3d hypersurface of degree 5
数学において、 五次三次多様体（ごじゅうさんじゅうたい）は、4次元 射影空間 における5次の3次元超曲面である 。特異でない五次三次多様体は カラビ・ヤウ多様体 である。 P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
非特異五次三次元多様体の ホッジ ダイヤモンドは
物理学者 ロバート・ダイクグラーフ は「すべての代数幾何学者が知っている数字の1つは2,875である。なぜなら明らかに、それは五次方程式の直線の数だからだ」と述べた。 [1]
意味 五次三次多様体は、の 次数 射影多様体によって定義される カラビ・ヤウ多様体 の特別なクラスです。多くの例は、の 超曲面 、 に含まれる 完全交差 、または別の多様体の特異点を解決する滑らかな多様体として構築されます 。集合として、カラビ・ヤウ多様体は であり、 は 次数 同 次多項式です。最も研究されている例の 1 つは、 フェルマー多項式 と呼ばれる 多項式からのものです。このような多項式がカラビ・ヤウを定義することを証明するには、 随伴公式 や 滑らかさの条件 など、さらにいくつかのツールが必要です 。 5 {\displaystyle 5} P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}} P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}} P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}} X = { x = [ x 0 : x 1 : x 2 : x 3 : x 4 ] ∈ C P 4 : p ( x ) = 0 } {\displaystyle X=\{x=[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}} p ( x ) {\displaystyle p(x)} 5 {\displaystyle 5} p ( x ) = x 0 5 + x 1 5 + x 2 5 + x 3 5 + x 4 5 {\displaystyle p(x)=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}
Pにおける超曲面 4 同次多項式 （ここでは 超平面直線束 のセールツイスト ）は 、 のような体である 代数 から、 射影多様体 、または 射影スキーム 、を定義することを思い出してください 。次に、 その 標準束を計算するために 随伴公式を 使用すると、次のようになります。 したがって、多様体がカラビ・ヤウであるためには、つまり自明な標準束を持つためには、その次数は でなければなりません 。さらにこの多様体が 滑らか で ある場合、それはカラビ・ヤウ多様体です。これは、多項式の零点を見て集合が空であることを確認すれ ば確認できます 。 f ∈ Γ ( P 4 , O ( d ) ) {\displaystyle f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(d))} O ( d ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(d)} X {\displaystyle X} k [ x 0 , … , x 4 ] ( f ) {\displaystyle {\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(f)}}} k {\displaystyle k} C {\displaystyle \mathbb {C} } Ω X 3 = ω X = ω P 4 ⊗ O ( d ) ≅ O ( − ( 4 + 1 ) ) ⊗ O ( d ) ≅ O ( d − 5 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{X}^{3}&=\omega _{X}\\&=\omega _{\mathbb {P} ^{4}}\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(-(4+1))\otimes {\mathcal {O}}(d)\\&\cong {\mathcal {O}}(d-5)\end{aligned}}} 5 {\displaystyle 5} ∂ 0 f , … , ∂ 4 f {\displaystyle \partial _{0}f,\ldots ,\partial _{4}f} { x = [ x 0 : ⋯ : x 4 ] | f ( x ) = ∂ 0 f ( x ) = ⋯ = ∂ 4 f ( x ) = 0 } {\displaystyle \{x=[x_{0}:\cdots :x_{4}]|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}}
例
フェルマーの五次方程式 カラビ・ヤウ多様体を確認する最も簡単な例の 1 つは、 フェルマーの 5 次三次多様 体 によって与えられます。これは、多項式 の消失軌跡 によって定義されます。 の 偏導関数を計算すると、 4 つの多項式が得られます。 が消失する唯一の点は の座標軸によって与えられるため、 は の点でない ため、消失軌跡は空です 。 f = x 0 5 + x 1 5 + x 2 5 + x 3 5 + x 4 5 {\displaystyle f=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}} f {\displaystyle f} ∂ 0 f = 5 x 0 4 ∂ 1 f = 5 x 1 4 ∂ 2 f = 5 x 2 4 ∂ 3 f = 5 x 3 4 ∂ 4 f = 5 x 4 4 {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f=5x_{0}^{4}\\\partial _{1}f=5x_{1}^{4}\\\partial _{2}f=5x_{2}^{4}\\\partial _{3}f=5x_{3}^{4}\\\partial _{4}f=5x_{4}^{4}\\\end{aligned}}} P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}} [ 0 : 0 : 0 : 0 : 0 ] {\displaystyle [0:0:0:0:0]} P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}
ホッジ予想のテストベッドとして 五次三次多様体のもう一つの応用は、無限小一般化ホッジ予想 の研究であり、 この場合にはこの困難な問題を解決することができる。 [2] 実際、この超曲面上のすべての直線は明示的に見つけることができる。
五次三重多様体のドワーク族 多くの文脈で研究されている五次三次多様体の例として、もう一つのよく知られたクラスは、 ドワーク族 である。そのような族のよく知られた研究の 1 つは、Candelas、De La Ossa、Green、および Parkes [3] によるもので、彼らは ミラー対称性 を発見した。これは、族 [4]の 123-125 ページ によって与えられ、 は 1 の 5 乗根 と等しくない単一のパラメータである。これは、 の偏微分を計算し、その零点を評価することによって見つけることが できる。偏微分は によって与えられる。 偏微分がすべて零である点では、関係式 が得られる 。例えば、 では を割り 、各辺に を掛けることで が 得られる 。これらの方程式の族を掛け合わせると、 関係式 が得られ 、これは 解が または によって与えられることを示す 。 しかし 、最初のケースでは、 の変分項が このような が与えられたとき 、特異点は となる形をとり、 ここ でとなる 。例えば、 、 、 で あるため、 は とその偏微分 の解となる 。 f ψ = x 0 5 + x 1 5 + x 2 5 + x 3 5 + x 4 5 − 5 ψ x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 {\displaystyle f_{\psi }=x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}} ψ {\displaystyle \psi } f ψ {\displaystyle f_{\psi }} ∂ 0 f ψ = 5 x 0 4 − 5 ψ x 1 x 2 x 3 x 4 ∂ 1 f ψ = 5 x 1 4 − 5 ψ x 0 x 2 x 3 x 4 ∂ 2 f ψ = 5 x 2 4 − 5 ψ x 0 x 1 x 3 x 4 ∂ 3 f ψ = 5 x 3 4 − 5 ψ x 0 x 1 x 2 x 4 ∂ 4 f ψ = 5 x 4 4 − 5 ψ x 0 x 1 x 2 x 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{0}f_{\psi }=5x_{0}^{4}-5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{1}f_{\psi }=5x_{1}^{4}-5\psi x_{0}x_{2}x_{3}x_{4}\\\partial _{2}f_{\psi }=5x_{2}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{3}x_{4}\\\partial _{3}f_{\psi }=5x_{3}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{4}\\\partial _{4}f_{\psi }=5x_{4}^{4}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}\\\end{aligned}}} x i 5 = ψ x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 {\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}} ∂ 0 f ψ {\displaystyle \partial _{0}f_{\psi }} 5 x 0 4 = 5 ψ x 1 x 2 x 3 x 4 x 0 4 = ψ x 1 x 2 x 3 x 4 x 0 5 = ψ x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 {\displaystyle {\begin{aligned}5x_{0}^{4}&=5\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{4}&=\psi x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\x_{0}^{5}&=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\end{aligned}}} 5 {\displaystyle 5} x 0 {\displaystyle x_{0}} x i 5 = ψ x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 {\displaystyle x_{i}^{5}=\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}} ∏ x i 5 = ψ 5 ∏ x i 5 {\displaystyle \prod x_{i}^{5}=\psi ^{5}\prod x_{i}^{5}} x i = 0 {\displaystyle x_{i}=0} ψ 5 = 1 {\displaystyle \psi ^{5}=1} f ψ {\displaystyle f_{\psi }} ψ 5 = 1 {\displaystyle \psi ^{5}=1} ψ {\displaystyle \psi } [ μ 5 a 0 : ⋯ : μ 5 a 4 ] {\displaystyle [\mu _{5}^{a_{0}}:\cdots :\mu _{5}^{a_{4}}]} μ 5 ∑ a i = ψ − 1 {\displaystyle \mu _{5}^{\sum a_{i}}=\psi ^{-1}} μ 5 = e 2 π i / 5 {\displaystyle \mu _{5}=e^{2\pi i/5}} [ μ 5 4 : μ 5 − 1 : μ 5 − 1 : μ 5 − 1 : μ 5 − 1 ] {\displaystyle [\mu _{5}^{4}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}]} f 1 {\displaystyle f_{1}} ( μ 5 i ) 5 = ( μ 5 5 ) i = 1 i = 1 {\displaystyle (\mu _{5}^{i})^{5}=(\mu _{5}^{5})^{i}=1^{i}=1} ψ = 1 {\displaystyle \psi =1}
その他の例
五次三倍体上の曲線 次数有理曲線の個数は、 シューベルト計算 を用いて明示的に計算することができます 。 を、 ある階数ベクトル空間における -平面 の グラスマン 多様体上の 階数 ベクトル束 とします。 を に射影化する と 、 における 次数直線の射影グラスマン多様体が得られ 、この射影グラスマン多様体上のベクトル束に 降下します。その全 チャーン類は チャウ環 に あります。ここで、 束の 切断は線型同次多項式 に対応する ため、 の切断は 五次多項式 の切断に対応します 。すると、一般的な五次三次多様体上の直線の数を計算するには、積分 [5]を計算すれば十分です。これは 分割原理 を用いて行うことができます 。次元 ベクトル空間 に対して、 であり 、であるので 、 の全体のチャーン類は、の積 で与えられます。 すると、 オイラー類 、つまり最上位の類は、 これを元のチャーン類 の観点から展開すると、、、 を 含む 、 ピエリの公式 によって暗示される関係を使用して、 を与えます 。 1 {\displaystyle 1} T ∗ {\displaystyle T^{*}} 2 {\displaystyle 2} G ( 2 , 5 ) {\displaystyle G(2,5)} 2 {\displaystyle 2} 5 {\displaystyle 5} G ( 2 , 5 ) {\displaystyle G(2,5)} G ( 1 , 4 ) {\displaystyle \mathbb {G} (1,4)} 1 {\displaystyle 1} P 4 {\displaystyle \mathbb {P} ^{4}} T ∗ {\displaystyle T^{*}} c ( T ∗ ) = 1 + σ 1 + σ 1 , 1 {\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}} A ∙ ( G ( 1 , 4 ) ) {\displaystyle A^{\bullet }(\mathbb {G} (1,4))} l ∈ Γ ( G ( 1 , 4 ) , T ∗ ) {\displaystyle l\in \Gamma (\mathbb {G} (1,4),T^{*})} l ~ ∈ Γ ( P 4 , O ( 1 ) ) {\displaystyle {\tilde {l}}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(1))} Sym 5 ( T ∗ ) {\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})} Γ ( P 4 , O ( 5 ) ) {\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}(5))} ∫ G ( 1 , 4 ) c ( Sym 5 ( T ∗ ) ) = 2875 {\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,4)}c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=2875} c ( T ∗ ) = ( 1 + α ) ( 1 + β ) = 1 + ( α + β ) + α β {\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+(\alpha +\beta )+\alpha \beta \end{aligned}}} 2 {\displaystyle 2} V = V 1 ⊕ V 2 {\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}} Sym 5 ( V ) = ⨁ i = 0 5 ( V 1 ⊗ 5 − i ⊗ V 2 ⊗ i ) {\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(V)=\bigoplus _{i=0}^{5}(V_{1}^{\otimes 5-i}\otimes V_{2}^{\otimes i})} Sym 5 ( T ∗ ) {\displaystyle {\text{Sym}}^{5}(T^{*})} c ( Sym 5 ( T ∗ ) ) = ∏ i = 0 5 ( 1 + ( 5 − i ) α + i β ) {\displaystyle c({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))=\prod _{i=0}^{5}(1+(5-i)\alpha +i\beta )} 5 α ( 4 α + β ) ( 3 α + 2 β ) ( 2 α + 3 β ) ( α + 4 β ) 5 β {\displaystyle 5\alpha (4\alpha +\beta )(3\alpha +2\beta )(2\alpha +3\beta )(\alpha +4\beta )5\beta } c 6 ( Sym 5 ( T ∗ ) ) = 25 σ 1 , 1 ( 4 σ 1 2 + 9 σ 1 , 1 ) ( 6 σ 1 2 + σ 1 , 1 ) = ( 100 σ 3 , 1 + 100 σ 2 , 2 + 225 σ 2 , 2 ) ( 6 σ 1 2 + σ 1 , 1 ) = ( 100 σ 3 , 1 + 325 σ 2 , 2 ) ( 6 σ 1 2 + σ 1 , 1 ) = 600 σ 3 , 3 + 2275 σ 3 , 3 = 2875 σ 3 , 3 {\displaystyle {\begin{aligned}c_{6}({\text{Sym}}^{5}(T^{*}))&=25\sigma _{1,1}(4\sigma _{1}^{2}+9\sigma _{1,1})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{3,1}+100\sigma _{2,2}+225\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=(100\sigma _{3,1}+325\sigma _{2,2})(6\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=600\sigma _{3,3}+2275\sigma _{3,3}\\&=2875\sigma _{3,3}\end{aligned}}} σ 1 2 = σ 2 + σ 1 , 1 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}+\sigma _{1,1}} σ 1 , 1 ⋅ σ 1 2 = σ 3 , 1 + σ 2 , 2 {\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{3,1}+\sigma _{2,2}} σ 1 , 1 2 = σ 2 , 2 {\displaystyle \sigma _{1,1}^{2}=\sigma _{2,2}}
有理曲線 ハーバート・クレメンス (1984) は、ジェネリックな 5 次 3 次多様体上の与えられた次数の有理曲線の数は有限であると予想した。(滑らかだがジェネリックではない 5 次 3 次多様体には、その上に無限の直線族が存在する。) これは、次数 7 まで Sheldon Katz (1986) によって検証され、彼はまた、次数 2 の有理曲線の数 609250 を計算した。ブライアン・グリーンとロネン・プレッサー (1989) は、5 次 3 次多様体のミラー多様体の構成を提案した。 フィリップ・キャンデラス 、 ゼニア・C・デ・ラ・オッサ 、 ポール ・S・グリーン 他 (1991 ) は、任意次数の有理曲線の仮想数に対する一般的な公式を予想した。 仮想数が実数と等しいという事実は、現在11次までしか知られていないクレメンス予想（Cotterill, 2012）の裏付けに基づいています。一般的な五次三次元多様体上の様々な次数の有理曲線の数は、次のように与えられます。
2875、609250、317206375、242467530000、...（ OEIS のシーケンス A076912 ）。 一般的な五次三次多様体はカラビ・ヤウ三次多様体であり、与えられた次数の有理曲線のモジュライ空間は離散的な 有限集合 （したがってコンパクト）であるため、これらには明確に定義された ドナルドソン・トーマス不変量 （「仮想点の数」）があり、少なくとも次数 1 と 2 では、これらは実際の点の数と一致します。
参照
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![{\displaystyle X=\{x=[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:p(x)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d4da81588faa99bb60eee1bcb2aca69e5332b6c)
![{\displaystyle {\frac {k[x_{0},\ldots,x_{4}]}{(f)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99e477dc0669b5df2e51d0495f274cc6304e16d0)
![{\displaystyle \{x=[x_{0}:\cdots :x_{4}]|f(x)=\partial _{0}f(x)=\cdots =\partial _{4}f(x)=0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590c63bebbe79f14d7359f4f2c8dca64343326d0)
![{\displaystyle [0:0:0:0:0]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eac07a25e3f98e75e0859f957d195943ed36d76e)
![{\displaystyle [\mu _{5}^{a_{0}}:\cdots :\mu _{5}^{a_{4}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f0030352e8def77a46367c7ab52a865bbc61f96)
![{\displaystyle [\mu _{5}^{4}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}:\mu _{5}^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92741012079cf593b3c1bd629ad4920aeb88fa6)
