbf {N} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}}$

同じ式を得る別の方法は、曲線 $r'(t)、 r "(t)、 r "'(t)の最初の3つの導関数を取り、$ グラム・シュミット過程を適用することである。結果として得られる順序付き直交基底は、まさに $TNB$ フレームとなる。この手順は、高次元のフレネフレームを生成するためにも一般化できる。

$パラメータt$ に関して、フレネ・セレの公式は連鎖律により $|| r'(t)||$ という追加の係数を取ります。

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}=\|\mathbf {r} '(t)\|{\begin{bmatrix}0&\kappa &0\\-\kappa &0&\tau \\0&-\tau &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}$

曲率とねじれ角の明示的な式を計算することもできる。例えば、

$\kappa ={\frac {\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|}{\|\mathbf {r} '(t)\|^{3}}}$

ねじれはスカラー三重積を使って次のように表すことができます。

$\tau ={\frac {[\mathbf {r} '(t),\mathbf {r} ''(t),\mathbf {r} '''(t)]}{\|\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\|^{2}}}$

特殊なケース

曲率が常にゼロであれば、曲線は直線になります。ここで、ベクトル $N 、 B$ 、およびねじれは明確に定義されていません。

ねじれが常にゼロの場合、曲線は平面上にあります。

曲線は曲率が非ゼロで、かつねじれがゼロである場合があります。例えば、 $z$ $= 0$ 平面において $r$ $($ $t$ $) = ($ $R$ $cos$ $t$ $,$ $R$ $sin$ $t$ $, 0)$ で与えられる半径 $Rの$ 円は、ねじれがゼロで、曲率が $1/$ $R$ に等しくなります。しかし、その逆は真です。つまり、ねじれが非ゼロの正則曲線は、曲率が非ゼロでなければなりません。これは、曲率がゼロであればねじれがゼロになるという事実の逆説に過ぎません。

らせんには一定の曲率と一定のねじれがあります。

平面曲線

‹下記のテンプレート（Further）は、カテゴリ「more」との統合を検討中です。合意形成のための議論については、テンプレートをご覧ください。›

曲線が $xy$ 平面に含まれる場合、その接線ベクトルと主単位法線ベクトルも $xy$ 平面内に存在する。その結果、単位従法線ベクトルは $xy$ 平面に垂直となり、またはのいずれかとなる。右手の法則により、上から見たときに曲線の軌跡が左向きの場合、 $B$ はとなり、右向きの場合、Bはとなる。結果として、ねじれ $τ$ は常にゼロとなり、曲率 $κ$ の式は ${\bf {r}}(t)=\langle x(t),y(t),0\rangle$ $\mathbf {T} ={\tfrac {\mathbf {r} '(t)}{||\mathbf {r} '(t)||}}$ $\mathbf {N} ={\tfrac {\mathbf {T} '(t)}{||\mathbf {T} '(t)||}}$ $\mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N}$ $\langle 0,0,1\rangle$ $\langle 0,0,-1\rangle$ $\langle 0,0,1\rangle$ $\langle 0,0,-1\rangle$ ${\tfrac {||\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)||}{||\mathbf {r} '(t)||^{3}}}$ $\kappa ={\frac {|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{{\bigl [}(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}{\bigr ]}^{3/2}}}$

参照

注記

^キューネル 2002 , §1.9
^実際に線形独立である必要があるのは最初の $n - 1$ だけです。残りの最後のフレームベクトル $e nは$ 、他のフレームの幅に直交する単位ベクトルとして選択できるため、結果のフレームは正の方向になります。
^クレンショー（1993年）。
^アイヤーとヴィシュヴェシュワラ (1993)。
^ Rucker, Rudy (1999). 「Watching Flies Fly: Kappatau Space Curves」 . サンノゼ州立大学. 2004年10月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。
^キューネル 2002、19ページ
^ Goriely et al. (2006).
^ハンソン。
^用語については、 Sternberg (1964). Lectures on Differential Geometry . Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall. p. 252-254 . ISBNを参照。 9780135271506。{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)。

参考文献

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外部リンク

[1] キューネル 2002 , §1.9

[2] 実際に線形独立である必要があるのは最初の $n - 1$ だけです。残りの最後のフレームベクトル $e nは$ 、他のフレームの幅に直交する単位ベクトルとして選択できるため、結果のフレームは正の方向になります。

[3] クレンショー（1993年）。

[4] アイヤーとヴィシュヴェシュワラ (1993)。

[rucker-5] Rucker, Rudy (1999). 「Watching Flies Fly: Kappatau Space Curves」 . サンノゼ州立大学. 2004年10月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。

[6] キューネル 2002、19ページ

[7] Goriely et al. (2006).

[8] ハンソン。

[9] 用語については、 Sternberg (1964). Lectures on Differential Geometry . Englewood Cliffs, NJ, Prentice-Hall. p. 252-254 . ISBNを参照。 9780135271506。{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)。

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v t e 微分幾何学で定義された曲率の様々な概念
曲線の微分幾何学	曲率曲線のねじれフレネ・セレ式曲率半径アフィン曲率全曲率絶対曲率合計
曲面の微分幾何学	主曲率ガウス曲率平均曲率ダルブーフレームガウス・コダッツィ方程式最初の基本形第二基本形第三基本形態
リーマン幾何学	リーマン多様体の曲率リーマン曲率テンソルリッチ曲率スカラー曲率断面曲率
接続の曲率	曲率形式ねじりテンソル共曲率ホロノミー