位相環

数学において、位相環とは、位相空間でもある環 であり、その加法と乗法の両方が写像^[1]として連続であり、積位相 を担う。これは、が加法位相群であり、乗法位相半群であることを意味する。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\times R\to R}$ ${\displaystyle R\times R}$ ${\displaystyle R}$

位相環は位相体と根本的に関連しており、位相体の完備化が体ではない位相環になるなど、位相体を研究する中で自然に生じる。^[2]

一般的なコメント

位相環の単位群は、 をの積に埋め込むことによって生じる位相が付与されている場合、位相群となる。しかし、の部分空間として単位群に部分空間位相が付与されている場合、その単位群は位相群ではない可能性がある。これは、 上の反転が部分空間位相に関して連続である必要がないためである。このような状況の例として、大域体のアデール環が挙げられる。その単位群はイデール群と呼ばれ、部分空間位相における位相群ではない。 上の反転が の部分空間位相において連続である場合、上のこれら2つの位相は同じである。 ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R\times R}$ ${\displaystyle \left(x,x^{-1}\right).}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R^{\times }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{\times }}$

環が単位を持つことを要求しない場合は、加法逆の連続性の要件を追加する必要があります。または、それと同等に、位相環を、乗算も連続する位相群(加算に関して) である環として定義する必要があります。

例

位相環は数学解析学において、例えば、ある位相空間（位相は点収束によって与えられる）上の連続実数値関数の環や、あるノルムベクトル空間上の連続線型作用素の環として現れる。すべてのバナッハ代数は位相環である。有理数、実数、複素数、進数もまた、標準的な位相を持つ位相環である（位相体も、後述）。平面においては、分離複素数と双対数は代替的な位相環を形成する。その他の低次元の例については、超複素数を参照のこと。 ${\displaystyle p}$

可換代数では、次のような構成が一般的である。可換環上のイデアル が与えられたとき、上のI進位相は次のように定義される。の部分集合が開集合であることと、任意の自然数に対して、 となるような自然数が存在することは同値である。これは位相環となる。 の-進位相がハウスドルフであることと、のすべての冪乗の交わりが零イデアルであることは同値である。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x+I^{n}\subseteq U.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (0).}$

整数上の - 進位相は、-進位相 ( を使用)の例です。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=p\mathbb {Z} }$

完了

任意の位相環は（加法に関して）位相群であり、したがって自然に一様空間となる。したがって、与えられた位相環が完備であるかどうかを問うことができる。そうでない場合は、 を完成させることができます。つまり、 上の与えられた位相が から生じる部分空間位相に等しいような稠密部分環としてを含む本質的に一意の完全な位相環を見つけることができます。開始環が距離的である場合、環はコーシー列の同値類の集合として構築できます。この同値関係により環はハウスドルフになり、定数列 (コーシーである) を使用して、(一様) 連続射 (後述の CM) を実現します。この場合、はハウスドルフかつ完全であるすべての CM に対して、 となる一意の CM が存在し、が距離的でない場合( たとえば、すべての実変数有理値関数の環、つまり、点ごとの収束の位相を備えたすべての関数など)、標準的な構築では最小のコーシー フィルターが使用され、上記と同じ普遍特性が満たされます ( Bourbaki著『一般位相学』III.6.5 を参照)。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c:R\to S}$ ${\displaystyle f:R\to T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g:S\to T}$ ${\displaystyle f=g\circ c.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q} }$

形式的な冪級数の環と- 進整数は、 - 進位相を持つ特定の位相環の完備化として最も自然に定義されます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

位相場

最も重要な例としては、位相体が挙げられる。位相体とは、位相環であると同時に体でもあり、非零元の反転が連続関数となるような体である。最も一般的な例としては、複素数とそのすべての部分体、そして-進体を含む値体が挙げられる。 ${\displaystyle p}$

参照

• コンパクト群 – コンパクト位相を持つ位相群
• フィールドを完了する
• 局所コンパクト体
• 局所コンパクト群
• 順序付き位相ベクトル空間
• 強連続半群 – 指数関数の一般化リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 位相アーベル群
• 位相体 – 加算、乗算、除算を含む代数構造リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 位相群 – 連続的な群作用を持つ位相空間である群
• 位相モジュール
• 位相半群
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

引用

1. ワーナー 1993、pp.1-2、定義1.1。
2. ワーナー 1989、p.77、第II章。

参考文献

• LV Kuzmin (2001) [1994]、「位相環」、数学百科事典、EMSプレス
• DBシャフマトフ（2001）[1994]、「位相場」、数学百科事典、EMSプレス
• ワーナー、セス（1989）『位相幾何学的場』エルゼビア社ISBN 9780080872681。
• ワーナー、セス（1993）『位相環』エルゼビア社、ISBN 9780080872896。
• ウラジミール・I・アルナウトフ、セルゲイ・T・グラヴァツキー、アレクサンドル・V・ミハレフ：位相環と加群の理論入門。マルセル・デッカー社、1996年2月、ISBN 0-8247-9323-4。
• N. ブルバキ、数学の要素。トポロジージェネラル。ヘルマン、パリ、1​​971 年、ch. Ⅲ §6

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