オルソセンター

三角形の 3 つの高さは垂心で交差します。鋭角三角形の場合、垂心は三角形の内側にあります。

三角形の垂心は、通常 $H$ で表され、3つの（延長された可能性のある）高さが交差する点です。^[1]^[2] 垂心は、三角形が鋭角である場合に限り、三角形の内側にあります。直角三角形の場合、垂心は直角の頂点と一致します。 ^[2]正三角形の場合、すべての三角形の中心（垂心を含む）は、その重心と一致します。

処方

$A、B、C$ を三角形の頂点と角度、B 、Cを辺の長さとする。垂心は三線座標系^{[3]を持つ。} $a=\left|{\overline {BC}}\right|,b=\left|{\overline {CA}}\right|,c=\left|{\overline {AB}}\right|$

${\begin{aligned}&\sec A:\sec B:\sec C\\&=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,\end{aligned}}$

および重心座標

${\begin{aligned}&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=\tan A:\tan B:\tan C.\end{aligned}}$

重心座標は三角形の内部の点に対してはすべて正ですが、外部の点に対しては少なくとも 1 つが負であり、頂点の点に対しては 2 つの重心座標が 0 であるため、垂心に対して与えられた重心座標は、垂心が鋭角三角形の内部、直角三角形の直角頂点、鈍角三角形の外部にあることを示しています。

複素平面において、点 $A、B、Cが$ 数 $z A 、z B 、z C$ を表し、三角形 $△$ $ABC$ の外心が平面の原点にあると仮定する。すると、複素数は

z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}

は点 $H 、すなわち三角形$ $△ ABC$ の高度で表されます。^{[4]このことから、}自由ベクトルを用いた垂心 $H$ の以下の特徴付けが簡単に確立されます。

{\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.

前述のベクトル恒等式の最初のものは、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって提唱されたシルベスター問題としても知られています。^[5]

プロパティ

$D、E、Fをそれぞれ$ $A、B、C$ からの高度のフィートとします。すると、

垂心が高度を分割する線分の長さの積は、3つの高度すべてで同じである: ^[6]^[7]

{\overline {AH}}\cdot {\overline {HD}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HE}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HF}}.

この定数の平方根を半径とする

H

を中心とする円は三角形の極円である。^[8]

3つの高度における、底面からの垂心の距離と高度の長さの比の合計は1である。^[9]（この性質と次の性質は、任意の内点とそれを通る3つのセビアンに関するより一般的な性質の応用である。）

{\frac {\overline {HD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {HE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {HF}}{\overline {CF}}}=1.

3つの高度における垂心頂点からの距離と高度の長さの比の合計は2である。^[9]

{\frac {\overline {AH}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BH}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CH}}{\overline {CF}}}=2.

垂心の等角共役は三角形の外心である。 ^[10]
垂心の等尺共役点は反補三角形の対称点である。^[11]
平面上の 4 つの点のうち 1 つが他の 3 つの点によって形成される三角形の垂心である場合、これを垂心系または垂心四角形と呼びます。

直心系

幾何学において、垂心系とは、平面上の4点の集合であり、そのうちの1点は他の3点によって形成される三角形の垂心である。同様に、これらの点のうち互いに交わらない2点を通る直線は直交し、4点のうち任意の3点を通る4つの円の半径は同じである。^[12]

4点が垂心系を形成する場合、各4点は他の3点の垂心となる。これら4つの三角形はすべて、同じ9点円を持つ。したがって、これら4つの三角形はすべて、同じ外接半径を持つ外接円を持つ。

円と円錐曲線との関係

三角形の外接半径を $R$ とすると^[13]^[14]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}=12R^{2}.

さらに、三角形の内接円の半径を $r$ 、外接円の半径を $r$ $a$ $、r$ $b$ $、r$ $c$ 、外接円の半径を $R$ とすると、垂心から頂点までの距離に関して以下の関係が成り立ちます。^[15]

{\begin{aligned}&r_{a}+r_{b}+r_{c}+r={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\&r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}

例えば、任意の高さ $AD$ を延長して外接円 $P$ と交差させ、 $ADが$ 外接円の弦となるようにすると、足 $Dは$ 線分 $HPを$ 二等分する。^[7]

{\overline {HD}}={\overline {DP}}.

三角形の一辺に外接し、他の辺の延長線にも接するすべての放物線の準線は垂心を通る。 ^[16]

三角形の垂心を通る円錐曲線は直角双曲線である。^[17]

他の中心との関係、9点円

9点円の垂心 $H$ 、重心 $G$ 、外心 $O$ 、中心 $Nはすべて、$ オイラー線と呼ばれる単一の直線上にあります。^[18] 9点円の中心は、垂心と外心の間のオイラー線の中点にあり、重心と外心の間の距離は、重心と垂心の間の距離の半分です。^[19]

{\begin{aligned}&{\overline {OH}}=2{\overline {NH}},\\&2{\overline {OG}}={\overline {GH}}.\end{aligned}}

垂心は重心よりも内心 $I$ に近く、垂心は内心よりも重心から遠いです。

{\begin{aligned}{\overline {HI}}&<{\overline {HG}},\\{\overline {HG}}&>{\overline {IG}}.\end{aligned}}

$辺a$ 、 $b$ 、 $c$ 、内接円半径 $r$ 、外接円半径 $R$ に関しては、^[20]^[21]^{: p. 449}

{\begin{aligned}{\overline {OH}}^{2}&=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C\\&=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),\\{\overline {HI}}^{2}&=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.\end{aligned}}

正三角形

三角形 $△ ABC$ が斜角（直角を含まない）の場合、元の三角形の垂心の脚三角形は垂心三角形または高低三角形と呼ばれる。つまり、斜三角形の高低の脚は垂心三角形 $△ DEF$ $を形成する。また、垂心三角形△ DEF$ の内心（内接円の中心）は、元の三角形 $△ ABC$ の垂心である。^[22]

直交三角形の頂点の三線座標は次のように与えられる。 ${\begin{array}{rccccc}D=&0&:&\sec B&:&\sec C\\E=&\sec A&:&0&:&\sec C\\F=&\sec A&:&\sec B&:&0\end{array}}$

直交三角形の延長された辺は、その基準三角形の反対側の延長された辺と３つの同一直線上で交わる。[ 23 ] ^[^24]^[22]

いかなる鋭角三角形においても、最小の周長を持つ内接三角形は直交三角形である。^[25]これは1775年に提起されたファニャーノの問題の解である。 ^[26]直交三角形の辺は、元の三角形の頂点における外接円の接線と平行である。^[27]

鋭角三角形の直交三角形は三角形の光路を与える。^[28]

$△ ABC$ の辺の中点における9点円の接線は直交三角形の辺と平行であり、直交三角形と相似な三角形を形成する。^[29]

直交三角形は接線三角形と密接な関係があり、次のように構成されます。三角形 $△$ $ABC$ の頂点 $A$ における外接円の接線を $L A$ とし、同様に $L$ $B$ $、 L$ $C$ を定義します。接線三角形は $△$ $A"B"C"$ $で、その辺は三角形△$ $ABC$ の外接円の頂点における接線です。接線三角形は直交三角形と相似です。接線三角形の外心、および直交三角形と接線三角形の相似中心は、オイラー線上にあります。^[21]^{: p. 447} $A''=L_{B}\cap L_{C},$ $B''=L_{C}\cap L_{A},$ $C''=L_{C}\cap L_{A}.$

接線三角形の頂点の三線座標は次のように与えられます。基準三角形とその直交三角形は直交三角形です。 ${\begin{array}{rrcrcr}A''=&-a&:&b&:&c\\B''=&a&:&-b&:&c\\C''=&a&:&b&:&-c\end{array}}$

直交三角形の詳細については、ここを参照してください。

歴史

三角形の3つの高さが（垂心において）一致するという定理は、現存するギリシャ数学文献には直接記載されていないが、アルキメデス（紀元前3世紀）の『補題集』（命題5）で用いられており、この『直角三角形に関する論文注解』（この論文は現存していない）を引用している。また、パップス（『数学集成』第7巻、62頁、 340年頃）もこの定理について言及している。^[30]この定理は、アル＝ナサウィー（11世紀）の『補題集』注解において明確に述べられ、証明されており、アル＝クヒー（ 10世紀初頭）の著作とされている。^[31]

このアラビア語による証明は、17世紀初頭の『補題集』のラテン語版の一部として翻訳されましたが、ヨーロッパでは広く知られておらず、そのためこの定理は17世紀から19世紀にかけてさらに数回証明されました。サミュエル・マロワは著書『幾何学』（1619年）で証明し、アイザック・ニュートンは未完の論文『曲線の幾何学』 （ 1680年頃）で証明しました。^[30]その後、ウィリアム・チャップルが1749年に証明しました。 ^[32]

特にエレガントな証明は、フランソワ＝ジョゼフ・セルヴォワ（1804）とカール・フリードリヒ・ガウス（1810）によって独立に示されました。三角形の各辺に平行な線を対点を通して引き、これら3本の線の交点から新しい三角形を形成します。すると、元の三角形は新しい三角形の中点三角形となり、元の三角形の頂角は新しい三角形の垂直二等分線となり、したがって（新しい三角形の外心において）一致する、というものです。^[33]

参照

三角形の中心

注記

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参考文献

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外部リンク

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