加重平均寿命

金融において、元本返済型ローンまたは元本返済型債券の加重平均残存期間（WAL）は、平均残存期間とも呼ばれ、^{[1] [2] [3]は、元本の}返済回数の加重平均であり、1ドルの元本が返済されるまでの平均期間です

式では、^[4]

${\displaystyle {\text{WAL}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i},}$

ここで、

• ${\displaystyle P}$は（合計）元本、
• ${\displaystyle P_{i}}$は支払いに含まれる元本の返済額です。したがって、 ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\frac {P_{i}}{P}}}$は支払いに含まれる総元本の割合であり、 ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$計算日から支払いまでの期間（年数）です。 ${\displaystyle i}$

必要に応じて、月次債券の場合と同様に拡張できます。ここでは、決済日と最初のキャッシュフロー日の間の月数分の 1 です。 ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{12}}(i+\alpha -1)}$ ${\displaystyle \alpha }$

ローンのクラスのWAL

繰上返済が認められるローンの場合、WALは償還スケジュールのみから計算することはできません。繰上返済と債務不履行に関する仮定も必要であり、提示されるWALは推定値となります。WALは通常、単一のキャッシュフロー・シーケンスから計算されます。場合によっては、オプション調整スプレッド・モデルなど、複数のキャッシュフロー・シナリオからシミュレーションによる平均残存期間が計算されることもあります。^[5]

関連概念

WALは以下の異なる概念と混同しないでください

債券期間

債券デュレーションは、すべてのキャッシュフロー（元本と利息の両方を含む）の割引現在価値を受け取るまでの加重平均期間です。一方、WALは、元本のみの支払い（利息を含まず、割引も含まない）を受け取るまでの加重平均期間です。均等返済の元本均等返済ローンの場合、WALはデュレーションよりも高くなります。これは、早期の支払いは利息に、後期の支払いは元本に重み付けされるためです。さらに、現在価値（デュレーション）を採用することで、後期の支払いが割引されます

元金の50％が返済されるまでの時間

WALは平均値ですが、「元本の50%が返済された」は中央値です。平均値と中央値の違いについては、こちらをご覧ください。定額返済型ローンの場合、未払い元本は（時間の）凹関数となるため、WAL時点では元本の半分以下しか返済されていません。直感的には、これは元本の返済の大部分が最後に行われるためです。正式には、返済額の分布は負の歪みを持っています。つまり、当初の少額の元本返済は、中央値を下げるよりもWAL（平均値）を引き下げます。

加重平均償還期間（WAM）

WAMは複数のローンの償還日の平均であり、元本の返済額の平均ではありません

応用

WALは、ローンの主な信用リスクが元本損失リスクであることを念頭に置くと、固定利付証券の信用リスク分析に役立つ指標です。他の条件が同じであれば、元本残高が長い債券（つまり、WALが長い債券）は、WALが短い債券よりも信用リスクが高くなります。特に、WALはIスプレッド計算 における利回り比較の基準としてよく使用されます

WALは元本のキャッシュフローのみを含み、利払い分を除外しているため、金利変動に対する債券価格感応度の推定には使用すべきではありません。代わりに、すべてのキャッシュフローを組み込んだ債券デュレーションを使用する必要があります。

例

一括返済型ローン（非元本返済型）のWALは、満期日に元本が正確に返済されるため、満期日と正確に一致します

30 年間の均等償還ローンで毎月同額を支払う場合、所定の年利率 (および元本残高10 万ドルあたりの対応する月々の支払額。償還計算機と、償還支払額、総利息、および WAL に関連する以下の数式を使用して計算) に対して、WAL は次のようになります。

利率	お支払い	合計利息	WAL計算	ウォール
4%	477.42ドル	71,871.20ドル	71,871.20ドル/(100,000ドル×4%)	17.97
8%	733.76ドル	164,153.60ドル	164,153.60ドル/(100,000ドル×8%)	20.52
12%	1,028.61ドル	270,299.60ドル	270,229.60ドル/(100,000ドル×12%)	22.52

金利が上昇すると、元本返済額が徐々に増加するため、WALが増加することに注意してください。WALは元本残高とは無関係ですが、返済額と利息総額は元本に比例します

クーポンが0%で元本が直線的に償却される場合、元本は後払い（期間終了時）となるため、WALは期間の半分と返済期間の半分を足した値になります。したがって、30年0%ローンで毎月返済する場合、WALは年数となります。 ${\displaystyle 15+1/24\approx 15.04}$

合計利息

WAL を使用すると、次のように総利息支払額を簡単に計算できます。

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r\times P,}$

ここで、 rは年利率、Pは当初元本です。

これは直感的に次のように理解できます。「WAL の元本の平均ドルは未払いなので、平均ドルに対する利息は となり、これに元本を掛けて総利息支払額を算出します。」 ${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

証明

より厳密には、次のように結果を導き出すことができます。説明を容易にするために、支払いが毎月であると仮定すると、定期金利は年利率を12で割ったものとなり、時間は（年数は月数で表した期間数を12で割ったもの）となります ${\displaystyle t_{i}=i/12}$

そして：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{WAL}}&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i}\\{\text{WAL}}\times P&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}t_{i}&&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\frac {i}{12}}\\{\text{WAL}}\times P\times r&=\sum _{i=1}^{n}iP_{i}{\frac {r}{12}}&&={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}iP_{i}\end{aligned}}}$

利息総額は

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{i}{\frac {r}{12}}={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}Q_{i},}$

ここで、 は期間iの期首における未払い元本（ i番目の利払いの元本）です。この文は と要約されます。これらの量はどちらも債券の期間加重元本総額であり、単に分割方法が異なるだけです。合計は各ドルの未払い元本がどれだけの期間残っているか（水平にを分割）を数え、 は各時点における未払い元本額（垂直にを分割）を数えます。 ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}iP_{i}=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}$ ${\displaystyle iP_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$

逆算すると、、、などとなります。残りk期間の時点での未払い元金は、次のk回の元金返済額の合計と正確に一致します。最後の（n回目）の元金返済で支払われた元金はn期間すべて未払いとなり、最後から2番目の（（n − 1）回目）の元金返済で支払われた元金はn − 1期間 未払いとなります 。以下同様に続きます。これを用いて、これらの合計額が等しくなるように並べ替えることができます。 ${\displaystyle Q_{n}=P_{n},Q_{n-1}=P_{n}+P_{n-1}}$

例えば、元金が100ドル、80ドル、50ドル（それぞれ20ドル、30ドル、50ドルの返済）と償却される場合、合計は となり、他方では となります。これは、償却スケジュールを元金返済額に分割して示した次の表に示されています。各列は、各行は です。 ${\displaystyle 20+2\cdot 30+3\cdot 50=230}$ ${\displaystyle 100+80+50=230}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle iP_{i}}$

230	100	80	50
1 × 20	20
2 × 30	30	30
3 × 50	50	50	50

償却支払いからWALを計算する

上記は逆の計算も可能です。つまり、（元本、期間、利率）と分割支払額Aが与えられれば、分割支払スケジュールを知らなくても WAL を計算できます。支払総額は、利息支払総額は なので、WAL は次のようになります。 ${\displaystyle An}$ ${\displaystyle An-P}$

${\displaystyle {\text{WAL}}={\frac {An-P}{Pr}}}$

同様に、元本に対する総利息の割合は次のように表されます。 ${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r={\frac {An-P}{P}}}$

注記と参考文献

1. PIMCO用語集
2. ブルームバーグ用語集
3. (ファボッツィ 2000、588–589 ページ)
4. (ファボッツィ 2000、616–617 ページ)
5. (ファボッツィ 2000, p. 805)

• ファボッツィ、フランク・J.（2000）、固定利付証券ハンドブック、ISBN 0-87094-985-3

参照

• 償却計算機
• 償却スケジュール
• ローンの償却

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