2D graphic with logarithmic scales on both axes
y = x （青）、 y = x 2 （緑）、 y = x 3 （赤） の両対数プロット。 各軸の対数目盛りに注目してください。log x 軸とlog y 軸（対数が0）は、 x と y 自体が1となる軸です。 線形スケール (左) または対数スケール (右) を使用してプロットした場合の線形関数、凹関数、凸関数の比較。 科学 技術 において 、 対数対数グラフ または 対数対数プロットは、 横 軸と縦軸の両方に 対数スケール を用いた数値データの2次元グラフです。 対数対数 グラフでは、べき乗関数（ 形式の関係）が直線で表され、指数は傾き、係数は切片に対応します。したがって、これらのグラフはこれらの関係を認識し、 パラメータを推定する のに非常に役立ちます。対数の底は任意ですが、最も一般的には10（常用対数）が底として使用されます。 y = a x k {\displaystyle y=ax^{k}}
単項式との関係 単項 方程式の対数（任意の底）をとると次の式が得られます。 y = a x k , {\displaystyle y=ax^{k},} log y = k log x + log a . {\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}
とを設定する と、 対数対数グラフを使用することになり、次の式が得られる。 X = log x {\displaystyle X=\log x} Y = log y , {\displaystyle Y=\log y,} Y = m X + b {\displaystyle Y=mX+b}
ここで 、m = k は直線の傾き（ 勾配 ）であり、 b = log aは（log y ）軸上の切片であり 、log x = 0を意味するので、対数を逆にすると、 aは x = 1 に対応する y 値です。 [1]
方程式 対数-対数スケール上の直線の方程式は次のようになります。 ここで、 m は傾き、 b は対数プロット上の切片です。 log 10 F ( x ) = m log 10 x + b , {\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,} F ( x ) = x m ⋅ 10 b , {\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},}
対数対数プロットの傾き 比率を使って対数対数プロットの傾きを求める プロットの傾きを求めるには、 x 軸上の2点、例えば x 1 と x 2 を選択します。以下の式を使用します。
と の差を求めること で 傾き m を求めます。 ここで、 F 1は F ( x 1 ) の略語、 F 2は F ( x 2 )の略語です 。右の図は式を示しています。図の例では傾きが 負になっている ことに注意してください。この式は、対数の次の性質からわかるように、負の傾きも示します。 log [ F ( x 1 ) ] = m log ( x 1 ) + b , {\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,} log [ F ( x 2 ) ] = m log ( x 2 ) + b . {\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.} m = log ( F 2 ) − log ( F 1 ) log ( x 2 ) − log ( x 1 ) = log ( F 2 / F 1 ) log ( x 2 / x 1 ) , {\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},} log ( x 1 / x 2 ) = − log ( x 2 / x 1 ) . {\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}
対数対数プロットから関数を見つける ここで上記の手順を逆にして、 （仮定の）既知の log-log プロットを使用して関数 F ( x ) の形を見つけます。関数 F を見つけるには、上記のグラフの直線上のどこかにある 固定点 ( x 0 、 F 0 ) ( F 0は F ( x 0 )の省略形) を選択し 、さらに同じグラフ上の他の 任意の点 ( x 1 、 F 1 ) を選択します。すると上記の傾きの式から次のようになります。 これは
、 10 log 10 ( F 1 ) = F 1 であることに注意してください。したがって、対数を逆転すると次のようになります。 または これは次のことを意味します。 言い換えると、 F は、その log-log グラフの直線の傾きの累乗に 比例 します。具体的には、点 ( x 0 、 F 0 ) と点 ( x 1 、 F 1 )を含む log-log プロット上の直線は 次の関数を持ちます。 もちろん、逆もまた真です。 形式の関数はすべて、 log-log グラフ表現として直線を持ち、その傾きは m です。 m = log ( F 1 / F 0 ) log ( x 1 / x 0 ) {\displaystyle m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}} log ( F 1 / F 0 ) = m log ( x 1 / x 0 ) = log [ ( x 1 / x 0 ) m ] . {\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m}].} F 1 F 0 = ( x 1 x 0 ) m {\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}} F 1 = F 0 x 0 m x m , {\displaystyle F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},} F ( x ) = c o n s t a n t ⋅ x m . {\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.} F ( x ) = F 0 ( x x 0 ) log ( F 1 / F 0 ) log ( x 1 / x 0 ) , {\displaystyle F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},} F ( x ) = c o n s t a n t ⋅ x m {\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}}
対数対数プロットの直線部分の下の面積を求める 両対数プロットの連続した直線部分の面積を計算する（またはほぼ直線の面積を推定する）には、先に定義した関数を 積分します。この関数は定積分（定義された2つの端点）のみを対象としているため、プロットの下の面積Aは次の式で表されます。 F ( x ) = c o n s t a n t ⋅ x m . {\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.} A ( x ) = ∫ x 0 x 1 F ( x ) d x = c o n s t a n t m + 1 ⋅ x m + 1 | x 0 x 1 {\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constant} }{m+1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}}
元の式を整理し、固定小数点の値を代入すると、次の式が得られる。 c o n s t a n t = F 0 x 0 m {\displaystyle \mathrm {constant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}
積分に代入すると、 Aが x 0 から x 1 までの範囲で
A = F 0 / x 0 m m + 1 ⋅ ( x 1 m + 1 − x 0 m + 1 ) log A = log [ F 0 / x 0 m m + 1 ⋅ ( x 1 m + 1 − x 0 m + 1 ) ] = log F 0 m + 1 − log 1 x 0 m + log ( x 1 m + 1 − x 0 m + 1 ) = log F 0 m + 1 + log ( x 1 m + 1 − x 0 m + 1 x 0 m ) = log F 0 m + 1 + log ( x 1 m x 0 m ⋅ x 1 − x 0 m + 1 x 0 m ) {\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}}
したがって、 A = F 0 m + 1 ⋅ [ x 1 ⋅ ( x 1 x 0 ) m − x 0 ] {\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]}
m = −1の場合 、積分は A ( m = − 1 ) = ∫ x 0 x 1 F ( x ) d x = ∫ x 0 x 1 c o n s t a n t x d x = F 0 x 0 − 1 ∫ x 0 x 1 d x x = F 0 ⋅ x 0 ⋅ ln x | x 0 x 1 A ( m = − 1 ) = F 0 ⋅ x 0 ⋅ ln x 1 x 0 {\displaystyle {\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}\,dx={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}}
対数対数線形回帰モデル 対数対数プロットは、（おおよそ） 対数正規分布 、または 対数ロジスティック分布の誤差を持つ対数対数線形回帰モデルを視覚化するためによく用いられます。このようなモデルでは、 従属変数と独立変数を 対数変換した後 、誤差が 等分散となる 単線形回帰 モデルを当てはめることができます 。このモデルは、指数関数的な増加または減少を示すデータを扱う際に有用であり、独立変数が増加するにつれて誤差も増加し続けます（すなわち、 異分散 誤差）。
上述のように、対数線形モデルでは、変数間の関係はべき乗則として表現されます。独立変数が1単位変化するごとに、従属変数は一定の割合で変化します。このモデルは次のように表されます。
y = a ⋅ x b ⋅ e ϵ {\displaystyle y=a\cdot x^{b}\cdot e^{\epsilon }} 両辺の対数を取ると次のようになります。
log ( y ) = log ( a ) + b ⋅ log ( x ) + ϵ {\displaystyle \log(y)=\log(a)+b\cdot \log(x)+\epsilon } これは、 との対数に関する 線形方程式 で 、 は 切片、 は傾きです。ここで 、 、 です 。 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} log ( a ) {\displaystyle \log(a)} b {\displaystyle b} ϵ ∼ Normal ( μ , σ 2 ) {\displaystyle \epsilon \sim {\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})} e ϵ ∼ Log-Normal ( μ , σ 2 ) {\displaystyle e^{\epsilon }\sim {\textrm {Log-Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}
図1: Loglog正規分布データの可視化 図1は、その様子を示しています。10,000個のシミュレーションポイントを用いて生成された2つのプロットを示しています。「対数正規ノイズを伴う凹線」と題された左側のプロットは、観測データ（y）と独立変数（x）の 散布図 を示しています。赤い線は「中央線」、青い線は「平均線」を表しています。このプロットは、凹線で表される変数間のべき乗関係を持つデータセットを示しています。
図1の右側の「正規ノイズを含む対数対数線形線」に示すように、両変数を対数変換すると、関係は線形になります。このプロットは、観測データと独立変数の散布図も表示していますが、両軸が対数スケールになっています。ここでは、平均線と中央値は同じ（赤い）線になっています。この変換により、 単回帰 モデルを当てはめることができます（その後、元のスケール、つまり中央値線に戻すことができます）。
図2: スライディングウィンドウエラーメトリクスLoglog通常データ 図1の左側のプロットから右側のプロットへの変換は、対数変換がデータ内のノイズ分布に与える影響も示しています。左側のプロットでは、ノイズは 対数正規分布 に従っているように見えますが、これは右に偏っており、扱いが難しい場合があります。右側のプロットでは、対数変換後、ノイズは 正規分布 に従っているように見えますが、これはより推論しやすく、モデル化しやすい分布です。
このノイズの正規化は図2でさらに分析されています。図2は、x軸にサイズ28のスライディングウィンドウを用いて計算された3つの誤差指標（平均絶対誤差 - MAE、二乗平均平方根誤差 - RMSE、平均絶対対数誤差 - MALE）の折れ線グラフを示しています。y軸は独立変数（x）に対する誤差を示しています。各誤差指標は異なる色で表され、対応する平滑化線が元の線の上に重ねられています（これはシミュレーションデータであるため、誤差推定には多少のばらつきがあります）。これらの誤差指標は、異なるx値におけるノイズの変化の尺度となります。
対数線形モデルは、経済学、生物学、物理学など、多くの現象がべき乗則に従う様々な分野で広く用いられています。また、 対数変換によって分散を安定化できるため、不均一な分散を持つデータを扱う 回帰分析にも有用です。
アプリケーション 両軸に沿って1桁以上にわたる情報を凝縮した対数対数プロット これらのグラフは、パラメータ a と bを 数値データから推定する必要がある場合に役立ちます。このような仕様は 経済学 で頻繁に使用されます。
一例として、在庫理論 に基づく 貨幣需要 関数の推定が挙げられます 。この推定では、時刻 t における貨幣需要は次のように表されます。 ここで、 M は国民が保有する 貨幣 の実質量、 R は 貨幣を超える高収益の代替資産の 収益率、 Y は国民の 実質所得 、 Uは 対数正規分布する と仮定した誤差項 、 A は 推定する 尺度パラメータ、 b および c は推定する 弾力性 パラメータです。対数を取ると次の式が得られます。 ここで 、m = log M 、 a = log A 、 r = log R 、 y = log Y 、 u = log U で、 uは 正規分布し ます。この式は 、通常の最小二乗法 を使用して推定できます 。 M t = A R t b Y t c U t , {\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},} m t = a + b r t + c y t + u t , {\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},}
もう1つの経済の例は、企業の コブ・ダグラス生産関数 の推定です。これは、方程式の右辺にあたり、 Q が 1か月あたりに生産できる生産量、 N が1か月あたりに生産に従事する労働時間数、 K が 1か月あたりに利用される物的資本時間数、 U が 対数正規分布に従うと仮定される誤差項、 A 、、 および が推定されるパラメータである場合に該当します。対数を取ると、 q = log Q 、 a = log A 、 n = log N 、 k = log K 、および u = log U と
なる 線形回帰方程式が得られます 。 Q t = A N t α K t β U t , {\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } q t = a + α n t + β k t + u t {\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}}
対数-対数回帰は、自然に発生するフラクタル の フラクタル次元 を推定するためにも使用できます 。
しかし、逆の方向、つまりデータが対数対数スケール上の近似線として現れることを観察し、データがべき乗法則に従っていると結論付けることは、必ずしも有効ではありません。 [2]
実際、他の多くの関数形式はlog-logスケール上でほぼ線形に見え、 線形回帰 の 適合度を 決定係数 （ R 2 ）を用いて単純に評価するのは 、線形回帰モデルの仮定、例えばガウス誤差が満たされない可能性があるため無効である可能性がある。さらに、log-log形式の適合度検定は、他の真の関数形式が存在する場合にべき乗則を棄却する可能性が低い可能性があるため、 統計的検出力 が低い可能性がある。単純なlog-logプロットはべき乗則の可能性を検出するのに有益であり、 1890年代の パレートの法則 にまで遡って使用されてきたが、べき乗則としての検証にはより高度な統計が必要である。 [2]
これらのグラフは、制御変数を指数関数的に変化させてデータを収集する場合にも非常に有用です。この場合、制御変数 x は対数スケールでより自然に表現され、データポイントは下限で圧縮されるのではなく、均等に配置されます。出力変数 y は 、線形で表現して 線形対数グラフ (log x , y ) を作成することも、対数をとって対数対数グラフ (log x , log y )を作成することもできます 。
ボード線図 （ システムの 周波数応答 の グラフ）も対数対数プロットです。
化学反応速度論 では、 反応速度 の濃度への依存性の一般的な形は べき乗法則（ 質量作用の法則 ）の形をとるため、対数対数プロットは実験から反応パラメータを推定するのに役立ちます。
参照
参考文献 ^ Bourne, Murray. 「7. Log-Log と Semi-log グラフ」 www.intmath.com . 2024年10月15日 閲覧 。 ^ ab Clauset, A.; Shalizi, CR; Newman, MEJ (2009). 「経験的データにおけるべき乗分布」. SIAM Review . 51 (4): 661– 703. arXiv : 0706.1062 . Bibcode :2009SIAMR..51..661C. doi :10.1137/070710111. S2CID 9155618. 
![{\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/101f509699bb7b0432c8b7ae8e649f2d126a9be7)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a55440349deae992d2cc9398d2f3b14bf9523e)
![{\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/582452004485967906e01ba42767872b8f1a3766)
