アデルの指輪

数学において、大域体のアデール環（アデール環、アデール環、アデール環^{[ 1 ]}とも呼ばれる）は、代数的整数論の一分野である類体論の中心的な対象である。これは大域体のすべての完備化の制限積であり、自己双対位相環の例である。

アデールは、イデールの特定の種類に由来します。「イデール」はフランス語の「idèle」に由来し、フランスの数学者クロード・シュヴァレーによって造られました。この言葉は「イデアル元」（略語：id.el.）を意味します。アデール（フランス語：adèle）は「加法的なイデール」（つまり加法的なイデアル元）を意味します。

アデール環は、アルティンの相互法則（二次相互法則の一般化）や有限体上の他の相互法則を記述することを可能にする。さらに、有限体上の代数曲線上の-束は、簡約群のアデールを用いて記述できるという、ヴェイユの古典的な定理がある。アデールは、アデール代数群やアデール曲線とも関連している。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

数体のアデール環上の数の幾何学の研究は、アデール幾何学と呼ばれます。

意味

を大域体（の有限拡大または有限体上の曲線の関数体）とする。のアデール環は部分環である。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{K}\ =\ \prod (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })\ \subseteq \ \prod K_{\nu }}$

は、有限個以外のすべての場所において部分環 に属する組から成る。ここで、添え字は大域体 のすべての値域にわたり、はその値における完備化と対応する値環である。^{[ 2 ]} ${\displaystyle (a_{\nu })}$ ${\displaystyle a_{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$

モチベーション

アデル環は、「有理数 の解析を行う」という技術的問題を解決します。古典的な解決法は、標準的な計量完備化に進み、そこで解析手法を使用することでした。しかし、後に学んだように、オストロフスキーの定理で分類されるように、各素数 に対して 1 つずつ、ユークリッド距離の他にも多くの絶対値が存在します。 と表記されるユークリッド絶対値は、その他多数 のうちの 1 つに過ぎませんが、アデル環を使用すると、一度にすべての評価を理解して使用できるようになります。これには、素数の構造が制限された無限積に埋め込まれているため、素数に関する情報を保持しながら解析手法を使用可能にする利点があります。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$

アデール環の目的は、 のすべての完備化を一度に調べることです。アデール環は、 の直積ではなく、 の制限積で定義されます。これには2つの理由があります。 ${\displaystyle K}$

• 各元について、ほぼすべての位置、すなわち有限個を除くすべての位置において、値はゼロとなる。したがって、大域体は制限積に埋め込むことができる。 ${\displaystyle K}$
• 制限積は局所コンパクト空間であるが、直積はそうではない。したがって、直積に調和解析を適用することはできない。これは、局所コンパクト性によって、一般の群解析において重要なツールであるハール測度の存在（および一意性）が保証されるためである。

なぜ制限された製品なのですか?

制限無限積は、数体に の内部に格子構造を与えるために必要な技術的条件であり、アデリックな設定でフーリエ解析（調和解析を参照）の理論を構築することを可能にする。これは、代数的数論において代数的数体の整数環が を埋め込む状況に類似している。 ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}\hookrightarrow K}$

格子として。新しいフーリエ解析理論の力を借りて、テイトはL関数の特別なクラスと、デデキントゼータ関数が複素平面上で有理型であることを証明した。この技術的条件が成り立つもう一つの自然な理由は、アデル環を環のテンソル積として構成することでわかる。整アデル環を環として定義すると、 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Z} }=\mathbf {R} \times {\hat {\mathbf {Z} }}=\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p},}$

するとアデール環は次のように定義できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{\mathbf {Q} }&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {A} _{\mathbf {Z} }\\&=\mathbf {Q} \otimes _{\mathbf {Z} }\left(\mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Z} _{p}\right).\end{aligned}}}$

この環内の明示的な要素を見ると、制限された積の構造が明らかになります。制限されていない積の内部にある要素の像は、要素 ${\displaystyle b/c\otimes (r,(a_{p}))\in \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }}$ ${\textstyle \mathbf {R} \times \prod _{p}\mathbf {Q} _{p}}$

${\displaystyle \left({\frac {br{\vphantom {ba_{p}}}}{c}},\left({\frac {ba_{p}}{c}}\right)\right).}$

が の素因数でない場合は常にの因数となり、これは有限個の素数を除くすべての素数に当てはまります。^{[ 3 ]} ${\displaystyle ba_{p}/c}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle p}$

名前の由来

「イデル」（フランス語：idèle ）という用語は、フランスの数学者クロード・シュヴァレー（1909–1984）の発明であり、「イデアル元」（略称：id.el.）を意味します。「アデル」（フランス語： adèle ）という用語は、加法的なイデアル元を意味します。したがって、アデルは加法的なイデアル元です。

例

有理数のアデール環

有理数は、任意の素数に対して、 となる値を持ち、 となる無限値∞も持つ。したがって、 ${\displaystyle K={\mathbf {Q}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (K_{\nu },{\mathcal {O}}_{\nu })=(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{\infty }=\mathbf {R} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {Q} }\ =\ \mathbf {R} \times \prod _{p}(\mathbf {Q} _{p},\mathbf {Z} _{p})}$

は実数であり、それぞれp進有理数であり、有限個を除いてすべてがp進整数です。 ${\displaystyle p}$

射影直線の関数体のアデール環

次に、有限体上の射影直線の関数体をとる。その値はの点、すなわち 上の写像に対応する。 ${\displaystyle K=\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})=\mathbf {F} _{q}(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X=\mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}}$

${\displaystyle x\ :\ {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q^{n}}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}.}$

例えば、の形をした点が存在する。この場合、はにおける構造層の完備茎（つまり の形式近傍上の関数）であり、はその分数体である。したがって、 ${\displaystyle q+1}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}\mathbf {F} _{q}\ \longrightarrow \ \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }={\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K_{\nu }=K_{X,x}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {F} _{q}(\mathbf {P} ^{1})}\ =\ \prod _{x\in X}({\mathcal {K}}_{X,x},{\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}).}$

有限体上の任意の滑らかな真曲線についても同様であり、制限積は のすべての点にわたって成り立ちます。 ${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$ ${\displaystyle x\in X}$

関連する概念

アデール環の単位群はイデール群と呼ばれる。

${\displaystyle I_{K}=\mathbf {A} _{K}^{\times }}$。

イデレを部分群で割ったものをイデレ類群と呼ぶ。 ${\displaystyle K^{\times }\subseteq I_{K}}$

${\displaystyle C_{K}\ =\ I_{K}/K^{\times }.}$

積分アデールは部分環である

${\displaystyle \mathbf {O} _{K}\ =\ \prod O_{\nu }\ \subseteq \ \mathbf {A} _{K}.}$

アプリケーション

アルティンの相互性を述べる

アルティンの相互法則によれば、大域体に対して、 ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\widehat {C_{K}}}={\widehat {\mathbf {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}}\ \simeq \ {\text{Gal}}(K^{\text{ab}}/K)}$

ここで、 は の最大アーベル代数拡大であり、 は群の profinite完備化を意味します。 ${\displaystyle K^{ab}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\widehat {(\dots )}}}$

曲線のピカール群のアデル式を与える

が滑らかな真曲線である場合、そのピカール群は^{[ 4 ]}である。 ${\displaystyle X/\mathbf {F_{\mathit {q}}} }$

${\displaystyle {\text{Pic}}(X)\ =\ K^{\times }\backslash \mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$

そしてその因子群は である。同様に、が半単純代数群（例えば はに対しても成り立つ）である場合、ヴェイユの均一化により^{[ 5 ]となる。} ${\displaystyle {\text{Div}}(X)=\mathbf {A} _{X}^{\times }/\mathbf {O} _{X}^{\times }}$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle SL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$

${\displaystyle {\text{Bun}}_{G}(X)\ =\ G(K)\backslash G(\mathbf {A} _{X})/G(\mathbf {O} _{X}).}$

これを に適用すると、ピカール グループに関する結果が得られます。 ${\displaystyle G=\mathbf {G} _{m}}$

テイトの論文

商がコンパクトとなる位相が存在し、それに対して調和解析を行うことができます。ジョン・テイトは、学位論文「数体におけるフーリエ解析とヘッケゼータ関数」^{[ 6 ]}において、アデール環とイデール群のフーリエ解析を用いてディリクレL関数に関する結果を証明しました。そのため、アデール環とイデール群は、リーマンゼータ関数やより一般的なゼータ関数とL関数 の研究に応用されてきました。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}/K}$

滑らかな曲線上のセール双対性の証明

が複素数上の滑らかな真曲線である場合、その関数体のアデールは有限体の場合と全く同様に定義できる。ジョン・テイトは^{[ 7 ]}、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\ \simeq \ H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*}}$

このアデール環 を扱うことで、 を導くことができる。ここで、Lは上の直線束である。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {C} (X)}}$ ${\displaystyle X}$

表記法と基本定義

グローバルフィールド

この記事全体を通して、は大域体、つまり数体（ の有限拡大）または大域関数体（ が素数で が の場合の の有限拡大）のいずれかであることを意味します。定義により、大域体の有限拡大はそれ自体が大域体です。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{r}}(t)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$

評価

の付値 に対して、の完備化に対してと書くことができます。が離散的である場合、 の付値環に対して と書くことができ、の極大イデアルに対して と書くことができます。 これが主イデアルであり、均一化元を で表している場合、非アルキメデスの付値は または と書き、アルキメデスの付値は と書きます。この場合、すべての付値は非自明であると仮定します。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{v}}$ ${\displaystyle O_{v}.}$ ${\displaystyle \pi _{v}.}$ ${\displaystyle v<\infty }$ ${\displaystyle v\nmid \infty }$ ${\displaystyle v|\infty .}$

評価値と絶対値は一対一で対応しています。定数を固定すると、評価値には次のように定義される絶対値が割り当てられます。 ${\displaystyle C>1,}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle |\cdot |_{v},}$

${\displaystyle \forall x\in K:\quad |x|_{v}:={\begin{cases}C^{-v(x)}&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}}$

逆に、絶対値には次のように定義される評価が割り当てられます。 ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle v_{|\cdot |},}$

${\displaystyle \forall x\in K^{\times }:\quad v_{|\cdot |}(x):=-\log _{C}(|x|).}$

の位は、 の付値（または絶対値）の同値類の代表である。非アルキメデス的付値に対応する位は有限 と呼ばれ、アルキメデス的付値に対応する位は無限と呼ばれる。大域体の無限位は有限集合を形成し、これは で表される。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle P_{\infty }.}$

を定義し、その単位群とする。すると ${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}:=\prod _{v<\infty }O_{v}}$ ${\displaystyle {\widehat {O}}^{\times }}$ ${\displaystyle \textstyle {\widehat {O}}^{\times }=\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }.}$

有限拡張

を大域体の有限拡大とし、をの位とし、を の位とします。に制限された絶対値がの同値類に含まれる場合、 はの上にあり、 は で表され、次のように定義されます。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle |\cdot |_{w}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle w|v,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{v}&:=\prod _{w|v}L_{w},\\{\widetilde {O_{v}}}&:=\prod _{w|v}O_{w}.\end{aligned}}}$

(両方の積が有限であることに注意してください。)

ならば、 は に埋め込むことができる。したがって、は に対角的に埋め込まれる。この埋め込みにより、は次数 を持つ 上の可換代数となる。 ${\displaystyle w|v}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle L_{w}.}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle L_{v}.}$ ${\displaystyle L_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$

${\displaystyle \sum _{w|v}[L_{w}:K_{v}]=[L:K].}$

アデルリング

で表される大域体の有限アデール ${\displaystyle K,}$の集合は、 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle O_{v}:}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}:={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}=\left\{\left.(x_{v})_{v}\in \prod _{v<\infty }K_{v}\right|x_{v}\in O_{v}{\text{ for almost all }}v\right\}.}$

これは、次の形式を持つ、制限された開いた長方形によって生成されるトポロジー である制限された積トポロジーを備えています。

${\displaystyle U=\prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}\subset {\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v},}$

ここで、は（有限の）位数の有限集合であり、は開である。成分ごとの加法と乗法によっても環となる。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$

大域体のアデール環は 、その無限位におけるの完備化の積との積として定義されます。無限位の数は有限であり、完備化はまたは のいずれかです。つまり、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}:=\mathbb {A} _{K,{\text{fin}}}\times \prod _{v|\infty }K_{v}={\prod _{v<\infty }}^{'}K_{v}\times \prod _{v|\infty }K_{v}.}$

加法と乗法を成分ごとに定義すると、アデール環は環となる。アデール環の元はアデールと ${\displaystyle K.}$呼ばれる。以下では、アデール環は次のように表記される。

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}={\prod _{v}}^{'}K_{v},}$

ただし、これは通常、制限される製品ではありません。

注意:大域関数体には無限の場所がないので、有限アデーレ環はアデーレ環に等しい。

補題対角写像によって与えられるへの自然な埋め込みが存在する： ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle a\mapsto (a,a,\ldots ).}$

証明。ほぼすべての に対してならば、写像は定義済みであることがわかる。また、 の埋め込みはすべての に対して単射であるため、写像は単射でもある。 ${\displaystyle a\in K,}$ ${\displaystyle a\in O_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle v.}$

注：対角線写像の下での像と同一視することにより、それはの部分環とみなされる。 の元はの主アデールと呼ばれる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

定義。を の位の集合とする。の-adeleの集合を と定義する。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K,S}:={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}.}$

さらに、もし

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{S}:={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}}$

結果は次のとおりです。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K,S}\times \mathbb {A} _{K}^{S}.}$

有理数のアデル環

オストロフスキーの定理により、の位は、次のように定義される- 進絶対値の同値類と素数と同一視することが可能です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{p\in \mathbb {N} :p{\text{ prime}}\}\cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {Q} :\quad |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}}$

場所に関するの完成は評価環を伴う場所については完成は従って次のようになる: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}&={\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\\\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }&=\left({\prod _{p<\infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p}\right)\times \mathbb {R} \end{aligned}}}$

または略して

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }={\prod _{p\leq \infty }}^{'}\mathbb {Q} _{p},\qquad \mathbb {Q} _{\infty }:=\mathbb {R} .}$

制限付き積トポロジと制限なし積トポロジの違いは、次のシーケンスを使用して説明できます。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

補題.における次のシーケンスを考える: ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}}$

積位相ではこれは に収束しますが、制限積位相ではまったく収束しません。 ${\displaystyle (1,1,\ldots )}$

証明。積位相において、収束は各座標における収束に対応し、これは列が定常となるため自明である。制約積位相では、列は収束しない。各アデルと各制約開長方形について、次式が成り立つ。に対して、したがってすべてに対して結果として、ほぼすべてに対してこの考察において、と はすべての場所の集合の有限部分集合である。 ${\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p\notin F.}$ ${\displaystyle x_{n}-a\notin U}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$

数値体の代替定義

定義（非有限整数）。非有限整数は、半順序を持つ環の非有限完備化として定義される。すなわち、 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\geq m\Leftrightarrow m|n,}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,}$

補題。 ${\displaystyle \textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

証明。これは中国剰余定理に従う。

補題。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

証明。テンソル積の普遍性を用いる。-双線型関数 を定義する。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}\end{cases}}}$

これは明確に定義されています。なぜなら、互いに素である与えられた に対して、を割り切れる素数は有限個しかないからです。を-双線型写像を持つ別の- 加群とします。 は一意に因数分解できる必要があります。つまり、次のように定義できる一意の -線型写像が存在する必要があります。 与えられた に対して、すべてのに対してとなるおよび が存在し、 を定義します。 は明確に定義され、-線型であり、 を満たし、これらの特性を持つ一意であることが示せます。 ${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\to M}$ ${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$ ${\displaystyle (u_{p})_{p}}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi }$

系。定義すると代数同型となる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

証拠。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

補題。数体の場合 ${\displaystyle K,\mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

注意：被加数がある場合、右辺に積位相を与え、この位相を同型写像を介して上に移す。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

有限拡大のアデール環

が有限拡大であるならば、は大域体である。したがって、は定義され、写像のサブグループと同一視できる。写像は、に対してである。そして、写像は、に対してであり、写像はすべてに対してである。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$ ${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}$ ${\displaystyle w|v.}$ ${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle a_{w}\in K_{v}}$ ${\displaystyle w|v}$ ${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$ ${\displaystyle w,w'}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K.}$

補題。が有限拡張である場合、代数的にも位相的にも となる。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$

この同型性を利用して、包含関係は次のように表される。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1\end{cases}}}$

さらに、 の主アデールは、の主アデールのサブグループと、写像によって 同一視できる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}K\to (K\otimes _{K}L)\cong L\\\alpha \mapsto 1\otimes _{K}\alpha \end{cases}}}$

証明。^{[ 8 ]}をの基底とする。すると、ほぼすべての ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle v,}$

${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.}$

さらに、次の同型が存在します。

${\displaystyle K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}}$

2番目にマップを使用します:

${\displaystyle {\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}}$

ここで、は標準埋め込みであり、両辺について制限積をとる。 ${\displaystyle \tau _{w}:L\to L_{w}}$ ${\displaystyle w|v.}$ ${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}^{'}K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}^{'}(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}^{'}L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

系。右辺に被加数がある加法群として。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle [L:K]}$

の主アデールの集合は、左辺に被加数を持つ集合と同一視され、の部分集合として考えられる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle K\oplus \cdots \oplus K,}$ ${\displaystyle [L:K]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

ベクトル空間と代数のアデール環

補題。が の有限集合であるとし、定義する。 ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P):=\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}.}$

積位相を備え、成分ごとに加算と乗算を定義します。すると局所コンパクト位相環が生まれます。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$

注意：が を含む別の有限集合である場合、 はの開部分環である。 ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P').}$

ここで、アデール環の別の特徴付けを提示することができる。アデール環は、すべての集合の和集合である。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\bigcup _{P\supset P_{\infty },|P|<\infty }\mathbb {A} _{K}(P).}$

同様に、はすべて の集合であり、ほぼすべて に対してが成り立ちます。の位相は、すべてがの開部分環であるという要件によって誘導されます。したがって、は局所的にコンパクトな位相環です。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle x=(x_{v})_{v}}$ ${\displaystyle |x_{v}|_{v}\leq 1}$ ${\displaystyle v<\infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$

の場所を固定し、を含む場所の有限集合とし、定義する ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle P_{\infty }.}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(P,v):=\prod _{w\in P\setminus \{v\}}K_{w}\times \prod _{w\notin P}O_{w}.}$

それから：

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(P,v).}$

さらに定義する

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v):=\bigcup _{P\supset P_{\infty }\cup \{v\}}\mathbb {A} _{K}'(P,v),}$

ここで、 はを含むすべての有限集合を通る。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{\infty }\cup \{v\}.}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong K_{v}\times \mathbb {A} _{K}'(v),}$

マップを介して上記の手順全体は、有限部分集合の代わりに ${\displaystyle (a_{w})_{w}\mapsto (a_{v},(a_{w})_{w\neq v}).}$ ${\displaystyle {\widetilde {P}}}$ ${\displaystyle \{v\}.}$

の構成により、自然な埋め込みが存在する。さらに、自然な投影が存在する。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}'(v),}$ ${\displaystyle K_{v}\hookrightarrow \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\twoheadrightarrow K_{v}.}$

ベクトル空間のアデール環

を 上の有限次元ベクトル空間とし、を上の基底とします。の各位置について: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{v}&:=E\otimes _{K}K_{v}\cong K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\\{\widetilde {O_{v}}}&:=O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}\end{aligned}}}$

のアデール環は次のように定義される。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{E}:={\prod _{v}}^{'}E_{v}.}$

この定義は、数体に対するアデール環の別の定義を与えた際に定義されたものと同じ位相を備えたテンソル積としてのアデール環の別の記述に基づいています。次に、は制限積位相を備えています。そして、とが写像を介して自然に埋め込まれます。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle e\mapsto e\otimes 1.}$

上の位相の別の定義を与えることができます。すべての線型写像を考えます。自然な埋め込みを用いて、これらの線型写像を次のように拡張します。上の位相は、これらすべての拡張が連続となる最も粗い位相です。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle E\to K.}$ ${\displaystyle E\to \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle K\to \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\to \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$

位相は別の方法で定義することもできます。 の基底を固定すると同型写像が得られます。したがって、基底を固定すると同型写像が得られます。左辺には積位相が与えられ、この位相と同型写像を右辺に移します。別の基底が別の同型写像を定義するため、位相は基底の選択に依存しません。両方の同型写像を合成することで、2つの位相を互いに転写する線型同型写像が得られます。より正式には ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E\cong K^{n}.}$ ${\displaystyle (\mathbb {A} _{K})^{n}\cong \mathbb {A} _{E}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{E}&=E\otimes _{K}\mathbb {A} _{K}\\&\cong (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\oplus \cdots \oplus (K\otimes _{K}\mathbb {A} _{K})\\&\cong \mathbb {A} _{K}\oplus \cdots \oplus \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

ここで、和は被加数を持つ。上記の定義は有限拡大のアデール環に関する結果と整合する。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E=L,}$ ${\displaystyle L/K.}$

^{[ 9 ]}

代数のアデール環

を 上の有限次元代数とします。特に、は 上の有限次元ベクトル空間です。結果として、が定義され、には乗算があり、 には乗算があるため、は次のように定義できます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}A.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$

${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{K}{\text{ and }}\forall a,b\in A:\qquad (\alpha \otimes _{K}a)\cdot (\beta \otimes _{K}b):=(\alpha \beta )\otimes _{K}(ab).}$

結果として、は 上の単位元を持つ代数である。は上の基底を含むの有限部分集合とする。 任意の有限場所 に対して、は におけるによって生成される -加群として定義される。 場所の各有限集合に対して、 定義する。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M_{v}}$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A_{v}.}$ ${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )=\prod _{v\in P}A_{v}\times \prod _{v\notin P}M_{v}.}$

有限集合が存在するので、 がの開部分環である場合、 が示せます。さらに、はこれらすべての部分環の和集合であり、 の場合、上記の定義はアデール環の定義と一致します。 ${\displaystyle P_{0},}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A},}$ ${\displaystyle P\supset P_{0}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}}$ ${\displaystyle A=K,}$

アデル環上のトレースおよびノルム

を有限拡大とする。そして上の補題より、はの閉部分環として解釈できる。この埋め込みについて、 と書く。上ののすべての箇所で明示的に、また任意の に対して ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}=\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$ ${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K},(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))_{w}=\alpha _{v}\in K_{v}.}$

を大域体の塔とします。すると、次のように なります。 ${\displaystyle M/L/K}$

${\displaystyle \operatorname {con} _{M/K}(\alpha )=\operatorname {con} _{M/L}(\operatorname {con} _{L/K}(\alpha ))\qquad \forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}.}$

さらに、主たるアデルに限定されるのは、自然注射である。 ${\displaystyle \operatorname {con} }$ ${\displaystyle K\to L.}$

を体拡大の基底とすると、それぞれはと書き表すことができ、それぞれは一意である。写像は連続である。方程式によって に応じて定義する。 ${\displaystyle \{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\}}$ ${\displaystyle L/K.}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{L}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}\omega _{j},}$ ${\displaystyle \alpha _{j}\in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha _{j}}$ ${\displaystyle \alpha _{ij}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha \omega _{1}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{1j}\omega _{j}\\&\vdots \\\alpha \omega _{n}&=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{nj}\omega _{j}\end{aligned}}}$

ここで、 のトレースおよびノルムを次のように定義します。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&:=\operatorname {Tr} ((\alpha _{ij})_{i,j})=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{ii}\\N_{L/K}(\alpha )&:=N((\alpha _{ij})_{i,j})=\det((\alpha _{ij})_{i,j})\end{aligned}}}$

これらは線形写像のトレースと行列式である

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{L}\to \mathbb {A} _{L}\\x\mapsto \alpha x\end{cases}}}$

これらはアデール環上の連続写像であり、通常の方程式を満たします。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha +\beta )&=\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )+\operatorname {Tr} _{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=n\alpha &&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\\N_{L/K}(\alpha \beta )&=N_{L/K}(\alpha )N_{L/K}(\beta )&&\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\operatorname {con} (\alpha ))&=\alpha ^{n}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{K}\end{aligned}}}$

さらに、およびは、体拡大のトレースおよびノルムと同一です。体の塔の場合、結果は次のようになります。 ${\displaystyle \alpha \in L,}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle L/K.}$ ${\displaystyle M/L/K,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\operatorname {Tr} _{M/L}(\alpha ))&=\operatorname {Tr} _{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\\N_{L/K}(N_{M/L}(\alpha ))&=N_{M/K}(\alpha )&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{M}\end{aligned}}}$

さらに、次のことが証明されている: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )&=\left(\sum _{w|v}\operatorname {Tr} _{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\\N_{L/K}(\alpha )&=\left(\prod _{w|v}N_{L_{w}/K_{v}}(\alpha _{w})\right)_{v}&&\forall \alpha \in \mathbb {A} _{L}\end{aligned}}}$

アデールリングの特性

定理。^{[ 11 ]}任意の場所の集合は局所コンパクト位相環である。 ${\displaystyle S,\mathbb {A} _{K,S}}$

注：上記の結果は、ベクトル空間と代数のアデール環にも当てはまる。 ${\displaystyle K.}$

定理。^{[ 12 ]} は離散的かつココンパクトであり、特に、は閉じている。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

証明。離散的であることを示すには、他の有理数を含まない 近傍の存在を示せば十分である。一般の場合は変換によって導かれる。定義 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle U:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }<1\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times (-1,1).}$

${\displaystyle U}$は の開近傍である。すると、すべてに対してとなり、したがってとなる。 さらに、したがって となる。 次に、コンパクト性を示すために、次を定義する。 ${\displaystyle 0\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$ ${\displaystyle U\cap \mathbb {Q} =\{0\}.}$ ${\displaystyle \beta \in U\cap \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\beta |_{p}\leq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \beta \in (-1,1)}$ ${\displaystyle \beta =0.}$

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{p})_{p}\left|\forall p<\infty :|\alpha _{p}|_{p}\leq 1\quad {\text{and}}\quad |\alpha _{\infty }|_{\infty }\leq {\frac {1}{2}}\right.\right\}={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right].}$

の各元には、の代表が として存在します。各元に対して、となるようなものが存在し、 を任意の とし、となる素数とします。すると、 となるようなものが存在し、をで置き換え、 を別の素数とします。すると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ ${\displaystyle \beta \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha -\beta \in W.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |\alpha _{p}|>1.}$ ${\displaystyle r_{p}=z_{p}/p^{x_{p}}}$ ${\displaystyle z_{p}\in \mathbb {Z} ,x_{p}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle |\alpha _{p}-r_{p}|\leq 1.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha -r_{p}}$ ${\displaystyle q\neq p}$

${\displaystyle \left|\alpha _{q}-r_{p}\right|_{q}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},|r_{p}|_{q}\right\}\leq \max \left\{|a_{q}|_{q},1\right\}\leq 1.}$

次に、次のように主張できます。

${\displaystyle |\alpha _{q}-r_{p}|_{q}\leq 1\Longleftrightarrow |\alpha _{q}|_{q}\leq 1.}$

逆の含意は自明に真です。この含意は真です。なぜなら、両方の整数の絶対値が異なる場合、強三角不等式の2つの項は等しいからです。結果として、 の成分が に含まれない素数の（有限）集合は1だけ減少します。反復処理により、 が存在することが推論されます。次に、となるものを選択します。すると、連続射影は射影的であるため、コンパクト集合の連続像はコンパクトです。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha -r\in {\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha _{\infty }-r-s\in \left[-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right].}$ ${\displaystyle \alpha -(r+s)\in W.}$ ${\displaystyle \pi :W\to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ,}$

系。を 上の有限次元ベクトル空間とすると、はにおいて離散的かつココンパクトである。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$

定理。以下を仮定する。

• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {Q} +\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} =\mathbb {Q} \cap \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }.}$
• ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$は分割可能なグループです。^{[ 13 ]}
• ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$密です。

証明。最初の 2 つの方程式は基本的な方法で証明できます。

定義により、任意の に対して が割り切れる場合、方程式には解があります。が割り切れることを示すだけで十分ですが、は各座標で正の特性を持つ体である ため、これは当てはまります。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle nx=y}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

最後の文では、の座標の分母の有限個数は、要素を介して到達できるため、が稠密であること、つまり各開集合にの要素が含まれていることを示すだけで十分であり、一般性を失うことなく、次のように仮定できる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}=\mathbb {Q} {\widehat {\mathbb {Z} }},}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle V\subset {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle V=\prod _{p\in E}\left(a_{p}+p^{l_{p}}\mathbb {Z} _{p}\right)\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$

はの近傍システムであるため、中国式剰余定理により、 が存在する。異なる素数のべき乗は互いに素であるため、が成り立つ。 ${\displaystyle (p^{m}\mathbb {Z} _{p})_{m\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle l\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle l\equiv a_{p}{\bmod {p}}^{l_{p}}.}$ ${\displaystyle l\in V}$

注： は一意に割り切れません。とが与えられているとします。すると ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle y=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(0,0,\ldots )+\mathbb {Z} \\x_{2}&=\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}},\ldots \right)+\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

どちらも方程式を満たし、明らかに（は明確に定義されている。なぜなら を割り切れる素数は有限個しかないからである）。この場合、一意に割り切れることはねじれがないことに等しいが、 については成り立たない。なぜならだが、であり、 ${\displaystyle nx=y}$ ${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }/\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle nx_{2}=0,}$ ${\displaystyle x_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle n\neq 0.}$

注意： 4番目のステートメントは、強近似定理の特殊なケースです。

アデルリングのハール測定

定義。関数が単純であるとは、測定可能であり、ほとんどすべての ${\displaystyle f:\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v},}$ ${\displaystyle f_{v}:K_{v}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{O_{v}}}$ ${\displaystyle v.}$

定理^{[ 14 ]}は加法性を持つ局所コンパクト群なので、上に加法的なハール測度が存在する。この測度は、すべての積分可能な単純関数が次式を満たすように正規化できる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \textstyle f=\prod _{v}f_{v}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {A} _{K}}f\,dx=\prod _{v}\int _{K_{v}}f_{v}\,dx_{v},}$

ここで、は単位測度を持ち、 はルベーグ測度であるような、上の測度である。積は有限であり、すなわち、ほとんどすべての因数が1に等しい。 ${\displaystyle v<\infty ,dx_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle dx_{\infty }}$

イデレグループ

定義。イデール群を、 ${\displaystyle K}$イデール環の単位群として定義する。イデール群の元はイデールと呼ばれる。 ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle I_{K}:=\mathbb {A} _{K}^{\times }.}$ ${\displaystyle K.}$

注： は位相群となるような位相を備えている。 から継承された部分集合位相は適切な候補ではない。なぜなら、部分集合位相を備えた位相環の単位群は位相群ではない可能性があるからである。例えば、 の逆写像は連続ではない。 ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(2,1,\ldots )\\x_{2}&=(1,3,1,\ldots )\\x_{3}&=(1,1,5,1,\ldots )\\&\vdots \end{aligned}}}$

は収束する。これを確かめるために、一般性を失うことなくを の近傍とすると、次のようになると仮定できる。 ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0,}$

${\displaystyle U=\prod _{p\leq N}U_{p}\times \prod _{p>N}\mathbb {Z} _{p}}$

十分大きいすべての場合において、であるからである。しかし、上で見たように、この数列の逆は収束しない。 ${\displaystyle (x_{n})_{p}-1\in \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle x_{n}-1\in U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

補題．位相環を 次のように定義する． ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{cases}\iota :R^{\times }\to R\times R\\x\mapsto (x,x^{-1})\end{cases}}}$

上の位相と上の積から誘導される位相を備え、位相群であり、包含写像は連続である。これは、位相群を構成する上の位相から生じる最も粗い位相である。 ${\displaystyle R\times R}$ ${\displaystyle \iota ,R^{\times }}$ ${\displaystyle R^{\times }\subset R}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R^{\times }}$

証明。は位相環なので、逆写像が連続であることを示すだけで十分である。 を開環とすると、は開環となる。 が開環であることを示す必要がある。あるいは、同値として が開環であることを示す必要がある。しかし、これは上記の条件である。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U\subset R^{\times }}$ ${\displaystyle U\times U^{-1}\subset R\times R}$ ${\displaystyle U^{-1}\subset R^{\times }}$ ${\displaystyle U^{-1}\times (U^{-1})^{-1}=U^{-1}\times U\subset R\times R}$

イデール群は補題で定義された位相を備えており、位相群となります。

定義。集合の場所の部分集合について: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I_{K,S}:=\mathbb {A} _{K,S}^{\times },I_{K}^{S}:=(\mathbb {A} _{K}^{S})^{\times }.}$

補題 位相群の次の恒等式が成り立つ 。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K,S}&={\prod _{v\in S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}^{S}&={\prod _{v\notin S}}^{'}K_{v}^{\times }\\I_{K}&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

ここで、制限積は制限積位相を持ち、それは次の形式の制限開長方形によって生成される。

${\displaystyle \prod _{v\in E}U_{v}\times \prod _{v\notin E}O_{v}^{\times },}$

ここで、はすべての場所の集合の有限部分集合であり、は開集合です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U_{v}\subset K_{v}^{\times }}$

証明。の恒等式を証明せよ。他の2つも同様である。まず、2つの集合が等しいことを示す。 ${\displaystyle I_{K}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:xy=1\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:\exists y=(y_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}:x_{v}\cdot y_{v}=1\quad \forall v\}\\&=\{x=(x_{v})_{v}:x_{v}\in K_{v}^{\times }\forall v{\text{ and }}x_{v}\in O_{v}^{\times }{\text{ for almost all }}v\}\\&={\prod _{v}}^{'}K_{v}^{\times }\end{aligned}}}$

2行目から3行目に行くと、ほぼ全員とほぼ全員にとって意味があるはずです。したがって、ほぼ全員にとって ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}=y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle x_{v}\in O_{v}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x_{v}^{-1}\in O_{v}}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle x_{v}\in O_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v.}$

これで、左側の位相が右側の位相と等しいことを示すことができます。明らかに、すべての開制約長方形は、イデレ群の位相において開です。一方、イデレ群の位相において開である与えられたものに対して、 は開であるという意味で、それぞれに対して、の部分集合であり を含む開制約長方形が存在し、したがって はこれらすべての制約開長方形の和集合であり、したがって は制約積位相において開です。 ${\displaystyle U\subset I_{K},}$ ${\displaystyle U\times U^{-1}\subset \mathbb {A} _{K}\times \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u.}$ ${\displaystyle U}$

補題.それぞれの場所の集合に対して、は局所コンパクト位相群である。 ${\displaystyle S,I_{K,S}}$

証明。局所コンパクト性は、を制限積として記述することから導かれる。それが位相群であることは、位相環の単位群に関する上記の議論から導かれる。 ${\displaystyle I_{K,S}}$

の近傍システムは の近傍システムです。あるいは、次の形式のすべてのセットを取ります。 ${\displaystyle 1\in \mathbb {A} _{K}(P_{\infty })^{\times }}$ ${\displaystyle 1\in I_{K}.}$

${\displaystyle \prod _{v}U_{v},}$

ほとんどすべての近隣地域はどこですか？ ${\displaystyle U_{v}}$ ${\displaystyle 1\in K_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle U_{v}=O_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v.}$

イデレ群は局所コンパクトであるため、その上にハール測度が存在する。これは正規化することができ、 ${\displaystyle d^{\times }x}$

${\displaystyle \int _{I_{K,{\text{fin}}}}\mathbf {1} _{\widehat {O}}\,d^{\times }x=1.}$

これは有限位数に用いられる正規化である。この式において、は有限イデール群、すなわち有限アデール環の単位群である。無限位数には、乗法ルベーグ測度を用いる。 ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {dx}{|x|}}.}$

有限拡大のイデレ群

補題．有限拡大を とする．すると ， ${\displaystyle L/K}$

${\displaystyle I_{L}={\prod _{v}}^{'}L_{v}^{\times }.}$

制限対象製品が ${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}^{\times }.}$

補題。の標準埋め込みが存在する。 ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{L}.}$

証明。写像は、の性質を持つ。したがって、は の部分群とみなすことができる。元がこの部分群に属する場合、その成分が以下の性質を満たす場合のみである。に対して、 に対して、に対して、に対して、の同じ場所 ${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in I_{K}}$ ${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in I_{L}}$ ${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}^{\times }\subset L_{w}^{\times }}$ ${\displaystyle w|v.}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{L}.}$ ${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in I_{L}}$ ${\displaystyle a_{w}\in K_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle w|v}$ ${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$ ${\displaystyle w|v}$ ${\displaystyle w'|v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K.}$

ベクトル空間と代数の場合

^{[ 15 ]}

代数のイデレ群

を 上の有限次元代数とする。は一般に部分集合位相を持つ位相群ではないので、に上記と同様の位相を付与し、イデレ群と呼ぶ。イデレ群の元は のイデレと呼ばれる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ ${\displaystyle A.}$

命題。を の有限部分集合とし、をの基底として含むものとする。 の各有限場所に対して、をで生成される -加群とする。を含む場所の有限集合が存在し、すべての に対して はのコンパクト部分環となる。さらに、 はを含む。各 に対して はの開部分集合であり、写像はで連続である。結果として、におけるその像に同相写像が写像される。各 に対して、 はにおける写像の元であり、 は上記の写像である。したがって、は^{[ 16 ]}の開コンパクト部分群である。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle O_{v}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A_{v}.}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$ ${\displaystyle v\notin P_{0},}$ ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle A_{v}.}$ ${\displaystyle \alpha _{v}}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$ ${\displaystyle v,A_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle A_{v}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,x^{-1})}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle A_{v}\times A_{v}.}$ ${\displaystyle v\notin P_{0},}$ ${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times },}$ ${\displaystyle \alpha _{v}\times \alpha _{v}}$ ${\displaystyle \alpha _{v}^{\times }}$ ${\displaystyle A_{v}^{\times }.}$

イデレ群の代替的な特徴づけ

命題。場所の有限集合を とする。 すると ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }:=\prod _{v\in P}A_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}\alpha _{v}^{\times }}$

はの開部分群であり、はすべての和集合である^{[ 17 ]} ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times },}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}(P,\alpha )^{\times }.}$

系。場所の有限集合の特別な場合において、 ${\displaystyle A=K}$ ${\displaystyle P\supset P_{\infty },}$

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }}$

はの開部分群である。さらに、はすべての ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }=I_{K}.}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}(P)^{\times }.}$

イデレグループの規範

トレースとノルムはアデール環からイデール群へ移すべきである。トレースはそう簡単には移せないことが分かる。しかし、ノルムはアデール環からイデール群へ移すことは可能である。とすると、したがって、入射群準同型において ${\displaystyle \alpha \in I_{K}.}$ ${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}(\alpha )\in I_{L}}$

${\displaystyle \operatorname {con} _{L/K}:I_{K}\hookrightarrow I_{L}.}$

これは逆関数なので、これも逆関数である。したがって、結果として、ノルム関数の制限により連続関数が導入される。 ${\displaystyle \alpha \in I_{L},}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )}$ ${\displaystyle (N_{L/K}(\alpha ))^{-1}=N_{L/K}(\alpha ^{-1}).}$ ${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )\in I_{K}.}$

${\displaystyle N_{L/K}:I_{L}\to I_{K}.}$

イデレクラスグループ

補題対角写像によって与えられるへの自然な埋め込みが存在する： ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K,S}}$ ${\displaystyle a\mapsto (a,a,a,\ldots ).}$

証明。はすべてののサブセットであるため、埋め込みは明確に定義され、単射です。 ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle K_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v,}$

系は 離散部分群である ${\displaystyle A^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{A}^{\times }.}$

定義。イデアル類群と同様に、 の元はの主イデアルと呼ばれる。商群は のイデアル類群と呼ばれる。この群はイデアル類群と関連しており、類体理論における中心的な対象である。 ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}.}$ ${\displaystyle C_{K}:=I_{K}/K^{\times }}$ ${\displaystyle K.}$

注: は閉じているため、局所コンパクト位相群とハウスドルフ空間になります。 ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K},}$ ${\displaystyle C_{K}}$

補題^{[ 18 ]}を有限拡大とする。埋め込みにより、以下の入射写像が導かれる。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle I_{K}\to I_{L}}$

${\displaystyle {\begin{cases}C_{K}\to C_{L}\\\alpha K^{\times }\mapsto \alpha L^{\times }\end{cases}}}$

イデール基の性質

Kイデレ群と1イデレ群の絶対値

定義。について定義します。はイデアルな ので、この積は有限であり、したがって明確に定義されます。 ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in I_{K}}$ ${\displaystyle \textstyle |\alpha |:=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}.}$ ${\displaystyle \alpha }$

注意：定義は無限積を許容することで まで拡張できる。しかし、これらの無限積はゼロなので、 でゼロとなるは、と の両方の関数を表すために使用される。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\setminus I_{K}.}$ ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$

定理は 連続群準同型です。 ${\displaystyle |\cdot |:I_{K}\to \mathbb {R} _{+}}$

証明。 ${\displaystyle \alpha ,\beta \in I_{K}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha \cdot \beta |&=\prod _{v}|(\alpha \cdot \beta )_{v}|_{v}\\&=\prod _{v}|\alpha _{v}\cdot \beta _{v}|_{v}\\&=\prod _{v}(|\alpha _{v}|_{v}\cdot |\beta _{v}|_{v})\\&=\left(\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}\right)\cdot \left(\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}\right)\\&=|\alpha |\cdot |\beta |\end{aligned}}}$

ここで、すべての積は有限であるという仮定が用いられている。写像は連続であり、これは数列を扱う議論を用いて確認できる。これにより問題はが 上で連続かどうかという問題に帰着する。しかし、逆三角不等式によってこれは明らかである。 ${\displaystyle |\cdot |}$ ${\displaystyle K_{v}.}$

定義。 -idele の集合は次のように定義できます。 ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle I_{K}^{1}:=\{x\in I_{K}:|x|=1\}=\ker(|\cdot |).}$

${\displaystyle I_{K}^{1}}$は の部分群である。は の閉部分集合であるので、上の-位相は上の の部分集合位相に等しい^{[ 19 ] [ 20 ]} ${\displaystyle I_{K}.}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}=|\cdot |^{-1}(\{1\}),}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

アルティンの積の公式。 すべての ${\displaystyle |k|=1}$ ${\displaystyle k\in K^{\times }.}$

証明。^{[ 21 ]}数体に対する公式の証明。大域関数体の場合も同様に証明できる。数体を とし、次が示される。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a\in K^{\times }.}$

${\displaystyle \prod _{v}|a|_{v}=1.}$

対応する素イデアルがを割り切れない有限の場所 に対して、 したがってこれはほとんどすべて に対して有効です。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ ${\displaystyle (a)}$ ${\displaystyle v(a)=0}$ ${\displaystyle |a|_{v}=1.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{v}|a|_{v}&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|a|_{v}\\&=\prod _{p\leq \infty }\prod _{v|p}|N_{K_{v}/\mathbb {Q} _{p}}(a)|_{p}\\&=\prod _{p\leq \infty }|N_{K/\mathbb {Q} }(a)|_{p}\end{aligned}}}$

1行目から2行目に進む際には、が の場所で、が の上にある場所で、の恒等式が使用されています。2行目から3行目に進む際には、ノルムの性質が使用されています。ノルムは にあるので、一般性を失うことなく であると仮定できます。すると、 は一意の因数分解を持ちます。 ${\displaystyle |a|_{w}=|N_{L_{w}/K_{v}}(a)|_{v},}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a=\pm \prod _{p<\infty }p^{v_{p}},}$

ここで、 はほとんどすべて に対して成り立ちます。オストロフスキーの定理により、上のすべての絶対値は実絶対値または-進絶対値と等しくなります。したがって、 ${\displaystyle v_{p}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|a|&=\left(\prod _{p<\infty }|a|_{p}\right)\cdot |a|_{\infty }\\&=\left(\prod _{p<\infty }p^{-v_{p}}\right)\cdot \left(\prod _{p<\infty }p^{v_{p}}\right)\\&=1\end{aligned}}}$

補題^{[ 22 ]}のみに依存する定数が存在し、任意のを満たすものに対して、すべてのに対してを満たすものが存在する。 ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C,}$ ${\displaystyle \beta \in K^{\times }}$ ${\displaystyle |\beta _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}}$ ${\displaystyle v.}$

系。を の位とし、を に対して とすると、が に対してほぼすべての に対して の性質を持つと仮定する。すると、に対して が存在する。 ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \delta _{v}>0}$ ${\displaystyle v\neq v_{0}}$ ${\displaystyle \delta _{v}=1}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$ ${\displaystyle |\beta |\leq \delta _{v}}$ ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

証明。補題より定数をとする。をの均一化元とする。アデーレを最小値で定義して、すべてに対してとなる。次に、ほぼすべてに対してとなる。で定義して、ほぼすべてに対してとなる。これは成立する。補題より、すべてに対してとなるものが存在する。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi _{v}}$ ${\displaystyle O_{v}.}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}}$ ${\displaystyle \alpha _{v}:=\pi _{v}^{k_{v}}}$ ${\displaystyle k_{v}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$ ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$ ${\displaystyle k_{v}=0}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \alpha _{v_{0}}:=\pi _{v_{0}}^{k_{v_{0}}}}$ ${\displaystyle k_{v_{0}}\in \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$ ${\displaystyle k_{v}=0}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \beta \in K^{\times },}$ ${\displaystyle |\beta |_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq \delta _{v}}$ ${\displaystyle v\neq v_{0}.}$

定理 は離散的かつココンパクトである ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$

証明. ^{[ 23 ]}は で離散的であるので、 も で離散的である。のコンパクト性を証明するために、を補題の定数とし、が満たされると仮定する。 定義: ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}.}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {A} _{K}}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C}$

${\displaystyle W_{\alpha }:=\left\{\xi =(\xi _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}||\xi _{v}|_{v}\leq |\alpha _{v}|_{v}{\text{ for all }}v\right\}.}$

明らかに はコンパクトである。自然な射影は射影的であると主張できる。 を任意とすると、次のようになる。 ${\displaystyle W_{\alpha }}$ ${\displaystyle W_{\alpha }\cap I_{K}^{1}\to I_{K}^{1}/K^{\times }}$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{v})_{v}\in I_{K}^{1}}$

${\displaystyle |\beta |=\prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}|_{v}=1.}$

すると、

${\displaystyle \prod _{v}|\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}=\prod _{v}|\alpha _{v}|_{v}>C.}$

補題により、すべてのに対してとなるような射影が存在し、したがって自然射影の射影性が証明される。また、連続であるため、コンパクト性も導かれる。 ${\displaystyle \eta \in K^{\times }}$ ${\displaystyle |\eta |_{v}\leq |\beta _{v}^{-1}\alpha _{v}|_{v}}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle \eta \beta \in W_{\alpha }}$

定理。^{[ 24 ]}標準同型が存在する。さらに、はの代表集合であり、はの代表集合である。 ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\cong {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }.}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times \{1\}\subset I_{\mathbb {Q} }^{1}}$ ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\times (0,\infty )\subset I_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }/\mathbb {Q} ^{\times }.}$

証明。地図を考えてみよう

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :{\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }\\(a_{p})_{p}\mapsto ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }\end{cases}}}$

この写像は明確に定義されている。なぜなら、すべての に対してであり、したがって は明らかに連続群準同型であるからである。ここで が存在すると仮定する。無限位置を考慮すると、 が単射性を証明することがわかる。全射性を示すには とおく。この元の絶対値は であり、したがって ${\displaystyle |a_{p}|_{p}=1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \textstyle \left(\prod _{p<\infty }|a_{p}|_{p}\right)\cdot 1=1.}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }=((b_{p})_{p},1)\mathbb {Q} ^{\times }.}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle ((a_{p})_{p},1)q=((b_{p})_{p},1).}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }\in I_{\mathbb {Q} }^{1}/\mathbb {Q} ^{\times }.}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |\beta _{\infty }|_{\infty }={\frac {1}{\prod _{p}|\beta _{p}|_{p}}}\in \mathbb {Q} .}$

したがって、次のようになります。 ${\displaystyle \beta _{\infty }\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle ((\beta _{p})_{p},\beta _{\infty })\mathbb {Q} ^{\times }=\left(\left({\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right)_{p},1\right)\mathbb {Q} ^{\times }.}$

以来

${\displaystyle \forall p:\qquad \left|{\frac {\beta _{p}}{\beta _{\infty }}}\right|_{p}=1,}$

は射影的であると結論付けられました。 ${\displaystyle \phi }$

定理^{[ 24 ]}絶対値関数は次のような位相群の同型を誘導する。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\cong I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\cong I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}.\end{aligned}}}$

証明同型性は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :I_{\mathbb {Q} }\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\times (0,\infty )\\a=(a_{\text{fin}},a_{\infty })\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {a_{\infty }}{|a|}},|a|\right)\end{cases}}\qquad {\text{and}}\qquad {\begin{cases}{\widetilde {\psi }}:I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}\times \{\pm 1\}\to I_{\mathbb {Q} }^{1}\\(a_{\text{fin}},\varepsilon )\mapsto \left(a_{\text{fin}},{\frac {\varepsilon }{|a_{\text{fin}}|}}\right)\end{cases}}}$

理想階級集団とイデレ階級集団の関係

定理。整数環、分数イデアル群、イデアル類群を持つ数体とする。以下の同型が存在する。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O,}$ ${\displaystyle J_{K},}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}=J_{K}/K^{\times }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{K}&\cong I_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K,{\text{fin}}}/{\widehat {O}}^{\times }K^{\times }\\\operatorname {Cl} _{K}&\cong C_{K}/\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }\end{aligned}}}$

が定義されています。 ${\displaystyle C_{K,{\text{fin}}}:=I_{K,{\text{fin}}}/K^{\times }}$

証明。をの有限な場所とし、 を同値類の代表とする。定義 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{v}}$ ${\displaystyle v.}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}:=\{x\in O:|x|_{v}<1\}.}$

はの素イデアルである。写像はの有限な場所との非零の素イデアルとの間の一対一写像である。逆写像は次のように与えられる。素イデアルはによって与えられる 値に写像される。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{v}}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle v\mapsto {\mathfrak {p}}_{v}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\mathfrak {p}}(x)&:=\max\{k\in \mathbb {N} _{0}:x\in {\mathfrak {p}}^{k}\}\quad \forall x\in O^{\times }\\v_{\mathfrak {p}}\left({\frac {x}{y}}\right)&:=v_{\mathfrak {p}}(x)-v_{\mathfrak {p}}(y)\quad \forall x,y\in O^{\times }\end{aligned}}}$

次のマップは明確に定義されています。

${\displaystyle {\begin{cases}(\cdot ):I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}\\\alpha =(\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})},\end{cases}}}$

写像は明らかに射影準同型写像であり、最初の同型写像は準同型写像の基本定理から導かれる。ここで両辺は で割られる。これは、 ${\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaystyle \ker((\cdot ))={\widehat {O}}^{\times }.}$ ${\displaystyle K^{\times }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha )&=((\alpha ,\alpha ,\dotsc ))\\&=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha )}\\&=(\alpha )&&{\text{ for all }}\alpha \in K^{\times }.\end{aligned}}}$

表記法の乱用に注意してください。この方程式の連鎖の1行目の左側では、上で定義した写像を表しています。その後、を に埋め込みます。2行目では、写像の定義を使用します。最後に、 はデデキント整域であるため、各イデアルは素イデアルの積として表すことができます。言い換えれば、写像は-同変群準同型です。結果として、上記の写像は射影準同型を誘導します。 ${\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaystyle K^{\times }}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :C_{K,{\text{fin}}}\to \operatorname {Cl} _{K}\\\alpha K^{\times }\mapsto (\alpha )K^{\times }\end{cases}}}$

2 番目の同型性を証明するには、次を示さなければなりません。 を考えます。 このとき、すべて に対してとなるからです。 一方、となることを考えます。 これにより、 と書くことができます。 結果として、次となる代表が存在します。 したがって、したがって、定理の 2 番目の同型性が証明されました。 ${\displaystyle \ker(\phi )={\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$ ${\displaystyle \xi =(\xi _{v})_{v}\in {\widehat {O}}^{\times }.}$ ${\displaystyle \textstyle \phi (\xi K^{\times })=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=K^{\times },}$ ${\displaystyle v(\xi _{v})=0}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle \xi K^{\times }\in C_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle \phi (\xi K^{\times })=OK^{\times },}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi _{v})}K^{\times }=OK^{\times }.}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\xi '_{v})}=O.}$ ${\displaystyle \xi '\in {\widehat {O}}^{\times }}$ ${\displaystyle \xi K^{\times }=\xi 'K^{\times }\in {\widehat {O}}^{\times }K^{\times }.}$

最後の同型については、射影群準同型を誘導することに注意してください。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi }}:C_{K}\to \operatorname {Cl} _{K}}$

${\displaystyle \ker({\widetilde {\phi }})=\left({\widehat {O}}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

注記：イデアル位相と離散位相を考えてみましょう。それぞれが連続であるため、は開いています。つまり、開いているということです。 ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle J_{K},}$ ${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\in J_{K},(\cdot )}$ ${\displaystyle (\{{\mathfrak {a}}\})^{-1}=\alpha {\widehat {O}}^{\times }}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K,{\text{fin}}},}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}=\prod _{v}{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

Kのイデール群とイデール類群の分解

定理。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{K}&\cong I_{K}^{1}\times M:\quad {\begin{cases}M\subset I_{K}{\text{ discrete and }}M\cong \mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\M\subset I_{K}{\text{ closed and }}M\cong \mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\\C_{K}&\cong I_{K}^{1}/K^{\times }\times N:\quad {\begin{cases}N=\mathbb {Z} &\operatorname {char} (K)>0\\N=\mathbb {R} _{+}&\operatorname {char} (K)=0\end{cases}}\end{aligned}}}$

証明。 の各位において、すべてに対して がによって生成される部分群に属する。したがって、各 に対して はによって生成される部分群に属する。したがって、準同型写像の像はによって生成されるの離散部分群である。この群は自明ではないので、いくつかの に対してによって生成される。となるように選ぶと、 はの直積であり、 によって生成される部分群である。この部分群は離散的であり、 と同型である。 ${\displaystyle \operatorname {char} (K)=p>0.}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K,\operatorname {char} (K_{v})=p,}$ ${\displaystyle x\in K_{v}^{\times },}$ ${\displaystyle |x|_{v}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle z\in I_{K},}$ ${\displaystyle |z|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle z\mapsto |z|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle Q=p^{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle z_{1}\in I_{K},}$ ${\displaystyle |z_{1}|=Q,}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}}$ ${\displaystyle z_{1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \operatorname {char} (K)=0.}$定義: ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle z(\lambda )=(z_{v})_{v},\quad z_{v}={\begin{cases}1&v\notin P_{\infty }\\\lambda &v\in P_{\infty }\end{cases}}}$

この写像は、との閉部分群におけるの同型写像である。同型写像は乗算によって与えられる。 ${\displaystyle \lambda \mapsto z(\lambda )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I_{K}}$ ${\displaystyle I_{K}\cong M\times I_{K}^{1}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :M\times I_{K}^{1}\to I_{K},\\((\alpha _{v})_{v},(\beta _{v})_{v})\mapsto (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}\end{cases}}}$

明らかに、は準同型です。単射であることを示すには、 とします。に対してなので、 に対して が成り立ちます。さらに、 に対して が存在するので、に対してとなります。したがって、に対して、さらに は、 の無限個の位数を意味します。結果として、は単射です。全射であることを示すには、が定義され、さらに、に対して、に対してが成り立ちます。 とします。したがって、は全射です。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (\alpha _{v}\beta _{v})_{v}=1.}$ ${\displaystyle \alpha _{v}=1}$ ${\displaystyle v<\infty ,}$ ${\displaystyle \beta _{v}=1}$ ${\displaystyle v<\infty .}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+},}$ ${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$ ${\displaystyle v|\infty .}$ ${\displaystyle \beta _{v}=\lambda ^{-1}}$ ${\displaystyle v|\infty .}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{v}|\beta _{v}|_{v}=1,}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}=1,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \gamma =(\gamma _{v})_{v}\in I_{K}.}$ ${\displaystyle \lambda :=|\gamma |^{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \alpha _{v}=1}$ ${\displaystyle v<\infty }$ ${\displaystyle \alpha _{v}=\lambda }$ ${\displaystyle v|\infty .}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {\gamma }{\alpha }}.}$ ${\displaystyle \textstyle |\beta |={\frac {|\gamma |}{|\alpha |}}={\frac {\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}}}=1.}$ ${\displaystyle \phi }$

他の方程式も同様になります。

イデレ群の特徴

定理. ^{[ 25 ]}を数体とする。次の条件を満たす有限個の場所の集合が存在する: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S,}$

${\displaystyle I_{K}=\left(I_{K,S}\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }=\left(\prod _{v\in S}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin S}O_{v}^{\times }\right)K^{\times }.}$

証明。数体の類数は有限なので、 を の類を表すイデアルとします。これらのイデアルは、有限個の素イデアルによって生成されます。を を含む場所の有限集合とし、 に対応する有限の場所とします。同型性を考えます。 ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {a}}_{h}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{n}.}$

${\displaystyle I_{K}/\left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\times \prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\right)\cong J_{K},}$

誘発される

${\displaystyle (\alpha _{v})_{v}\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}.}$

無限個所ではこの命題は即値なので、有限個所ではこの命題は証明されている。包含関係は明らかである。対応するイデアルはクラスに属し、これは主イデアルを意味する。イデアルは写像の下のイデアルに写像される。つまり、の素イデアルはに含まれるので、すべてに対してが成り立つ。したがって、 ${\displaystyle \supset }$ ${\displaystyle \alpha \in I_{K,{\text{fin}}}.}$ ${\displaystyle \textstyle (\alpha )=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}K^{\times },}$ ${\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {a}}_{i}(a)}$ ${\displaystyle (a).}$ ${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle I_{K,{\text{fin}}}\to J_{K}.}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathfrak {a}}_{i}=\prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha '_{v})}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle v(\alpha '_{v})=0}$ ${\displaystyle v\notin S,}$ ${\displaystyle \alpha '_{v}\in O_{v}^{\times }}$ ${\displaystyle v\notin S.}$ ${\displaystyle \alpha '=\alpha a^{-1}\in I_{K,S},}$ ${\displaystyle \alpha \in I_{K,S}K^{\times }.}$

アプリケーション

数体の類数の有限性

前の節では、数体の類数が有限であるという事実を用いました。ここでこの命題は証明できます。

定理（数体の類数の有限性）。数体を とする。すると ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\operatorname {Cl} _{K}|<\infty .}$

証明。地図

${\displaystyle {\begin{cases}I_{K}^{1}\to J_{K}\\\left((\alpha _{v})_{v<\infty },(\alpha _{v})_{v|\infty }\right)\mapsto \prod _{v<\infty }{\mathfrak {p}}_{v}^{v(\alpha _{v})}\end{cases}}}$

は射影的であるため、コンパクト集合の連続像である。したがって、はコンパクトである。さらに、離散的であるため有限である。 ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}/K^{\times }.}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{K}}$

注：大域関数体の場合にも同様の結果が得られる。この場合、いわゆる因子群が定義される。すべての次数の因子の集合を主因子の集合で割った商は有限群であることが示される。^{[ 26 ]} ${\displaystyle 0}$

単位群とディリクレの単位定理

を場所の有限集合とする。 定義 ${\displaystyle P\supset P_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega (P)&:=\prod _{v\in P}K_{v}^{\times }\times \prod _{v\notin P}O_{v}^{\times }=(\mathbb {A} _{K}(P))^{\times }\\E(P)&:=K^{\times }\cap \Omega (P)\end{aligned}}}$

すると、 はのすべての要素を含むの部分群となり、 はすべて を満たす。は の離散部分群であり、 は同じ引数で はの離散部分群となるので、は で離散的となる。 ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle K^{\times },}$ ${\displaystyle \xi \in K^{\times }}$ ${\displaystyle v(\xi )=0}$ ${\displaystyle v\notin P.}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K},}$ ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle \Omega (P)}$ ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle \Omega _{1}(P):=\Omega (P)\cap I_{K}^{1}.}$

別の定義は次のようになる。ここで はによって定義される の部分環である。 ${\displaystyle E(P)=K(P)^{\times },}$ ${\displaystyle K(P)}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K(P):=K\cap \left(\prod _{v\in P}K_{v}\times \prod _{v\notin P}O_{v}\right).}$

その結果、すべての条件を満たすすべての要素が含まれています ${\displaystyle K(P)}$ ${\displaystyle \xi \in K,}$ ${\displaystyle v(\xi )\geq 0}$ ${\displaystyle v\notin P.}$

補題1.次の集合は有限である とする。 ${\displaystyle 0<c\leq C<\infty .}$

${\displaystyle \left\{\eta \in E(P):\left.{\begin{cases}|\eta _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\eta _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

証明。定義する

${\displaystyle W:=\left\{(\alpha _{v})_{v}:\left.{\begin{cases}|\alpha _{v}|_{v}=1&\forall v\notin P\\c\leq |\alpha _{v}|_{v}\leq C&\forall v\in P\end{cases}}\right\}\right\}.}$

${\displaystyle W}$はコンパクトであり、上記の集合は の離散部分群との共通部分であり、したがって有限である。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle K^{\times }}$ ${\displaystyle I_{K}}$

補題 2.すべてに対してとなるような集合とすると、のすべての単位根の群は、特に有限かつ巡回的です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \xi \in K}$ ${\displaystyle |\xi |_{v}=1}$ ${\displaystyle v.}$ ${\displaystyle E=\mu (K),}$ ${\displaystyle K.}$

証明。の単位根はすべて絶対値を持つので、の逆の場合、補題1は任意の と が有限であることを示唆する。さらに、各有限個の場所の集合に対して、の単位根ではない が存在すると仮定する。すると、の有限性と矛盾するすべての に対して、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mu (K)\subset E.}$ ${\displaystyle c=C=1}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\subset E(P)}$ ${\displaystyle P\supset P_{\infty }.}$ ${\displaystyle \xi \in E,}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle \xi ^{n}\neq 1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle E.}$

単位定理は、 の直積であり、に同型な群である。ここで、およびの場合^{[ 27 ]} ${\displaystyle E(P)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{s},}$ ${\displaystyle s=0,}$ ${\displaystyle P=\emptyset }$ ${\displaystyle s=|P|-1,}$ ${\displaystyle P\neq \emptyset .}$

ディリクレの単位定理。数体を とする。すると はの単位根のすべての有限巡回群であり、 は の実埋め込みの数であり、は の複素埋め込みの共役対の数である。したがって、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle O^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}$ ${\displaystyle \mu (K)}$ ${\displaystyle K,r}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]=r+2s.}$

注：単位定理はディリクレの単位定理を一般化したものである。これを確かめるために、数体を仮定する。集合が ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E=\mu (K),}$ ${\displaystyle P=P_{\infty }}$ ${\displaystyle |P_{\infty }|=r+s.}$

それから、次のものがあります:

${\displaystyle {\begin{aligned}E\times \mathbb {Z} ^{r+s-1}=E(P_{\infty })&=K^{\times }\cap \left(\prod _{v|\infty }K_{v}^{\times }\times \prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong K^{\times }\cap \left(\prod _{v<\infty }O_{v}^{\times }\right)\\&\cong O^{\times }\end{aligned}}}$

近似定理

弱近似定理。^{[ 28 ]}を の非同値な付値とし、 を に関する完備化とします。をに対角的に埋め込むと、はにおいて至る所で稠密です。 言い換えると、 各 に対して、 各 に対して が存在し、次が成り立ちます。 ${\displaystyle |\cdot |_{1},\ldots ,|\cdot |_{N},}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle |\cdot |_{n}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{1}\times \cdots \times K_{N}.}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N})\in K_{1}\times \cdots \times K_{N},}$ ${\displaystyle \xi \in K,}$

${\displaystyle \forall n\in \{1,\ldots ,N\}:\quad |\alpha _{n}-\xi |_{n}<\varepsilon .}$

強近似定理。^{[ 29 ]}を とする。定義する。 ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle K.}$

${\displaystyle V:={\prod _{v\neq v_{0}}}^{'}K_{v}.}$

それから密集している ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V.}$

注：大域場はそのアデール環において離散的である。強近似定理によれば、1つ（あるいはそれ以上）の位を省略すると、大域場の離散性は稠密性に変わる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$

ハッセ原理

ハッセ・ミンコフスキーの定理。上の二次形式が零であるとき、かつその二次形式が各完備化において零であるときのみ、 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{v}.}$

注：これは二次形式に対するハッセ原理です。2次以上の多項式の場合、ハッセ原理は一般には成り立ちません。ハッセ原理（局所-大域原理とも呼ばれる）の考え方は、与えられた数体の問題を、その完備化において解くことで解き、最終的に解に結論付けるというものです。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle K.}$

アデルリングの文字

定義。局所コンパクトアーベル群を仮定する。の指標群は、の指標全体の集合であり、 で表される。同様に、 は、から までの連続群準同型全体の集合である。のコンパクト部分集合上の一様収束の位相を に備える。 も局所コンパクトアーベル群である ことが分かる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

定理。アデール環は自己双対である： ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\cong {\widehat {\mathbb {A} _{K}}}.}$

証明。局所座標への還元により、それぞれが自己双対であることを示すだけで十分である。これは、 の固定された特性を用いて行うことができる。この考え方は、 が自己双対であることを示すことで説明されている。定義： ${\displaystyle K_{v}}$ ${\displaystyle K_{v}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{cases}e_{\infty }:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\e_{\infty }(t):=\exp(2\pi it)\end{cases}}}$

すると次の写像は位相を尊重する同型写像となる。

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\mathbb {R} \to {\widehat {\mathbb {R} }}\\s\mapsto {\begin{cases}\phi _{s}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} \\\phi _{s}(t):=e_{\infty }(ts)\end{cases}}\end{cases}}}$

定理（アデール環の代数的および連続的双対）^{[ 30 ]}が の非自明な指標で、 が上で自明であるとする。 が 上の有限次元ベクトル空間であるとする。とがと の代数的双対であるとする。 の位相的双対を で表し、と を用いてと上の自然な双線型対を表す。すると、すべての の式はへの同型性を決定する。ここで、と である。さらに 、すべての に対してが成り立つ場合、 ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle E^{\star }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}.}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}'}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle [{\cdot },{\cdot }]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}'}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}\times \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$ ${\displaystyle \langle e,e'\rangle =\chi ([e,e^{\star }])}$ ${\displaystyle e\in \mathbb {A} _{E}}$ ${\displaystyle e^{\star }\mapsto e'}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{E}',}$ ${\displaystyle e'\in \mathbb {A} _{E}'}$ ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }.}$ ${\displaystyle e^{\star }\in \mathbb {A} _{E}^{\star }}$ ${\displaystyle \chi ([e,e^{\star }])=1}$ ${\displaystyle e\in E,}$ ${\displaystyle e^{\star }\in E^{\star }.}$

テイトの論文

フーリエ解析の指標を用いることで、アデール環上でも解析を行うことができる。^{[ 31 ]}ジョン・テイトは、学位論文「数体とヘッケゼータ関数におけるフーリエ解析」^{[ 6 ]}において、アデール環とイデール群上のフーリエ解析を用いてディリクレL関数に関する結果を証明した。そのため、アデール環とイデール群は、リーマンゼータ関数やより一般的なゼータ関数、L関数の研究に応用されてきた。これらの関数のアデール形式は、対応するハール測度に関して、アデール環またはイデール群上の積分として定義・表すことができる。これらの関数の関数方程式と有理型接続を示すことができる。例えば、 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K},}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Re (s)>1,}$

${\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}d^{\times }x=\zeta (s),}$

ここで、は体積1を持ち、有限アデーレ環までゼロ拡張されるような正規化された唯一のハール測度である。結果として、リーマンゼータ関数はアデーレ環（の部分集合）上の積分として表すことができる。^{[ 32 ]} ${\displaystyle d^{\times }x}$ ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,{\text{fin}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$

保型形式

保型形式理論は、イデール群を類似の高次元群に置き換えることで、テイトのテーゼを一般化したものである。この注釈を見るには：

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&=(\operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (1,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|x|=1\}\\\mathbb {Q} ^{\times }&=\operatorname {GL} (1,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

これらの識別に基づいて、自然な一般化は、イデールグループと 1-イデールを次のように置き換えることです。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathbb {Q} }&\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })\\I_{\mathbb {Q} }^{1}&\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}:=\{x\in \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }):|\det(x)|=1\}\\\mathbb {Q} &\leftrightsquigarrow \operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\end{aligned}}}$

そして最後に

${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }^{1}\cong \mathbb {Q} ^{\times }\backslash I_{\mathbb {Q} }\leftrightsquigarrow (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )\backslash (\operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }))^{1}\cong (\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }),}$

の中心はどこにあるか。そして、保型形式を の元として定義する。言い換えれば、保型形式とは、特定の代数的条件と解析的条件を満たす関数である。保型形式を研究するには、群の表現を知ることが重要である。また、保型L関数を研究することもでき、これは^{[ 33 ]}上の積分として記述できる。 ${\displaystyle Z_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle L^{2}((\operatorname {GL} (2,\mathbb {Q} )Z_{\mathbb {R} })\backslash \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })).}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }).}$

数体と任意の簡約代数群に 置き換えることで、さらに一般化することが可能になります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2)}$

さらなる応用

アルティンの相互法則の一般化により、 の表現と のガロア表現の関係が導かれます(ラングランズ プログラム)。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {A} _{K})}$ ${\displaystyle K}$

イデール類群は、体のアーベル拡大を記述する類体論の重要な対象である。局所類体論における局所相互写像の積は、イデール群から大域体の最大アーベル拡大のガロア群への準同型を与える。ガウスの二次相互法則を広範に一般化したアルティンの相互法則は、この積が数体の乗法群上でゼロになることを述べている。したがって、イデール類群から体の絶対ガロア群のアーベル部分への大域相互写像が得られる。

有限体上の曲線の関数体のアデール環の自己双対性は、リーマン・ロッホの定理と曲線の双対性理論を容易に示唆します。

参考文献

1. マイケル・グローヘニッヒ (2017 年 8 月). 「アデリック子孫理論」。Compositio Mathematica。153 (8): 1706 ～ 1746 年。arXiv : 1511.06271。土井：10.1112/S0010437X17007217。ISSN  0010-437X。S2CID  54016389。
2. サザーランド、アンドリュー（2015年12月1日）18.785 数論I講義#22（PDF）MIT 4頁。
3. 「nLabのアデルのリング」。ncatlab.org 。
4. 幾何学的類体理論、バーガヴ・バットの講義のトニー・フェンによるメモ(PDF)。
5. ヴェイユの均一化定理、nlabの記事。
6. カッセルとフレーリッヒ、1967 年。
7. ジョン・テート (1968)、「曲線上の微分残差」(PDF)、高等師範科学誌、1 : 149–159、doi : 10.24033/asens.1162。
8. この証明はCassels & Fröhlich 1967、64ページにあります
9. 定義はWeil 1967、p. 60に基づいています。
10. ヴェイユ 1967、p. 4を参照64 またはCassels & Fröhlich 1967 年、p. 74.
11. 証明についてはDeitmar 2010、p. 124、定理5.2.1を参照。
12. Cassels & Fröhlich 1967、p. 4を参照64、定理、またはヴェイユ 1967 年、p. 64、定理2。
13. 次の記述はNeukirch 2007、383ページにあります
14. 有理数の場合については、 Deitmar 2010 、p. 126、定理5.2.2を参照
15. このセクションはWeil 1967、p.71に基づいています。
16. この主張の証明はWeil 1967の 71 ページにあります。
17. この主張の証明はWeil 1967の 72 ページにあります。
18. 証明については Neukirch 2007、388ページを参照。
19. この記述はCassels & Fröhlich 1967の 69 ページに記載されています。
20. は -idele のセットにも使用されますが、この例では が使用されています。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle I_{K}^{1}}$
21. この結果には多くの証明があります。以下に示すのは、 Neukirch 2007、p. 195 に基づいています。
22. 証明についてはCassels & Fröhlich 1967、66ページを参照。
23. この証明はWeil 1967、p. 76 またはCassels & Fröhlich 1967、p. 70あります
24. Deitmar 2010の定理5.3.3の一部。
25. 任意のグローバル体に対するこの定理の一般的な証明は、 Weil 1967、p. 77に掲載されています。
26. 詳細については、 Cassels & Fröhlich 1967、71ページを参照してください。
27. 証明はWeil 1967、p. 78またはCassels & Fröhlich 1967、p. 72にあります。
28. 証明はCassels & Fröhlich 1967、p.48にあります。
29. 証明はCassels & Fröhlich 1967、p. 67
30. 証明はWeil 1967、66ページにあります。
31. 詳細についてはDeitmar 2010、129ページを参照。
32. 証明はDeitmar 2010、p. 128、定理5.3.4にあります。Tateの論文に関する詳細はp. 139も参照してください。
33. 詳細については、 Deitmar 2010の第 7 章と第 8 章を参照してください。

出典

• カッセルス、ジョン、フレーリッヒ、アルブレヒト(1967).代数的数論：ロンドン数学会（NATO高等研究所）主催の教育会議議事録. 第18巻. ロンドン: アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-163251-9。366ページ。
• ノイキルヒ、ユルゲン(2007)。Algebraische Zahlentheorie、unveränd。 nachdruck der 1. aufl。エドン（ドイツ語）。 Vol. XIII.ベルリン：シュプリンガー。ISBN 9783540375470。595ページ。
• ヴェイユ, アンドレ(1967).基礎数論. 第18巻. ベルリン; ハイデルベルク; ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 978-3-662-00048-9。294ページ。
• デイトマー、アントン (2010)。Automorphe Formen (ドイツ語)。 Vol. Ⅷ.ベルリン;ハイデルベルク (ua): スプリンガー。ISBN 978-3-642-12389-4。250ページ。
• ラング、セルジュ(1994).代数的数論, 大学院数学テキスト 110 (第2版). ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-94225-4。

外部リンク

• アデルはどんな問題を解決しますか?
• アデルに関する良い本

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