加法マップ

Z-module homomorphism

代数学において、加法写像、線型写像、あるいは加法関数とは、の定義域におけるすべての元とのペアに対して、加法演算を保存する関数である。 ^[1]例えば、任意の線型写像は加法的である。定義域が実数のとき、これはコーシーの関数方程式である。この定義の具体的なケースについては、加法多項式 を参照のこと。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f.}$

より正式には、加法写像は-加群準同型写像である。アーベル群は-加群であるため、アーベル群間の群準同型写像として定義することができる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

2つの引数それぞれについて加法的な写像は、双加法写像または双線形写像と呼ばれる。^[2] ${\displaystyle V\times W\to X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

例

典型的な例としては、環、ベクトル空間、あるいは加法群を保存する加群間の写像が挙げられます。加法写像は、環の積演算のように、必ずしも対象の他の構造を保存するわけではありません。

および が加法的な写像である場合、写像(点ごとに定義) は加法的です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f+g}$

プロパティ

整数によるスカラー乗算の定義

が単位元を持つ加法群であり、 の逆がで表されるとします。任意の および 整数について、次のようになります。したがって、 および は、すべての整数およびすべてのに対して であることが示されます。このスカラー乗算の定義により、の 巡回部分群は左- 加群になります。 が可換である場合、 も左- 加群になります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle -x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$ $${\displaystyle nx:=\left\{{\begin{alignedat}{9}&&&0&&&&&&~~~~&&&&~{\text{ when }}n=0,\\&&&x&&+\cdots +&&x&&~~~~{\text{(}}n&&{\text{ summands) }}&&~{\text{ when }}n>0,\\&(-&&x)&&+\cdots +(-&&x)&&~~~~{\text{(}}|n|&&{\text{ summands) }}&&~{\text{ when }}n<0,\\\end{alignedat}}\right.}$$ ${\displaystyle (-1)x=-x}$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle (m+n)x=mx+nx}$ ${\displaystyle -(nx)=(-n)x=n(-x).}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数上の同次性

が加法群間の加法写像である場合、すべてに対して となり（ただし、否定は加法の逆を表す）、^{[証明 1]}したがって、すべてに対して となります（ただし、定義により、）。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ $${\displaystyle f(nx)=nf(x)\quad {\text{ for all }}n\in \mathbb {Z} .}$$ ${\displaystyle f(x-y)=f(x)-f(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle x-y:=x+(-y)}$

言い換えれば、すべての加法写像は整数 上で同次である。したがって、アーベル群間のすべての加法写像は-加群の準同型 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$となる。

-加群の準同型性 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

加法アーベル群 とが有理数（実ベクトル空間や複素ベクトル空間など）上の単位加群でもある場合、加法写像は次式を満たす: ^{[証明 2]}言い換えれば、すべての加法写像は有理数上で同次である。したがって、単位加群間のすべての加法写像は、加群の準同型となる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f(qx)=qf(x)\quad {\text{ for all }}q\in \mathbb {Q} {\text{ and }}x\in X.}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

コーシーの関数方程式に関する記事で説明されているように、上で同次であるにもかかわらず、加法関数が実数 上で同次でない可能性があります。言い換えると、何らかの定数 に対して の形式ではない加法写像が存在します。 特に、線形写像ではない加法写像が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=s_{0}x}$ ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {R} .}$

参照

• 反線型写像 – 共役同次加法写像

注記

1. レスリー・ホグベン（2013年）、線形代数ハンドブック（第3版）、CRCプレス、  pp.30-8、ISBN 9781498785600
2. N. Bourbaki (1989)、代数学第1章～第3章、Springer、p.243

証明

1. したがって、両辺を加えると、 が証明されます。の場合、となるので、 の定義により、帰納法は、が正の場合、 となり、 の加法逆数はとなり、 となることを示します(これは がに対して成り立つことを示します)。 ${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)}$ ${\displaystyle -f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=0.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle 0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)}$ ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ ${\displaystyle (-1)f(x):=-f(x).}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle nf(x)}$ ${\displaystyle n(-f(x)),}$ ${\displaystyle f((-n)x)=f(n(-x))=nf(-x)=n(-f(x))=-(nf(x))=(-n)f(x)}$ ${\displaystyle f(nx)=nf(x)}$ ${\displaystyle n<0}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. とすると、そしてとすると、両辺にを掛けると次の式が成り立ち、したがって、 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle q={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n>0.}$ ${\displaystyle y:={\frac {1}{n}}x.}$ ${\displaystyle ny=n\left({\frac {1}{n}}x\right)=\left(n{\frac {1}{n}}\right)x=(1)x=x,}$ ${\displaystyle f(x)=f(ny)=nf(y)=nf\left({\frac {1}{n}}x\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}x\right)={\frac {1}{n}}f(x).}$ ${\displaystyle f(qx)=f\left({\frac {m}{n}}x\right)=mf\left({\frac {1}{n}}x\right)=m\left({\frac {1}{n}}f(x)\right)=qf(x).}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

• ロジャー・C・リンドン; Paul E. Schupp (2001)、組合せ群理論、Springer

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