フェルミガス

Physical model of non-interacting fermions

フェルミ気体は、相互作用しない多数のフェルミオンの集合体として理想化されたモデルである。フェルミオンは、電子、陽子、中性子と同様にフェルミ・ディラック統計に従う粒子であり、一般的には半整数スピンを持つ粒子である。これらの統計は、熱平衡状態にあるフェルミ気体中のフェルミオンのエネルギー分布を決定し、フェルミオンの数密度、温度、および利用可能なエネルギー状態の集合によって特徴付けられる。このモデルは、イタリアの物理学者エンリコ・フェルミにちなんで名付けられている。^{[1] [2]}

この物理モデルは、多数のフェルミオンを含む特定の系に有用です。重要な例としては、金属中の電荷キャリア、原子核中の核子、中性子星中の中性子、白色矮星中の電子の挙動などが挙げられます。

説明

理想フェルミ気体または自由フェルミ気体は、一定のポテンシャル井戸内に相互作用しないフェルミオンの集合を仮定した物理モデルである。フェルミオンは半整数スピンを持つ素粒子または複合粒子であり、フェルミ＝ディラック統計に従う。整数スピン粒子の同等のモデルはボーズ気体（相互作用しないボソンの集合）と呼ばれる。粒子数密度が十分に低く、温度が高い場合、フェルミ気体とボーズ気体はどちらも古典的な理想気体のように振舞う。^[3]

パウリの排他原理により、量子状態は、一連の同一の量子数を持つ複数のフェルミオンによって占有されることはできない。したがって、相互作用しないフェルミ気体は、ボーズ気体とは異なり、エネルギーあたり少数の粒子を集中させる。したがって、フェルミ気体がボーズ・アインシュタイン凝縮体に凝縮することは禁止されているが、弱く相互作用するフェルミ気体はクーパー対を形成して凝縮体を形成することがある（ BCS -BECクロスオーバー領域としても知られる）。^[4]絶対零度におけるフェルミ気体の全エネルギーは、単一粒子基底状態の合計よりも大きい。これは、パウリの原理が、フェルミオンを分離して運動させ続ける一種の相互作用または圧力を意味するからである。このため、古典的な理想気体とは異なり、フェルミ気体の圧力は零度でも零ではない。例えば、このいわゆる縮退圧力は、中性子星（中性子のフェルミガス）や白色矮星（電子のフェルミガス）を、重力の内向きの引力から安定化させます。重力の引力は、星をブラックホールへと崩壊させるはずです。縮退圧力を克服できるほど星の質量が大きい場合にのみ、星は特異点へと崩壊することができます。

フェルミ温度を定義することが可能であり、それ以下では気体は縮退しているとみなすことができます（その圧力はほぼパウリの原理から導かれます）。この温度は、フェルミオンの質量とエネルギー状態の密度に依存します。

金属中の非局在電子を記述する自由電子モデルの主な仮定は、フェルミ気体から導き出すことができる。遮蔽効果により相互作用は無視されるため、理想的なフェルミ気体の平衡特性とダイナミクスを扱う問題は、独立した単一粒子の挙動の研究に帰着する。これらの系ではフェルミ温度は一般に数千ケルビンに達するため、人間への応用においては電子気体は縮退していると考えることができる。零温度におけるフェルミ粒子の最大エネルギーはフェルミエネルギーと呼ばれる。逆格子空間におけるフェルミエネルギー面はフェルミ面として知られている。

ほぼ自由電子モデルは、フェルミ気体モデルを金属および半導体の結晶構造に適応させたもので、結晶格子内の電子を、対応する結晶運動量を持つブロッホ電子に置き換えたものである。そのため、周期系は比較的扱いやすく、このモデルは、例えば摂動論を用いて相互作用を扱うより高度な理論の出発点となる。

1D均一ガス

長さLの1 次元無限正方形井戸は、位置エネルギーを持つ 1 次元ボックスのモデルです。 $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

これは量子力学における標準的なモデル系であり、単一粒子に対する解はよく知られています。箱の中のポテンシャルは均一であるため、このモデルは1次元均一気体^[5]と呼ばれます。ただし、粒子の総数が少ない場合、気体の実際の数密度プロファイルには節と腹が存在する可能性があります。

レベルは単一の量子数nでラベル付けされ、エネルギーは次のように与えられます。

$${\displaystyle E_{n}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}.}$$ここで、 は零点エネルギー（ゲージ固定の形式として任意に選択できる）、は単一フェルミオンの質量、 は縮約プランク定数である。 ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \hbar }$

スピンが-1 ⁄ 2のN個のフェルミオンの場合、同じエネルギーを持つ粒子は2つまでです。つまり、2つの粒子が のエネルギーを持ち、他の2つの粒子が のエネルギーを持ち、以下同様です。同じエネルギーを持つ2つの粒子は、スピンが1 ⁄ 2（スピンアップ）または-1 ⁄ 2 （スピンダウン）であり、各エネルギー準位に2つの状態が存在します。全エネルギーが最も低い状態（基底状態）では、n  =  N /2までのすべてのエネルギー準位が占有され、それより上の準位はすべて空です。 ${\textstyle E_{1}}$ ${\textstyle E_{2}}$

フェルミエネルギーの基準を と定義すると、フェルミエネルギーは で与えられます。ここで、 はn  =  N /2で評価された床関数です。 ${\displaystyle E_{0}}$ $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}=E_{n}-E_{0}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(\left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor \right)^{2},}$$ ${\textstyle \left\lfloor {\frac {N}{2}}\right\rfloor }$

熱力学的限界

熱力学的極限では、粒子の総数Nが非常に大きいため、量子数nは連続変数として扱うことができます。この場合、ボックス内の全体的な数密度プロファイルは確かに均一です。

範囲内の量子状態の数は、次のとおりです。 ${\displaystyle n_{1}<n<n_{1}+dn}$ $${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2\,dn\,.}$$

一般性を失うことなく、ゼロ点エネルギーがゼロになるように選択すると、次の結果が得られます。

$${\displaystyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n^{2}\implies dE={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n\,dn={\frac {\hbar \pi }{L}}{\sqrt {\frac {2E}{m}}}dn\,.}$$

したがって、範囲: では量子状態の数は: $${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{1}^{2}<E<E_{1}+dE\,,}$$ $${\displaystyle D_{n}(n_{1})\,dn=2{\frac {dE}{dE/dn}}={\frac {2}{{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{mL^{2}}}n}}\,dE\equiv D(E_{1})\,dE\,.}$$

ここで、退化の度合いは次のようになります。

$${\displaystyle D(E)={\frac {2}{dE/dn}}={\frac {2L}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

そして状態密度は次のようになります。

$${\displaystyle g(E)\equiv {\frac {1}{L}}D(E)={\frac {2}{\hbar \pi }}{\sqrt {\frac {m}{2E}}}\,.}$$

現代の文献^[5]では、上記は「状態密度」と呼ばれることもあります。しかし、これは系の体積（この1次元の場合）の係数によって異なります。 ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle D(E)}$ ${\displaystyle L}$

次の式に基づきます。

$${\displaystyle \int _{0}^{E_{\mathrm {F} }}D(E)\,dE=N\,,}$$

熱力学的極限におけるフェルミエネルギーは次のように計算できる。

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{({\text{1D}})}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {N}{2}}\right)^{2}\,.}$$

3D均一ガス

原子核のモデル。2種類の核子（陽子（赤）と中性子（青））がコンパクトに束ねられた状態を示す。第一近似として、原子核は相互作用しない陽子と中性子のガスで構成されていると見なすことができる。

3 次元の等方性かつ非相対論的な均一フェルミ気体の場合は、フェルミ球として知られています。

3次元の無限正方形井戸（つまり、辺の長さがLの立方体の箱）の位置エネルギーは $${\displaystyle V(x,y,z)={\begin{cases}0,&-{\frac {L}{2}}<x,y,z<{\frac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

これらの状態は、3つの量子数n _x、n _y、n _zでラベル付けされます。単一粒子のエネルギーはn _x、n _y、n _zが正の整数である 場合、 となります。この場合、複数の状態が同じエネルギーを持ちます（縮退エネルギー準位と呼ばれます）。例えば となります。 $${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$$ ${\displaystyle E_{211}=E_{121}=E_{112}}$

熱力学的限界

箱の中にN個の相互作用しないスピンフェルミオンが入っている場合、1/2⁠、熱力学的極限におけるエネルギーを計算することは興味深いことです。ここで、Nは非常に大きいため、量子数n _x、n _y、n _{z を}連続変数として扱うことができます。

ベクトルでは、各量子状態はエネルギーを持つ「n空間」の点に対応する。 ${\displaystyle \mathbf {n} =(n_{x},n_{y},n_{z})}$ $${\displaystyle E_{\mathbf {n} }=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}|\mathbf {n} |^{2}\,}$$

通常のユークリッド距離の2乗を表す。E F  + E ₀未満のエネルギーを持つ状態の数は、_n x _、 n y _、 n z_が正であるn次元空間領域における半径の球面内にある状態の数に等しい。基底状態において、この数は系内のフェルミオンの数に等しい。 ${\displaystyle |\mathbf {n} |^{2}}$ ${\textstyle \left|\mathbf {n} \right|={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}}}}$ ${\displaystyle |\mathbf {n} _{\mathrm {F} }|}$

$${\displaystyle N=2\times {\frac {1}{8}}\times {\frac {4}{3}}\pi n_{\mathrm {F} }^{3}}$$

最も低いエネルギー状態を占める自由フェルミオンは、逆格子空間において球面を形成します。この球面の表面がフェルミ面です。

2という係数は2つのスピン状態を表し、1/8という係数はすべてのnが正である領域にある球面の割合を表す。フェルミエネルギーは次のように与えられる。 $${\displaystyle n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}}$$ $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}n_{\mathrm {F} }^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{2/3}}$$

フェルミエネルギーと体積あたりの粒子数の関係は次のようになります（L ^{2 を}V ^2/3に置き換えた場合）。

${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3}}$

これは、ゼロ点エネルギーを超える最もエネルギーの高い粒子（ 番目の粒子）のエネルギーでもある。番目の粒子のエネルギーは ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle N'}$ $${\displaystyle E_{N'}=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {3\pi ^{2}N'}{V}}\right)^{2/3}\,=E_{0}+E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}}$$

フェルミ球内のすべてのエネルギー状態を占めるフェルミオンのフェルミ球の全エネルギーは次のように表されます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle E_{\rm {T}}=NE_{0}+\int _{0}^{N}E_{\mathrm {F} }{\big |}_{N'}\,dN'=\left({\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }+E_{0}\right)N}$$

したがって、粒子あたりの平均エネルギーは次のように表されます。 $${\displaystyle E_{\mathrm {av} }=E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }}$$

状態密度

3次元フェルミ気体の状態密度（DOS）

3次元均一フェルミ気体の場合、スピンのフェルミオンは、1/2⁠、エネルギーの関数としての粒子の数は、フェルミエネルギーを変数エネルギーに置き換えることによって得られます。 ${\textstyle N(E)}$ ${\textstyle (E-E_{0})}$

$${\displaystyle N(E)={\frac {V}{3\pi ^{2}}}\left[{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-E_{0})\right]^{3/2},}$$

状態密度（エネルギー状態の数、体積あたりのエネルギー）は、粒子の数をエネルギーで微分することで計算できます。 ${\displaystyle g(E)}$

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{V}}{\frac {\partial N(E)}{\partial E}}={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\right)^{3/2}{\sqrt {E-E_{0}}}.}$$

この結果は、フェルミ球内のすべてのエネルギー状態を占めるフェルミオンのフェルミ球の全エネルギーを計算する別の方法を提供します。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{T}&=\int _{0}^{N}E\,\mathrm {d} N(E)=EN(E){\big |}_{0}^{N}-\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{F}}N(E)\,\mathrm {d} E\\&=(E_{0}+E_{F})N-\int _{0}^{E_{F}}N(E)\,\mathrm {d} (E-E_{0})\\&=(E_{0}+E_{F})N-{\frac {2}{5}}E_{F}N(E_{F})=\left(E_{0}+{\frac {3}{5}}E_{\mathrm {F} }\right)N\end{aligned}}}$$

熱力学量

縮退圧力

3次元における古典的理想気体および量子的理想気体（フェルミ気体、ボース気体）の圧力対温度曲線。フェルミ粒子（電子など）におけるパウリ反発は、等価な古典的気体よりも高い圧力を与え、特に低温で顕著となる。

熱力学第一法則を用いると、この内部エネルギーは圧力として表すことができます。この式はフェルミ温度よりもはるかに低い温度でも有効です。この圧力は縮退圧力として知られています。この意味で、フェルミオンからなる系は縮退物質とも呼ばれます。 $${\displaystyle P=-{\frac {\partial E_{\rm {T}}}{\partial V}}={\frac {2}{5}}{\frac {N}{V}}E_{\mathrm {F} }={\frac {(3\pi ^{2})^{2/3}\hbar ^{2}}{5m}}\left({\frac {N}{V}}\right)^{5/3},}$$

標準的な恒星は、熱圧力（プラズマと放射線）と重力とのバランスを保つことで崩壊を回避します。恒星の寿命の終わりに熱過程が弱まると、一部の恒星は白色矮星となり、電子の縮退圧力によってのみ重力に抵抗して維持されます。フェルミガスをモデルとして用いることで、チャンドラセカール限界を計算することができます。チャンドラセカール限界とは、恒星がブラックホールまたは中性子星に崩壊する前に獲得できる最大質量（大きな熱圧力なしで）です。中性子星は主に中性子で構成される恒星であり、この場合も中性子の縮退圧力によって崩壊が回避されます。

金属の場合、電子縮退圧は材料の 圧縮率または体積弾性率に寄与します。

化学ポテンシャル

3 次元における古典的および量子的理想気体 (フェルミ気体、ボーズ気体) の化学ポテンシャルと温度の関係を示す曲線。

フェルミオンの濃度が温度によって変化しないと仮定すると、3次元理想フェルミ気体の全化学ポテンシャルμ （フェルミ準位）は、ゾンマーフェルト展開によって零温度フェルミエネルギーE _Fと関係付けられる（と仮定）。ここでTは温度である。^{[6] [7]} ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\mathrm {F} }}$ $${\displaystyle \mu (T)=E_{0}+E_{\mathrm {F} }\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{\rm {B}}T}{E_{\mathrm {F} }}}\right)^{4}+\cdots \right],}$$

したがって、内部化学ポテンシャルμ - E _{0 は}、特性フェルミ温度T _Fよりもはるかに低い温度ではフェルミエネルギーとほぼ等しくなります。この特性フェルミ温度は金属の場合10 ⁵ K程度であるため、室温（300 K）ではフェルミエネルギーと内部化学ポテンシャルは実質的に等しくなります。

標準値

金属

自由電子モデルでは、金属内の電子は均一なフェルミ気体を形成すると考えることができる。金属内の伝導電子の数密度は、1 m ^{3あたり約 10 28}～ 10 ²⁹電子の範囲であり、これは通常の固体中の典型的な原子密度でもある。この数密度によって生じるフェルミエネルギーは次のようになる。ここで、m _eは電子の静止質量である。^{[8]このフェルミエネルギーは、}太陽の表面温度よりもはるかに高い10 ⁶ケルビンのオーダーのフェルミ温度に相当します。大気圧下では、どんな金属もこの温度に達する前に沸騰します。したがって、実用上は、金属内の自由電子は近似として温度ゼロのフェルミ気体と見なすことができます（通常の温度はT _Fに比べて小さい）。 ${\displaystyle N/V}$ $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\ 10^{28\ \sim \ 29}\ \mathrm {m^{-3}} \right)^{2/3}\approx 2\ \sim \ 10\ \mathrm {eV} ,}$$

白色矮星

白色矮星と呼ばれる恒星は、太陽に匹敵する質量を持ちますが、半径は太陽の約100分の1です。高密度とは、電子がもはや単一の原子核に束縛されておらず、縮退した電子ガスを形成していることを意味します。白色矮星の電子密度は10 ³⁶個/m ³程度です。つまり、フェルミエネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(10^{36})}{1\ \mathrm {m^{3}} }}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{5}\ \mathrm {eV} =0.3\ \mathrm {MeV} }$$

核

もう一つの典型的な例は、原子核内の粒子です。原子核の半径はおおよそ次の式で表されます。ここでAは核子の数です。 $${\displaystyle R=\left(1.25\times 10^{-15}\mathrm {m} \right)\times A^{1/3}}$$

したがって、原子核内の核子の数密度は次のようになります。

$${\displaystyle \rho ={\frac {A}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}\approx 1.2\times 10^{44}\ \mathrm {m^{-3}} }$$

フェルミエネルギーは同じ種類のフェルミオンにのみ適用されるため、この密度は2で割る必要があります。中性子の存在は原子核内 の陽子のフェルミエネルギーに影響を与えず、その逆も同様です。

原子核のフェルミエネルギーはおおよそ次のとおりです。ここでm _pは陽子の質量です。 $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\rm {p}}}}\left({\frac {3\pi ^{2}(6\times 10^{43})}{1\ \mathrm {m} ^{3}}}\right)^{2/3}\approx 3\times 10^{7}\ \mathrm {eV} =30\ \mathrm {MeV} ,}$$

原子核の半径は上記の値を中心に変動するため、フェルミエネルギーの典型的な値は通常 38 MeVと表されます。

任意次元均一気体

状態密度

次元上の体積積分を使用すると、状態密度は次のようになります。 ${\textstyle d}$

$${\displaystyle g^{(d)}(E)=g_{s}\int {\frac {\mathrm {d} ^{d}\mathbf {k} }{(2\pi )^{d}}}\delta \left(E-E_{0}-{\frac {\hbar ^{2}|\mathbf {k} |^{2}}{2m}}\right)=g_{s}\ \left({\frac {m}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{d/2}{\frac {(E-E_{0})^{d/2-1}}{\Gamma (d/2)}}}$$

フェルミエネルギーは粒子の数密度を調べることによって得られます。 $${\displaystyle \rho ={\frac {N}{V}}=\int _{E_{0}}^{E_{0}+E_{\mathrm {F} }^{(d)}}g^{(d)}(E)\,dE}$$

を得るには、対応するd次元体積、内部ヒルベルト空間の次元である。スピンの場合、⁠ $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }^{(d)}={\frac {2\pi \hbar ^{2}}{m}}\left({\frac {1}{g_{s}}}\Gamma {\left({\tfrac {d}{2}}+1\right)}{\frac {N}{V}}\right)^{2/d}}$$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle g_{s}}$1/2⁠、すべてのエネルギーは2回縮退しているので、この場合は。 ${\textstyle g_{s}=2}$

に対して特別な結果が得られ、状態密度は定数（エネルギーに依存しない）になります。 ${\displaystyle d=2}$ $${\displaystyle g^{(2\mathrm {D} )}(E)={\frac {g_{s}}{2}}{\frac {m}{\pi \hbar ^{2}}}.}$$

調和トラップにおけるフェルミガス

調和トラップポテンシャル：

$${\displaystyle V(x,y,z)={\frac {1}{2}}m\omega _{x}^{2}x^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{y}^{2}y^{2}+{\frac {1}{2}}m\omega _{z}^{2}z^{2}}$$

は現代物理学において多くの応用を持つモデル系である^[5]。与えられたスピン種における状態密度（より正確には縮退度）は以下で表される。

$${\displaystyle g(E)={\frac {E^{2}}{2(\hbar \omega _{\text{ho}})^{3}}}\,,}$$

ここで、調和振動周波数です。 ${\displaystyle \omega _{\text{ho}}={\sqrt[{3}]{\omega _{x}\omega _{y}\omega _{z}}}}$

特定のスピン種のフェルミエネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle E_{\rm {F}}=(6N)^{1/3}\hbar \omega _{\text{ho}}\,.}$$

関連するフェルミ量

フェルミエネルギーに関連して、いくつかの有用な量も現代の文献に頻繁に登場します。

フェルミ温度は と定義され、ここで はボルツマン定数です。フェルミ温度は、熱効果がフェルミ統計に関連する量子効果に匹敵する温度と考えることができます。^[9]金属のフェルミ温度は室温より数桁高いです。この文脈で定義される他の量には、フェルミ運動量、フェルミ速度^[10]があり、これらはそれぞれフェルミ面におけるフェルミオンの運動量と群速度です。フェルミ運動量は と記述することもでき、ここではフェルミ球の半径、 はフェルミ波数ベクトルと呼ばれます。^[11] ${\textstyle T_{\mathrm {F} }={\frac {E_{\mathrm {F} }}{k_{\rm {B}}}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\textstyle p_{\mathrm {F} }={\sqrt {2mE_{\mathrm {F} }}}}$ ${\textstyle v_{\mathrm {F} }={\frac {p_{\mathrm {F} }}{m}}}$ ${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar k_{\mathrm {F} }}$ ${\displaystyle k_{\mathrm {F} }}$

フェルミ面が球状でない場合は、これらの量は明確に定義されないことに注意してください。

有限温度での処理

グランドカノニカルアンサンブル

上記の計算のほとんどは零温度では正確ですが、フェルミ温度より低い温度でも良好な近似値として残ります。他の熱力学変数については、熱力学的ポテンシャルを記述する必要があります。同一のフェルミオン集団の場合、ポテンシャルを導く最良の方法は、温度、体積、化学ポテンシャルμを固定したグランドカノニカル集団から求めることです。これはパウリの排他原理によるもので、各量子状態の占有数は1または0（電子が状態を占有しているかいないかのいずれか）で与えられるため、（グランド）分配関数は次のように表すことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,V,\mu )=\sum _{\{q\}}e^{-\beta (E_{q}-\mu N_{q})}=\prod _{q}\sum _{n_{q}=0}^{1}e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )n_{q}}=\prod _{q}\left(1+e^{-\beta (\varepsilon _{q}-\mu )}\right),}$

ここで、は、同じ全エネルギーと粒子数を与えるすべての可能なミクロ状態の集合のインデックスであり、は状態の単一粒子エネルギー（状態のエネルギーが縮退している場合は2回カウントされます）、は状態の占有率です。したがって、グランドポテンシャルは次のように表されます 。 ${\displaystyle \beta ^{-1}=k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle \{q\}}$ ${\textstyle E_{q}=\sum _{q}\varepsilon _{q}n_{q}}$ ${\textstyle N_{q}=\sum _{q}n_{q}}$ ${\textstyle \varepsilon _{q}}$ ${\textstyle q}$ ${\textstyle n_{q}=0,1}$

${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\ln \left({\mathcal {Z}}\right)=-k_{\rm {B}}T\sum _{q}\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon _{q})}\right).}$

正準アンサンブルとミクロカノニカルアンサンブルで同じ結果が得られます。なぜなら、すべてのアンサンブルの結果は熱力学的極限 において同じ値を与える必要があるからです。ここでは、組み合わせ論や階乗の使用を避けるグランドカノニカルアンサンブルが推奨されます。 ${\textstyle (N/V\rightarrow \infty )}$

前のセクションで説明したように、マクロの極限では連続近似（トーマス・フェルミ近似）を使用してこの合計を積分に変換できます。ここで、D（ε）は状態の総密度です。 $${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\rm {B}}T\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon )\ln \left(1+e^{\beta (\mu -\varepsilon )}\right)\,d\varepsilon }$$

フェルミ・ディラック分布との関係

グランドポテンシャルは、次のように有限温度における粒子の数と関係があり、導関数は固定された温度と体積で取られ、フェルミ・ディラック分布としても知られています。 $${\displaystyle N=-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}{\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)}\,\mathrm {d} \varepsilon }$$ $${\displaystyle {\mathcal {f}}(x)={\frac {1}{e^{x}+1}}}$$

同様に、総内部エネルギーは $${\displaystyle U=\Omega -T\left({\frac {\partial \Omega }{\partial T}}\right)_{V,\mu }-\mu \left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{T,V}=\int _{-\infty }^{\infty }D(\varepsilon ){\mathcal {f}}\!\left({\frac {\varepsilon -\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)\varepsilon \,d\varepsilon .}$$

べき乗法則状態密度の厳密解

多くの対象系は、 g ₀、α、ε ₀のある値に対して、全状態密度がべき乗法則に従う。前節の結果をd次元に一般化すると、以下のべき乗法則が得られる。 $${\displaystyle D(\varepsilon )=Vg(\varepsilon )={\frac {Vg_{0}}{\Gamma (\alpha )}}(\varepsilon -\varepsilon _{0})^{\alpha -1},\qquad \varepsilon \geq \varepsilon _{0}}$$

• α = d /2はd次元の箱の中の非相対論的粒子の場合であり、
• α = dはd次元調和ポテンシャル井戸内の非相対論的粒子の場合であり
• d次元ボックス内の超相対論的粒子の場合、 α = dです。

このようなべき乗則状態密度に対して、グランドポテンシャル積分は次のように正確に評価される：^[12]ここで、は完全なフェルミ・ディラック積分（多重対数に関連）である。このグランドポテンシャルとその導関数から、関心のあるすべての熱力学量を復元することができる。 $${\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-Vg_{0}(k_{\rm {B}}T)^{\alpha +1}F_{\alpha }\left({\frac {\mu -\varepsilon _{0}}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$ ${\displaystyle F_{\alpha }(x)}$

モデルの拡張

相対論的フェルミ気体

モデル白色矮星の半径と質量の関係、相対論的関係と非相対論的関係。チャンドラセカール限界はM _Chと示される。

本稿では、非相対論的力学の場合のように、粒子のエネルギーと運動量の間に放物線的な関係がある場合のみを扱ってきました。それぞれの静止質量に近いエネルギーを持つ粒子については、特殊相対論の方程式が適用可能です。ここで、単一粒子のエネルギーは次のように与えられます。 $${\displaystyle E={\sqrt {\left(pc\right)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2}}}.}$$

このシステムでは、フェルミエネルギーは次のように与えられる。ここで、等式は超相対論的極限においてのみ有効であり、^[13] $${\displaystyle E_{\mathrm {F} }={\sqrt {\left(p_{\mathrm {F} }c\right)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2}}}-mc^{2}\approx p_{\mathrm {F} }c,}$$ ${\displaystyle \approx }$ $${\displaystyle p_{\mathrm {F} }=\hbar \left({\frac {1}{g_{s}}}6\pi ^{2}{\frac {N}{V}}\right)^{1/3}.}$$

相対論的フェルミ気体モデルは、チャンドラセカール限界に近い質量の大きい白色矮星の記述にも用いられる。超相対論的ケースでは、縮退圧力は に比例する。 ${\displaystyle (N/V)^{4/3}}$

フェルミ液体

1956年、レフ・ランダウはフェルミ液体理論を提唱し、フェルミ粒子間の斥力相互作用（必ずしも小さくはない）を持つ系であるフェルミ液体を扱った。この理論は、理想フェルミ気体とフェルミ液体の熱力学的性質にそれほど差がないことを示す。フェルミ液体は、それぞれ異なる有効質量と磁気モーメントを持つ集団励起または準粒子からなるフェルミ気体と等価であることが示される。

参照

• ボーズガス
• フェルミオン凝縮体
• 箱入りガス
• ジェリウム
• 二次元電子ガス

参考文献

1. フェルミ、エンリコ(1926-11-01)。 「理想的なガスの量」(PDF)。Zeitschrift für Physik (ドイツ語)。36 ( 11–12 ): 902–912。Bibcode :1926ZPhy...36..902F。土井：10.1007/BF01400221。ISSN  0044-3328。S2CID  123334672。2019 年 4 月 6 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
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3. Schwabl, Franz (2013-03-09). 統計力学. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04702-6。
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7. 「縮退した理想フェルミ気体」（PDF） . 2008年9月19日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2014年4月13日閲覧。
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9. Torre, Charles (2015年4月21日). 「PHYS 3700: 量子統計熱力学入門」(PDF) .ユタ州立大学. 2018年3月21日閲覧。
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11. アシュクロフト、ニール・W.; マーミン、N.・デイヴィッド (1976).固体物理学.ホルト、ライナーハート、ウィンストン. ISBN 978-0-03-083993-1。
12. Blundell (2006). 「第30章 量子気体と凝縮体」.熱物理学の概念. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-856770-7。
13. Greiner, Walter ; Neise, Ludwig; Stöcker, Horst (1995). 熱力学と統計力学. 古典理論物理学. Springer, New York, NY. pp. 341–386. doi :10.1007/978-1-4612-0827-3_14. ISBN 978-0-387-94299-5。

さらに読む

• ニール・W・アシュクロフト、N・デイヴィッド・マーミン著『固体物理学』（ハーコート：オーランド、1976年）
• チャールズ・キッテル著『固体物理学入門』第1版1953年-第8版2005年、ISBN 0-471-41526-X

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