Generalization of the tangent space to a manifold to the case of certain spaces
幾何学 において 、 接円錐は、 多様体 への 接空間 の概念を、 特異点 を持つ特定の空間の場合に一般化したものです 。
非線形解析における定義 非線形解析において、接円錐には隣接円錐、 ブーリガンド の 条件円錐 、 クラーク接円錐 など、多くの定義があります。これら3つの円錐は凸集合では一致しますが、より一般的な集合では異なることがあります。
クラーク接線円錐 バナッハ空間 の空でない閉部分集合を とする 。 における へのクラークの接錐 は で表され、 のすべてのベクトル から成り、 が 0 に向かう任意 の数列と に 向かう任意の数列に対して、 に向かう 数列が存在し 、 に対して が 成り立つ。 A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} x 0 ∈ A {\displaystyle x_{0}\in A} T ^ A ( x 0 ) {\displaystyle {\widehat {T}}_{A}(x_{0})} v ∈ X {\displaystyle v\in X} { t n } n ≥ 1 ⊂ R {\displaystyle \{t_{n}\}_{n\geq 1}\subset \mathbb {R} } { x n } n ≥ 1 ⊂ A {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}\subset A} x 0 {\displaystyle x_{0}} { v n } n ≥ 1 ⊂ X {\displaystyle \{v_{n}\}_{n\geq 1}\subset X} v {\displaystyle v} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} x n + t n v n ∈ A {\displaystyle x_{n}+t_{n}v_{n}\in A}
クラークの接錐は、常に対応する 付随錐 の部分集合である（そして、対象となる集合が凸集合である場合は、対応する付随錐と一致する）。これは、閉じた凸錐であるという重要な性質を持つ。
凸幾何学における定義 を実 ベクトル空間の 閉凸 部分 集合 とし 、 を の 境界 とします 。 点 における への 立体接円錐は 、 から発して とは異なる 少なくとも 1 点で 交わる すべての半直線（または放射線）によって形成される円錐の 閉包 です 。これは における 凸円錐 であり、 とを含み、 における の サポート超平面 で囲まれた の閉半 空間 の交差としても定義できます。 立体接円錐の 境界は、 および における への 接円錐 です。これが の アフィン部分空間 である場合、点は の 滑らかな点 と呼ばれ 、 で 微分可能 であると言われ 、 における への 通常の 接空間 です。 K {\displaystyle K} V {\displaystyle V} ∂ K {\displaystyle \partial K} K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} x ∈ ∂ K {\displaystyle x\in \partial K} x {\displaystyle x} K {\displaystyle K} y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} K {\displaystyle K} K {\displaystyle K} x {\displaystyle x} T K {\displaystyle T_{K}} K {\displaystyle K} ∂ K {\displaystyle \partial K} x {\displaystyle x} V {\displaystyle V} x {\displaystyle x} ∂ K {\displaystyle \partial K} ∂ K {\displaystyle \partial K} x {\displaystyle x} T K {\displaystyle T_{K}} ∂ K {\displaystyle \partial K} x {\displaystyle x}
代数幾何学における定義 y 2 = x 3 + x 2 (赤) と接線円錐 (青) X を アフィン空間 に埋め込まれた アフィン代数多様 体とし 、 定義イデアル を とする 。任意の多項式 f に対して、 f の最低次 同次成分を、 f の 初項 を とし、 k n {\displaystyle k^{n}} I ⊂ k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle I\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]} in ( f ) {\displaystyle \operatorname {in} (f)}
in ( I ) ⊂ k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \operatorname {in} (I)\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]} は、すべての の 初期項によって形成される同次イデアルであり 、 I の 初期イデアル である。 原点における X の 接円錐は 、イデアル によって定義されるのザリスキ閉部分集合である 。 座標系 をシフトすることにより、この定義は原点の代わりに の任意の点まで拡張される。接円錐は、 X が 微分可能多様 体 に最も類似する 正規の点における X の接空間の概念を、 X 全体へ拡張したものとして働く。（ X に含まれない の点における接円錐 は空である。） in ( f ) {\displaystyle \operatorname {in} (f)} f ∈ I {\displaystyle f\in I} k n {\displaystyle k^{n}} in ( I ) {\displaystyle \operatorname {in} (I)} k n {\displaystyle k^{n}} k n {\displaystyle k^{n}}
例えば、節点曲線
C : y 2 = x 3 + x 2 {\displaystyle C:y^{2}=x^{3}+x^{2}} は原点で特異である。なぜなら、 f ( x , y ) = y 2 − x 3 − x 2 の両方 の偏微分が (0, 0) でゼロになるからである。したがって、原点における C の ザリスキ接空間は 平面全体であり、曲線自体よりも高い次元を持つ（2次元対1次元）。一方、接円錐は、原点における C の2つの枝の接線の和である。
x = y , x = − y . {\displaystyle x=y,\quad x=-y.} その定義イデアルは、 f の初項によって生成される k [ x ]の 主イデアル 、すなわち y 2 − x 2 = 0 です。
接錐の定義は抽象代数多様体、さらには一般 ノイザン スキーム にまで拡張できる。X を 代数多様体 、 x を X の点 、( O X , x , m )を X の x における 局所環 とする。すると、 X の x における 接錐は、 O X , x の 対応する次数環 の m 進フィルタリング に関する スペクトル となる 。
gr m O X , x = ⨁ i ≥ 0 m i / m i + 1 . {\displaystyle \operatorname {gr} _{m}{\mathcal {O}}_{X,x}=\bigoplus _{i\geq 0}m^{i}/m^{i+1}.} 前の例を見れば、等級分けされた作品にも同じ情報が含まれていることがわかります。
( O X , x , m ) = ( ( k [ x , y ] ( y 2 − x 3 − x 2 ) ) ( x , y ) , ( x , y ) ) {\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathfrak {m}})=\left(\left({\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3}-x^{2})}}\right)_{(x,y)},(x,y)\right)} 次に、関連する次数環を展開すると
gr m O X , x = O X , x ( x , y ) ⊕ ( x , y ) ( x , y ) 2 ⊕ ( x , y ) 2 ( x , y ) 3 ⊕ ⋯ = k ⊕ ( x , y ) ( x , y ) 2 ⊕ ( x , y ) 2 ( x , y ) 3 ⊕ ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gr} _{m}{\mathcal {O}}_{X,x}&={\frac {{\mathcal {O}}_{X,x}}{(x,y)}}\oplus {\frac {(x,y)}{(x,y)^{2}}}\oplus {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}\oplus \cdots \\&=k\oplus {\frac {(x,y)}{(x,y)^{2}}}\oplus {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}\oplus \cdots \end{aligned}}} この多様体を定義する多項式は
y 2 − x 3 − x 2 ≡ y 2 − x 2 {\displaystyle y^{2}-x^{3}-x^{2}\equiv y^{2}-x^{2}} で ( x , y ) 2 ( x , y ) 3 {\displaystyle {\frac {(x,y)^{2}}{(x,y)^{3}}}}
参照
参考文献 MI Voitsekhovskii (2001) [1994]、「接線円錐」、 数学百科事典 、 EMS Press Aubin, J.-P., Frankowska, H. (2009). 「接線円錐」. 集合値解析 . 現代ビルクハウザー古典集成. ビルクハウザー. pp. 117– 177. doi :10.1007/978-0-8176-4848-0_4. ISBN 978-0-8176-4848-0 。 
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![{\displaystyle I\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adadfaa2ece8cb5229e383d8170d88a24039cbb7)
![{\displaystyle \operatorname {in} (I)\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbce2bfdb9143077821d3c4bd362b554e2902e97)
![{\displaystyle ({\mathcal {O}}_{X,x},{\mathfrak {m}})=\left(\left({\frac {k[x,y]}{(y^{2}-x^{3}-x^{2})}}\right)_{(x,y)},(x,y)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a855225acb44537d910257c663111d57cbbc8c4)
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