Estimation of orbits of objects
1962年のNASAミッションにおける軌道決定データの処理方法を示す図。（歴史的関心のみを目的としています。） 軌道決定 とは、衛星、惑星、宇宙船などの天体の 軌道 を推定することです。その主要な応用の一つは、新たに観測された 小惑星 を追跡し、それらが以前に発見されていないことを確認することです。基本的な手法は17世紀に発見され、その後も継続的に改良されてきました。
観測と は、軌道決定アルゴリズムに入力される生データです。地上観測者による観測は通常、時刻が記録された 方位角 、 仰角 、 距離 、および／または 距離変化率の 値で構成されます。肉眼による観測では正確な軌道決定が困難であるため、望遠鏡や レーダー 装置が使用されます。観測回数や精度が向上するほど、軌道決定プロセスの精度も向上し、「 誤報 」も減少します。
軌道が決定された後、数学的伝播技術を用いて、周回物体の将来の位置を予測することができます。時間の経過とともに、周回物体の実際の軌道は予測された軌道から逸脱する傾向があります（特に、物体が 大気抵抗 などの予測困難な 摂動 の影響を受けている場合）。そのため、新たな観測結果を用いて新たな軌道を決定することで、軌道に関する知識を再調整することができます。
衛星追跡も 主要な用途の一つである。 米国およびパートナー諸国では、 光学 および レーダー 資源が許す 限り、 統合宇宙作戦センターが地球軌道上のすべての物体の観測データを収集している。この観測結果は、 衛星カタログ の全体的な精度を維持する新しい軌道決定計算に使用される 。 衝突回避 計算では、このデータを使用して、軌道上の物体が他の物体と衝突する確率を計算することができる。現在の軌道での衝突のリスクが許容できない場合、衛星の運用者は軌道調整を決定することができる。（非常に低い確率の事象については軌道調整は不可能である。 軌道維持 のために衛星が搭載する 燃料を すぐに使い果たしてしまうからである。） ロシア や 中国 など他の国々も同様の追跡資産を持っている。
歴史 軌道決定には長い歴史があり、それは先史時代の惑星 の発見と 、それに続く惑星の運動予測の試みにまで遡ります。 ヨハネス・ケプラーは、 ティコ・ブラーエ による 火星 の綿密な観測に基づいて、火星の 軌道が楕円形であることと、その宇宙における向きを推定し、その過程で 惑星運動の三法則 を導き出しました。
軌道決定のための数学的手法は、1687年に出版されたニュートンの『 プリンキピア』 初版に端を発する。この初版では、 放物線を 描く天体の軌道を 3回の観測から求める方法が提示された。 [1] エドモンド・ハレー は、この手法を用いて、 自身の名を冠した彗星を含む様々な 彗星 の軌道を決定した。 ニュートンの逐次近似法は、1744年に オイラー によって解析的手法として定式化され、オイラーの研究は1761年から1777年にかけて ランバート によって楕円軌道と双曲軌道へと一般化された 。
軌道決定におけるもう一つの画期的な出来事は、 1801年に カール・フリードリヒ・ガウス が 準惑星 ケレスの「発見」に協力したことです 。ガウスの方法は、わずか3つの観測値（ 天体座標 の形で）を用いて、軌道を完全に記述する6つの 軌道要素 を見つけることができまし た。軌道決定理論はその後発展し、今日では GPS受信機 や、新たに観測された 小惑星 の追跡とカタログ作成に応用されています。
観測データ 物体の軌道が不明な場合は、 その運動を時間とともに 観測する必要があります。近代初期の天文学において、天体に関する唯一の観測データは、 光学望遠鏡 を用いて 恒星 に対する 観測弧上 を移動する物体を観測することで得られる 赤経 と 赤緯でした。これは、観測者から測った物体の空間における相対的な方向は分かっているものの、物体までの距離は分かっていないことに対応しています。つまり、得られた測定値には、 単位ベクトル のような方向情報のみが含まれています 。
レーダー では、 電波望遠鏡 を用いて相対 距離 測定（レーダーエコーのタイミングによる）と相対 速度 測定（ レーダーエコーの ドップラー効果の 測定による）が可能です。しかし、レーダーから返される信号強度は、物体までの距離の 4乗 に反比例して急速に低下します。そのため、レーダー観測は一般的に 人工衛星 や 地球近傍天体など、地球に比較的近い物体に限定されます。より大きな開口径を持つレーダーは、 太陽系 全体にわたる惑星間宇宙船のトランスポンダーの追跡 や、自然天体の レーダー天文学 を可能にします。
様々な宇宙機関や民間企業が、これらの観測を行うための追跡ネットワークを運用しています。一部のリストについては 、カテゴリ：深宇宙ネットワークを 参照してください。宇宙ベースの衛星追跡も定期的に行われています。 電波望遠鏡一覧#宇宙ベース および 宇宙ネットワーク を参照してください。
方法 軌道決定においては、天体の見かけの天体運動が観測者自身の運動の影響を受けることを考慮に入れなければなりません。例えば、地球上で小惑星を追跡する観測者は、地球の 太陽 の周りの運動、地球の自転、そして観測者の所在地の緯度と経度を考慮する必要があります。これらは天体の見かけの位置に影響を与えるからです。
重要な観察結果は、（ほぼ）すべての物体は 円錐曲線 の軌道上を運動し、その軌道は引力を与える物体（太陽や地球など）を 主焦点 とし、固定された平面上にあるという点です。異なる時点において、引力を与える物体から物体に引かれる ベクトルはすべて、 軌道平面 上にあります 。
レーダー観測のように、観測者に対する相対的な位置と速度が分かっている場合、これらの観測データは、観測時点における観測者の引力天体に対する相対的な位置と速度に基づいて調整することができます。これにより、引力天体に対する位置と速度が得られます。このような観測が2つあり、それらの時間差が分かっている場合、18世紀に発明されたランバート法を用いて軌道を決定することができます。 詳細は ランバートの問題を参照してください。
距離情報が得られない場合でも、天体の赤経と赤緯を3回以上観測すれば、軌道を決定することができます。 ガウスの方法は、1801年に最初の 失われた小惑星 である ケレス を「発見」したことで有名になり 、その後改良が重ねられました。
一つの用途は、力学的方法 による小惑星の質量決定である 。この手順では、ガウスの法則を2回、つまり2つの小惑星の接近相互作用の前と後の両方で用いる。両方の軌道が決定された後、片方または両方の小惑星の質量を計算できる。 [ 要出典 ]
状態ベクトルからの軌道決定 軌道決定の基本的な課題は、中心天体の 基準座標系 に対する軌道 状態ベクトル [ ] から、周回天体の古典 軌道要素 、 すなわち ケプラー要素 を決定することである。中心天体は、太陽、地球、月、その他の惑星のように、重力の源となる。一方、周回天体には、太陽を周回する惑星、地球を周回する人工衛星、惑星を周回する宇宙船などが含まれる。ニュートンの 運動法則は、 ケプラー軌道 として知られる周回天体の軌道を説明する 。 a , e , i , Ω , ω , ν {\displaystyle a,e,i,\Omega ,\omega ,\nu } r → , v → {\displaystyle {\vec {r}},{\vec {v}}}
1 つの状態ベクトルから軌道を決定する手順は次のようにまとめられます。
軌道物体の状態ベクトルから、その 比角運動量 を計算しなさい。 ここで、 は軌道面のZ軸の単位ベクトルである。比角運動量は、軌道物体の軌道面に垂直な方向を持つ、軌道物体にとって一定のベクトルである。 h → {\displaystyle {\vec {h}}} h → = r → × v → = | h → | k → = h k → , {\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\vec {k}}=h{\vec {k}},} k → {\displaystyle {\vec {k}}} から 昇交点 ベクトル を計算します。ここで 、 は 基準面のZ軸の単位ベクトルを表し、中心天体の基準面に垂直です。 昇交点ベクトルは、中心天体から周回天体の軌道面の昇交点を指すベクトルです 。 昇交点線は軌道面と基準面の交線であるため、基準面の法線ベクトル（ ）と軌道面の法線ベクトル（ または）の両方に垂直です。したがって、昇交点ベクトルは 、これら2つのベクトルの 外積 によって定義できます。 n → {\displaystyle {\vec {n}}} h → {\displaystyle {\vec {h}}} K → {\displaystyle {\vec {K}}} n → = K → × h → . {\displaystyle {\vec {n}}={\vec {K}}\times {\vec {h}}.} K → {\displaystyle {\vec {K}}} k → {\displaystyle {\vec {k}}} h → {\displaystyle {\vec {h}}} 軌道の 離心率ベクトル を計算します。離心率ベクトルは軌道の 離心率 の大きさ、を持ち、軌道の 近点 方向を指します 。この方向は、しばしば軌道面のx軸として定義され、単位ベクトル を持ちます 。運動の法則によれば、離心率は次のように表されます。 ここで 、 は 中心質量体の 標準重力パラメータ 、は 万有引力定数 です 。 e → {\displaystyle {\vec {e}}} e {\displaystyle e} i → {\displaystyle {\vec {i}}} e → = v → × h → μ − r → | r → | = e i → = ( | v → | 2 μ − 1 | r → | ) r → − r → ⋅ v → μ v → = 1 μ [ ( | v → | 2 − μ | r → | ) r → − ( r → ⋅ v → ) v → ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}} e = | e → | {\displaystyle e=\left|{\vec {e}}\right|} μ = G M {\displaystyle \mu =GM} M {\displaystyle M} G {\displaystyle G} 軌道の 半緯度直角 と、その半長軸を計算します( 放物線軌道 でない場合 、 および は定義されていないか無限大として定義されています)。 ( の場合 )。 p {\displaystyle p} a {\displaystyle a} e = 1 {\displaystyle e=1} a {\displaystyle a} p = h 2 μ = a ( 1 − e 2 ) {\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})} a = p 1 − e 2 , {\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}},} e ≠ 1 {\displaystyle e\neq 1} 基準面に対する軌道面の 傾斜を 計算します。 ここでは 、基準フレームに投影されたとき の Z 座標です。 i {\displaystyle i} cos ( i ) = K → ⋅ h → h = h K h ⇒ i = arccos ( K → ⋅ h → h ) , i ∈ [ 0 , 180 ∘ ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}} h K {\displaystyle h_{K}} h → {\displaystyle {\vec {h}}} 昇交点 の経度 を計算します 。これは昇り線と参照フレームの X 軸の間の角度です。 ここで 、 はそれぞれ 参照フレーム内の の X 座標と Y 座標です。 Ω {\displaystyle \Omega } cos ( Ω ) = I → ⋅ n → n = n I n = cos ( 360 − Ω ) ⇒ Ω = arccos ( I → ⋅ n → n ) = Ω 0 , or ⇒ Ω = 360 ∘ − Ω 0 , if n J < 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}\right)=\Omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text{ if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}} n I {\displaystyle n_{I}} n J {\displaystyle n_{J}} n → {\displaystyle {\vec {n}}}
ですが、 は [0,180] 度の範囲でのみ定義されている ことに注意してください。したがって 、 は [0,360] 度の範囲で同じ値を持つ2 つの角度 と が存在するという点で曖昧です 。実際には、角度 またはを返す可能性 があります。したがって、角度が測定される平面におけるベクトルの Y 座標の符号に基づいて判断する必要があります。この場合、 は そのような判断に使用できます。 cos ( A ) = cos ( − A ) = cos ( 360 − A ) = C {\displaystyle \cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C} arccos ( C ) {\displaystyle \arccos(C)} arccos ( C ) {\displaystyle \arccos(C)} A {\displaystyle A} 360 − A {\displaystyle 360-A} cos {\displaystyle \cos } A {\displaystyle A} 360 − A {\displaystyle 360-A} n J {\displaystyle n_{J}} 近点と昇り線の間の角度である 近点引数 を計算します。 ここで、は 参照フレーム内の の Z 座標です。 ω {\displaystyle \omega } cos ( ω ) = n → ⋅ e → n e = cos ( 360 − ω ) ⇒ ω = arccos ( n → ⋅ e → n e ) = ω 0 , or ⇒ ω = 360 ∘ − ω 0 , if e K < 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}\right)=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}} e K {\displaystyle e_{K}} e → {\displaystyle {\vec {e}}} 特定の観測時点（「エポック」）における位置ベクトルと近点間の角度である、エポックにおける 真の近点角 を計算します。 の符号は 飛行経路角 と同じ符号を持つため、 の象限を確認し、角度を 修正するため に使用できます 。また、飛行経路角 の符号は の場合には常に正 、 の場合には常に負です 。 [1] 両者は およびによって関連しています 。 ν {\displaystyle \nu } cos ( ν ) = e → ⋅ r → e r = cos ( 360 − ν ) ⇒ ν = arccos ( e → ⋅ r → e r ) = ν 0 , or ⇒ ν = 360 ∘ − ν 0 , if r → ⋅ v → < 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\cos(360-\nu )\\\Rightarrow \nu &=\arccos \left({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}\right)=\nu _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}} r → ⋅ v → {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}} ν {\displaystyle \nu } arccos {\displaystyle \arccos } ϕ {\displaystyle \phi } ν ∈ [ 0 , 180 ∘ ] {\displaystyle \nu \in [0,180^{\circ }]} ν ∈ [ 180 ∘ , 360 ∘ ] {\displaystyle \nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]} h = r v sin ( 90 − ϕ ) {\displaystyle h=rv\sin(90-\phi )} r → ⋅ v → = r v cos ( 90 − ϕ ) = h tan ( ϕ ) {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )} オプションとして、 特定の時間における位置ベクトルと昇り線の間の角度である、エポックでの 緯度引数 を計算することもできます。ここで、は 参照フレーム内の の Z 座標です。 u = ω + ν {\displaystyle u=\omega +\nu } cos ( u ) = n → ⋅ r → n r = cos ( 360 − u ) ⇒ u = arccos ( n → ⋅ r → n r ) = u 0 , or ⇒ u = 360 ∘ − u 0 , if r K < 0 , {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u)\\\Rightarrow u&=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}\right)=u_{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}} r K {\displaystyle r_{K}} r → {\displaystyle {\vec {r}}}
参考文献 ^ ab Bate RR, Mueller DD, White JE. 『天体力学の基礎』 Courier Corporation; 1971. 第2章 51ページ以降。
さらに読む 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000faeaaeedd54ee2c2b2e036e87e6304fb11565)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c47962e4f1446cf9b4974261a43f5e9e17797c)
![{\displaystyle \nu \in [0,180^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434df5e48695dfff3ec9dabffa6bdfa5b45551e3)
![{\displaystyle \nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c516d7c07c3b2adaa798ed2172434d5c5afd4f02)
