微分形式

Expression that may be integrated over a region

数学において、微分形式は曲線、曲面、体積、そして高次元多様体上の積分関数を定義するための統一的なアプローチを提供します。微分形式という現代的な概念は、エリー・カルタンによって開拓されました。それは多くの応用があり、特に幾何学、位相幾何学、物理学において広く用いられています。

例えば、式 は1 -形式の例であり、の定義域に含まれる区間にわたって積分できます。同様に、式 は2 -形式であり、面にわたって積分できます。記号 は、2 つの微分形式の外積（ウェッジ積とも呼ばれる）を表します。同様に、3 -形式は、空間領域にわたって積分できる体積要素を表します。一般に、 -形式 は、 -次元多様体にわたって積分できるオブジェクトであり、座標微分 において次同次です。 -次元多様体 では、トップ次元形式 ( -形式) は体積形式と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x)\,dx}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$ $${\displaystyle f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \int _{S}\left(f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz\right).}$$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle f(x,y,z)\,dx\wedge dy\wedge dz}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle dx,dy,\ldots .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

微分形式は交代代数を形成する。これは、かつ を意味する。この交代性は積分領域の 方向性を反映している。 ${\displaystyle dy\wedge dx=-dx\wedge dy}$ ${\displaystyle dx\wedge dx=0.}$

外微分は微分形式上の演算であり、-形式が与えられたときに-形式を生成します。この演算は関数の微分を拡張します（関数は -形式と見なすことができ、その微分は です）。これにより、微積分学の基本定理、発散定理、グリーンの定理、およびストークスの定理を、単一の一般的な結果である一般化ストークスの定理の特殊なケースとして表現することができます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle d\varphi .}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$

微分-形式は、微分可能多様体上のベクトル場と自然に双対であり、ベクトル場と -形式の関係は、内積によって任意の微分形式に拡張されます。微分形式の代数とその上で定義された外微分は、 2つの多様体間の滑らかな関数の下での引き戻しによって保存されます。この特徴により、幾何学的に不変な情報が微分形式で表現されている限り、引き戻しによってある空間から別の空間に移動することが可能になります。例えば、積分の変数変換式は、引き戻しの下で積分が保存されるという単純な記述になります。 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$

歴史

微分形式は微分幾何学の分野の一部であり、線型代数の影響を受けています。微分の概念自体はかなり古いものですが、微分形式の代数的体系化への最初の試みは、 1899年の論文^[1]を参照しながら、エリー・カルタンによるものとされています。微分形式の外積代数のいくつかの側面は、ヘルマン・グラスマンの1844年の著書『線型拡大理論、数学の新分野』に見られます。

コンセプト

微分形式は、座標に依存しない多変数微積分へのアプローチを提供します。

統合と方向性

微分k形式は、 k次元の有向多様体上で積分できます。微分1形式は、無限小の有向長さ、つまり1次元の有向密度を測定するものと考えることができます。微分2形式は、無限小の有向面積、つまり2次元の有向密度を測定するものと考えることができます。その他も同様です。

微分形式の積分は、向きのある 多様体上でのみ明確に定義されます。 1 次元多様体の例としては、区間[ a , b ]が挙げられます。区間には向きを指定できます。つまり、 a < bであれば正の向き、そうでない場合は負の向きになります。a < bの場合、区間[ a , b ]での微分1形式f ( x ) dxの積分(自然な正の向き) は次のようになります。これは、同じ区間での同じ微分形式の積分の、反対の向きでの負の値です。つまり、次のようになります。 これは、区間の向きが反転すると符号が変わるという、1 次元積分の慣例に幾何学的な背景を与えます。 1 変数積分理論におけるこの標準的な説明は、積分の極限が逆の順序 ( b < a ) の場合、増分dxは積分の方向で負になる、というものです。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ $${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

より一般的には、m形式は、 m次元の向き付けられた多様体上で積分できる向き付けられた密度です。(例えば、1形式は向き付けられた曲線上で積分でき、2形式は向き付けられた面上で積分できます。) Mが向き付けられたm次元多様体で、M ′が向きが反対の同じ多様体で、ωがm形式である場合、次の式が成り立ちます。これらの規則は、積分対象を微分形式として解釈し、連鎖上で積分されることに対応しています。対照的に、測度論では、積分対象を測度μに関する関数fとして解釈し、向きの概念を持たずにサブセットA上で積分します。つまり、サブセットA上での積分を示すために と書きます。これは 1 次元では小さな違いですが、高次元の多様体ではより微妙になります。詳細については以下を参照してください。 $${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$$ ${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

有向密度の概念を明確にし、したがって微分形式の概念を明確にするには、外積代数を使用する必要があります。座標の集合dx ¹、...、dx ⁿの微分は、すべての1形式の基底として使用できます。これらの各微分は、多様体上の各点における共ベクトルを表し、対応する座標方向の小さな変位を測定していると考えることができます。一般的な1形式は、多様体上のすべての点におけるこれらの微分の線形結合です。ここで、f _k = f _k ( x ¹、...、x ⁿ )はすべての座標の関数です。微分1形式は、有向曲線に沿って線積分として積分されます。 $${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$$

dx ⁱ ∧ dx ^j（ただしi < j ）は、多様体上のあらゆる点において、すべての2 -形式に対する基底として用いることができます。これは、 x ⁱ – x ^{j -}平面に平行な無限小の有向正方形と考えることができます。一般的な2 -形式は、多様体上のあらゆる点におけるこれらの線形結合であり、面積分と同様に積分されます。 ${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$

微分形式上で定義される基本的な演算は外積（記号はくさび ∧）である。これはベクトル解析の外積と似ており、交代積である。例えば、 $${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$$

なぜなら、第 1 辺がdx ¹で第 2 辺がdx ²である正方形は、第 1 辺がdx ²で第 2 辺がdx ¹である正方形とは向きが逆であるとみなされるからです。 このため、i < jである式dx ⁱ ∧ dx ^jについてのみ合計すればよいことになります。たとえば、a ( dx ⁱ ∧ dx ^j ) + b ( dx ^j ∧ dx ⁱ ) = ( a − b ) dx ⁱ ∧ dx ^jです。外積により、低次微分形式から高次微分形式を構築できます。これは、ベクトル計算の外積により、 2 辺を指すベクトルから平行四辺形の面積ベクトルを計算できるのとほぼ同じです。交代はdx ⁱ ∧ dx ⁱ = 0も意味します。これは、平行ベクトルの外積（その大きさはそれらのベクトルが張る平行四辺形の面積）がゼロであるのと同じです。高次元では、添字i ₁ , ..., i _mのいずれか2つが等しい場合、 dx ^{i ₁} ∧ ⋅⋅⋅ ∧ dx ^{i _m} = 0となります。これは、辺ベクトルが線形従属する平行四辺形に囲まれた「体積」がゼロであるのと同じです。

マルチインデックス表記

基本 -形式のウェッジ積の一般的な表記法は、いわゆるマルチインデックス表記法です。-次元のコンテキストで、 について、を定義します。^[2]もう1つの便利な表記法は、 と表記される次元 の空間で、長さ のすべての厳密に増加するマルチインデックスの集合を定義することによって得られます。すると、上の滑らかな関数の環上のモジュールとして見た場合、局所的に(座標が適用される場合)、 は次元 の多様体内の微分 -形式の空間を張ります。 のサイズを組合せ論的に計算することにより、 -次元多様体上の -形式のモジュール、および一般に-次元ベクトル空間上の -共ベクトルの空間では、次のように選択されます。 これ はまた、基礎となる多様体の次元よりも大きい次数の非ゼロ微分形式が存在しないことも示しています。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$ ${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ ${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$

外微分

外積に加えて、外微分演算子も存在します。微分形式の外微分は、関数 の微分を一般化したもの、つまり の外微分が の微分と全く同じであるという意味です。より高次の形式に一般化した場合、 が単純-形式であれば、その外微分は係数関数の微分をとることによって定義される -形式となります。また、線形性によって一般のk -形式 に拡張されます。 であれば、その外微分は ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)=\Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =f{\text{d}}x^{I}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle (k+1)}$ $${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$$ ${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$ $${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$$

では、ホッジスター演算子により、外微分 は勾配、回転、発散に対応しますが、この対応は外積と同様に高次元には一般化されないため、注意して扱う必要があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

外微分自体は任意の有限次元に適用され、微分幾何学、微分位相幾何学、物理学の多くの分野で幅広く応用されている柔軟かつ強力なツールです。なお、上記の外微分の定義は局所座標に関して定義されていますが、微分形式の外積分代数上の次数 1 の反微分として、完全に座標に依存しない方法で定義することもできます。このより一般的なアプローチの利点は、多様体上で積分するための自然な座標に依存しないアプローチが可能になることです。また、これは、多様体上の積分理論の中心的な結果である(一般化)ストークスの定理と呼ばれる微積分学の基本定理の自然な一般化も可能にします。

微分積分

U をR ⁿの開集合とする。微分0形式（「零形式」）は、U上の滑らかな関数fとして定義され、その集合はC ^∞ ( U )と表記される。v が R n の任意のベクトルである場合、^fは方向微分∂ v f_を持つ。これはU上の別の関数であり、点p ∈ Uにおける値は（ pにおける）v方向のfの変化率となる。 （この概念は、定義において点pでv を評価することにより、 vがU上のベクトル場である場合にも点ごとに拡張できる。） $${\displaystyle (\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$$

特に、v = e _jがj番目の座標ベクトルである場合、∂ _v fはj番目の座標ベクトルに関するfの偏微分、すなわち∂ f / ∂ x ^j （ x ¹、x ²、 ...、x ⁿはUの座標ベクトル）である。定義上、偏微分は座標の選択に依存する。新しい座標y ¹、y ²、 ...、y ⁿが導入された場合、 $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$$

微分形式につながる最初のアイデアは、 ∂ _v f ( p )がvの線形関数であるという観察です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}}$$

任意のベクトルv、w 、および任意の実数cに対して、 R ⁿからRへのこの線型写像はdf p_と表記され、 pにおけるfの導関数または微分と呼ばれます。したがって、df _p ( v ) = ∂ _v f ( p )です。セット全体に拡張すると、オブジェクトdfは、 U上のベクトル場を取り、各点での値が関数fのベクトル場に沿った導関数である実数値関数を返す関数と見ることができます。各pにおいて、微分df _{p は}実数ではなく、接ベクトル上の線型関数であり、微分1形式の典型的な例であることに注意してください。

任意のベクトルvはその成分の線型結合 Σ v ^j e _jなので、df は各jと各p ∈ Uに対してdf _p ( e _j )によって一意に決定されます。これらはfのU上の偏微分に過ぎません。したがって、df はfの偏微分を符号化する方法を提供します。これは^、座標x ¹、x ²、 ... 、x ^{n が}それ自体U上の関数であることに気づけば復号化でき、微分1形式dx ¹、dx ²、 ... 、dx ⁿを定義します。f = x ⁱとします。∂ x i / ∂ x ^j = δ _ij、つまりクロネッカーのデルタ関数なので、

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$

*

この式の意味は、任意の点pにおける両辺の評価によって明らかになります。右辺では、和は「点ごとに」定義されるため、両辺をe _jに適用すると、各辺の結果はpにおけるfのj次偏微分となります。pとjは任意であるため、これは式(*)を証明します。 $${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$$

より一般的には、 U上の任意の滑らかな関数g _iとh _iに対して、各p ∈ Uについて、微分1形式α = Σ _i g _i dh _iを点ごとに 定義します。任意の微分1形式はこのようにして生じ、 (*)を用いることで、U上の任意の微分1形式α は、U上の何らかの滑らかな関数f _iに対して、座標系で表現できることが分かります。 $${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$$ $${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$$

微分形式につながる2つ目のアイデアは、次の疑問から生まれます。U上の微分1形式αが与えられたとき、 α = dfとなるようなU上の関数f はどのような場合に存在するのでしょうか。上記の展開により、この疑問は、関数f _iが与えられたときに偏導関数∂ f / ∂ x ⁱがnに等しい関数fの探索へと簡約されます。n > 1の場合、そのような関数は常に存在するわけではありません。滑らかな関数fはを満たす ため、すべてのiとjに対してでない限り 、そのようなfを見つけることは不可能です。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$$

iとjの左辺が歪対称であることから、微分1形式に反対称積∧ 、つまり外積を導入することが示唆されます。これにより、これらの方程式を 1 つの条件に組み合わせることができ 、 ∧は次の ように定義されます。 $${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$$ $${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$$

これは微分2形式の一例である。この2形式はα = ∑の外微分 dαと呼ばれる。ⁿ
_{j =1} f _j dx ^j。これは次のように与えられる。 $${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$$

要約すると、dα = 0は、 α = dfとなる関数fが存在するための必要条件です。

微分0形式、1形式、および2形式は、微分形式の特殊なケースです。各kに対して、微分k形式の空間が存在し、これは関数f _{i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i k}の集合に対する座標を用いて表現できます 。2形式で既に存在していた反対称性により、 i ₁ < i ₂ < ... < i _{k −1} < i _kとなる添字の集合にのみ和を制限できます。 $${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$$

微分形式は外積を使って掛け合わせることができ、任意の微分k形式αに対して、 αの外微分と呼ばれる微分( k + 1)形式dαが存在します。

微分形式、外積、外微分は座標の選択に依存しません。したがって、これらは任意の滑らかな多様体 M上で定義できます。これを行う一つの方法は、M を座標チャートで覆い、各チャート上の重なりが一致する微分k形式の族としてM上の微分k形式を定義することです。しかし、座標の独立性を明らかにする、より本質的な定義も存在します。

本質的な定義

を滑らかな多様体とする。次数の滑らかな微分形式は、の余接束の 番目の外冪の滑らかな切断である。多様体上のすべての微分形式の集合はベクトル空間であり、しばしば と表記される。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$

微分形式の定義は次のように言い換えられる。任意の点 において、-形式はにおけるへの接空間でありはその双対空間である元 を定義する。この空間は、の接束の番目の外冪の双対束の におけるファイバーに自然に同型である^{[3] [説明が必要]}。つまり、は線型汎関数でもある。つまり、 番目の外冪の双対は、双対の 番目の外冪に同型である。 ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle \beta _{p}\in {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M,}$$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{p}^{*}(M)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\textstyle \beta _{p}\colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}^{*}M\cong {\Big (}{\textstyle \bigwedge }^{k}T_{p}M{\Big )}^{*}}$$

外冪の普遍的性質により、これは交代 多重線型写像と同値である。したがって、微分-形式は、の同じ点への任意の -組の接ベクトルに対して評価することができる。例えば、微分 -形式は、各点に 上の線型汎関数を割り当てる。上のリーマン計量によって誘導される上の内積が存在する場合、 は接ベクトルとの内積として表すことができる。微分 -形式は、特に物理学においては、共変ベクトル場、共ベクトル場、または「双対ベクトル場」と呼ばれることがある。 $${\displaystyle \beta _{p}\colon \bigoplus _{n=1}^{k}T_{p}M\to \mathbf {R} .}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle 1}$

外積代数は、交代写像によってテンソル代数に埋め込むことができる。交代写像は 、点 におけるテンソル に対する写像として定義される。ここで は元上の対称群である。交代写像は、対称2次元形式によって生成されるテンソル代数におけるイデアルの剰余類上で定数であり、したがって、埋め込み写像へと降下する。 $${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\bigotimes }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \operatorname {Alt} (\tau _{p})(x_{1},\dots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\tau _{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)}),}$$ ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \operatorname {Alt} \colon {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M\to {\bigotimes }^{k}T^{*}M.}$$

この写像は階数 の完全反対称共変テンソル場として現れる。 上の微分形式はこのようなテンソル場と一対一に対応する。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

オペレーション

ベクトル空間構造から生じるスカラー演算による加算と乗算に加えて、微分形式には他にもいくつかの標準的な演算が定義されています。最も重要な演算は、2つの微分形式の外積、単一の微分形式の外微分、微分形式とベクトル場の内積、微分形式のベクトル場に関するリー微分、そして定義された接続を持つ多様体上のベクトル場に関する微分形式の共変微分です。

外装製品

-形式と-形式の外積はと表記され、 -形式である。多様体 の各点において、形式と はにおける余接空間の外冪 の要素である。外積代数をテンソル代数の商と見なすと、外積はテンソル積に対応する（外積代数を定義する同値関係を法として）。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$ ${\displaystyle (k+\ell )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle p}$

外積代数に内在する反対称性は、を多重線型関数と見なすと、交代的であることを意味します。しかし、外積代数が交代写像によってテンソル代数の部分空間として埋め込まれると、テンソル積は交代的ではありません。この状況で外積を記述する明示的な式があります。外積は です。を ではなく写像によって に埋め込むと、外積は です。この記述は明示的な計算に役立ちます。たとえば、 の場合、は -形式であり、その点における値はに対してによって定義される交代双線型形式です。 ${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$ ${\displaystyle \alpha \otimes \beta }$ $${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M}$ ${\displaystyle {\bigotimes }^{n}T^{*}M}$ ${\displaystyle n!\operatorname {Alt} }$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} }$ $${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$$ ${\displaystyle k=\ell =1}$ ${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$$ ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$

外積は双線型である。すなわち、、が任意の微分形式であり、が任意の滑らかな関数であるとき、 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$$ $${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$$

これは、歪んだ可換性（次数可換性とも呼ばれる）であり、つまり、形式の次数に依存する反可換性の変種を満たす。が -形式で が-形式である場合、次数付きライプニッツ規則も成り立つ。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \ell }$ $${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$$ $${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$$

リーマン多様体

リーマン多様体、あるいはより一般的には擬リーマン多様体において、計量は接線束と余接束のファイバー単位の同型性を定義する。これにより、ベクトル場を余ベクトル場へ、あるいはその逆の変換が可能になる。また、ホッジスター作用素 や、次数−1で外微分dに随伴する余微分といった追加の演算の定義も可能になる。 ${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$ ${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$

ベクトル場構造

擬リーマン多様体では、1形式はベクトル場と同一視できます。ベクトル場には追加の異なる代数構造があり、ここでは文脈上および混乱を避けるためにリストされています。

まず、各（余）接空間はクリフォード代数を生成する。この代数では、（余）ベクトルとそれ自身の積は二次形式（この場合は計量によって誘導される自然形式）の値で与えられる。この代数は、微分形式の外積代数とは異なる。外積代数は、二次形式がゼロとなるクリフォード代数と見なすことができる（任意のベクトルとそれ自身の外積はゼロであるため）。したがって、クリフォード代数は外積代数の非反可換（「量子」）変形である。これらは幾何代数で研究される。

もう一つの選択肢は、ベクトル場を微分として考えることです。微分作用素の（非可換な）代数はワイル代数であり、ベクトル場における対称代数の非可換な（「量子的な」）変形です。

外部差動複合体

外微分に関する重要な性質の一つは である。これは外微分が共鎖複素を定義することを意味する。 ${\displaystyle d^{2}=0}$ $${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$$

この複体はド・ラーム複体と呼ばれ、そのコホモロジーは定義により のド・ラームコホモロジーです。ポアンカレの補題により、ド・ラーム複体はを除いて局所的に正確です。 における核は上の局所定数関数の空間です。したがって、複体は定数層 の分解であり、これはド・ラームの定理の一種を意味します。つまり、ド・ラームコホモロジーはの層コホモロジーを計算します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$

引き戻し

f  : M → Nが滑らかであるとする。 fの微分はMとNの接束の間の滑らかな写像df  : TM → TNである。この写像はf _∗とも表記され、プッシュフォワードと呼ばれる。任意の点p ∈ Mと任意の接ベクトルv ∈ T _p Mに対して、 T _{f ( p )} Nには明確に定義されたプッシュフォワードベクトルf _∗ ( v )が存在する。しかし、ベクトル場の場合は同じことが当てはまらない。fが単射でない場合、たとえばq ∈ Nに2つ以上の逆像がある場合、ベクトル場はT _q Nの2つ以上の異なるベクトルを決定する可能性がある。fが射影でない場合、 f _{∗ が}接ベクトルをまったく決定しない点q ∈ Nが存在することになる。 N上のベクトル場は定義によりNのあらゆる点で一意の接線ベクトルを決定するため、ベクトル場の押し出しは常に存在するわけではありません。

対照的に、微分形式をプルバックすることは常に可能である。N上の微分形式は、各接空間上の線型関数と見ることができる。この関数を微分df  : TM → TNと前置すると、 Mの各接空間上の線型関数が定義され、したがってM上の微分形式が定義される。プルバックの存在は、微分形式理論の重要な特徴の一つである。これは、ド・ラーム・コホモロジーにおけるプルバック準同型など、他の状況におけるプルバック写像の存在につながる。

形式的には、f  : M → Nを滑らかとし、ω をN上の滑らかなk形式とする。すると、 M上にはωの引き戻しと呼ばれる微分形式f ^∗ ωが存在し、これはfに対するωの挙動を捉える。引き戻しを定義するには、Mの点pと、 pにおけるMの接線ベクトルv ₁ , ..., v _{k を}固定する。 ωの引き戻しは次式で定義される。 $${\displaystyle (f^{*}\omega )_{p}(v_{1},\ldots ,v_{k})=\omega _{f(p)}(f_{*}v_{1},\ldots ,f_{*}v_{k}).}$$

この定義をより抽象的に捉える方法はいくつかある。ω が N 上の 1 -形式ならば、NのコタンジェントバンドルT ∗ ^Nの切断と見ることができる。^{∗を用いて双対写像を表すと、} fの微分への双対は( df ) ^∗  : T ^∗ N → T ^∗ Mとなる。ω の引き戻しは合成写像と定義できる。 これはMのコタンジェントバンドルの切断であり、したがってM上の微分1 -形式である。一般論として、微分への双対写像のk番目の外冪をとすると、 k -形式ωの引き戻しは合成写像となる。 $${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ T^{*}N\ {\stackrel {(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ T^{*}M.}$$ ${\textstyle \bigwedge ^{k}(df)^{*}}$ $${\displaystyle M\ {\stackrel {f}{\to }}\ N\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}N\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}(df)^{*}}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}T^{*}M.}$$

プルバックを抽象的に捉える別の方法は、k形式ω を接空間上の線型関数と見なすことである。この観点から、ωはベクトル束の射であり、ここでN × RはN上の自明なランク1束である。合成写像はMの各接空間上に線型関数を定義するため、自明な束M × Rを通して因数分解される。このように定義されたベクトル束の射はf ^∗ ωである。 $${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} ,}$$ $${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\ {\stackrel {{\bigwedge }^{k}df}{\longrightarrow }}\ {\textstyle \bigwedge }^{k}TN\ {\stackrel {\omega }{\to }}\ N\times \mathbf {R} }$$ ${\textstyle {\textstyle \bigwedge }^{k}TM\to M\times \mathbf {R} }$

プルバックは形式上のすべての基本演算を順守する。ωとηが形式でcが実数ならば、 $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{*}(c\omega )&=c(f^{*}\omega ),\\f^{*}(\omega +\eta )&=f^{*}\omega +f^{*}\eta ,\\f^{*}(\omega \wedge \eta )&=f^{*}\omega \wedge f^{*}\eta ,\\f^{*}(d\omega )&=d(f^{*}\omega ).\end{aligned}}}$$

形の引き戻しは座標系でも表すことができます。x ¹ , ..., x ^mがM上の座標、y ¹ , ..., y ⁿがN上の座標であり、これらの座標系はすべてのiに対してy ⁱ = f _i ( x ¹ , ..., x ^m )という式で結ばれているものとします。 N上の局所的に、ω は次のように表すことができます 。ここで、 i ₁ , ..., i _k , ωの各選択に対して、_{i 1 ⋅⋅⋅ i k}はy ¹ , ..., y ⁿの実数値関数です。引き戻しの線形性と外積との整合性を用いると、ωの引き戻しは次の式で表されます。 $${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\,dy^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dy^{i_{k}},}$$ $${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f)\,df_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge df_{i_{k}}.}$$

各外微分df _{i は}dx ¹ , ..., dx ^mを用いて展開できる。結果として得られるk形式はヤコビ行列を用いて次のように表される。 $${\displaystyle f^{*}\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}\sum _{j_{1}<\cdots <j_{k}}(\omega _{i_{1}\cdots i_{k}}\circ f){\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}\,dx^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{j_{k}}.}$$

ここで、 は、、を要素とする行列の行列式を表します。 ${\textstyle {\frac {\partial (f_{i_{1}},\ldots ,f_{i_{k}})}{\partial (x^{j_{1}},\ldots ,x^{j_{k}})}}}$ ${\textstyle {\frac {\partial f_{i_{m}}}{\partial x^{j_{n}}}}}$ ${\displaystyle 1\leq m,n\leq k}$

統合

微分k形式は、向き付けられたk次元多様体上で積分できます。k形式がn > kとなるn次元多様体上で定義されている場合、k形式は向き付けられたk次元部分多様体上で積分できます。k = 0の場合、向き付けられた 0 次元部分多様体上の積分は、点の向きに従って、その点で評価された積分関数の合計になります。k = 1、2、3、...の他の値は、線積分、面積分、体積積分などに対応します。微分形式の積分を正式に定義する同等な方法はいくつかありますが、いずれもユークリッド空間の場合に簡約することに依存しています。

ユークリッド空間上の積分

を の開部分集合とする。その標準的な向きとその向きの制限を与える。上のすべての滑らかな-形式は、何らかの滑らかな関数 の形式を持つ。そのような関数は、通常のリーマンまたはルベーグの意味で積分を持つ。これにより、 の積分を の積分と定義することができる。これを適切に定義するには、向きを固定することが必要である。微分形式の歪対称性は、例えば の積分が の積分の負でなければならないことを意味する。リーマン積分とルベーグ積分では、座標の順序へのこの依存性を見ることができないため、積分の符号は未定のままになる。向きによりこの曖昧さは解決される。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$$ ${\displaystyle {\text{d}}x^{1}\wedge {\text{d}}x^{2}}$ ${\displaystyle {\text{d}}x^{2}\wedge {\text{d}}x^{1}}$

チェーンを介した統合

M をn多様体、ω をM上のn形式とします。まず、ユークリッド空間の開部分集合によるMの媒介変数化があると仮定します。つまり、 D ⊆ R ⁿとなる微分同相写像が存在すると仮定します。φによって誘導される向きをMに与えます。次に (Rudin 1976) は、 ωのM上の積分をφ ^∗ ωのD上の積分と定義します。座標では、これは次の式になります。 R ^IへのMの埋め込みを座標x ¹ , ..., x ^Iに固定します。次にφ が次のように定義されていると仮定します。この積分は座標では次のように表すことができます 。ここで はヤコビ行列式の行列式です。 φ は微分可能なので、ヤコビ行列式は存在します。 $${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$$ $${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$$ $${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).}$$ $${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$$

一般に、n多様体はR ⁿの開部分集合で媒介変数をつけることはできない。しかし、局所的には常にそのような媒介変数をつけることが可能であるため、任意の多様体上の積分を、局所媒介変数の集合上の積分の和として定義することによって定義することができる。さらに、k < nに対してk次元部分集合の媒介変数をつけることも可能であり、これによってk形式の積分を定義することが可能となる。これを正確にするために、 R ^k内の標準領域D (通常は立方体または単体) を固定すると便利である。k連鎖は滑らかな埋め込みD → Mの形式的な和である。つまり、滑らかな埋め込みの集合であり、各埋め込みには整数重複度が割り当てられている。各滑らかな埋め込みによって、Mのk次元部分多様体が決定される。連鎖が である場合、 k形式ωのc上の積分は、cの項上の積分の和として定義される。 $${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$$ $${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$$

この積分定義のアプローチは、多様体M全体にわたる積分に直接的な意味を与えるものではない。しかしながら、あらゆる滑らかな多様体は本質的に唯一の方法で滑らかな三角分割が可能であり、 M上の積分は三角分割によって決定される鎖上の積分として定義できるため、間接的にそのような意味を与えることは依然として可能である。

単位分割を用いた積分

(Dieudonné 1972) で解説されているように、 上の積分に意味を直接割り当てる別のアプローチがありますが、このアプローチでは の向きを固定する必要があります。次元多様体上の-形式の積分は、チャートでの作業によって定義されます。まず が単一の正の向きのチャート上でサポートされていると仮定します。このチャート上で、 はの開部分集合上の -形式に引き戻される場合があります。ここで、形式は前と同じように明確に定義されたリーマン積分またはルベーグ積分を持ちます。変数変換の公式と、チャートが正の向きであるという仮定により、 の積分は選択したチャートに依存しないことが保証されます。一般的なケースでは、 の分割を使用して を、それぞれが単一の正の向きのチャートでサポートされている -形式の和として書き、 の積分をの分割の各項の積分の和として定義します。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$

このより本質的なアプローチを用いることで、向き付けられた - 次元部分多様体上の - 形式を積分することも可能です。形式は部分多様体へと引き戻され、そこで積分は前述のチャートを用いて定義されます。例えば、パス が与えられた場合、パス上の - 形式の積分は、単に形式を上の形式へと引き戻すことであり、この積分は区間 上の関数 の積分となります。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \gamma (t):[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(t){\text{d}}t}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(t)}$

繊維に沿った積分

フビニの定理は、積である集合上の積分は、積の2つの因数上の反復積分として計算できると述べています。これは、微分形式の積上の積分も反復積分として計算できるはずであることを示唆しています。微分形式の幾何学的柔軟性により、これは積だけでなく、より一般的な状況でも可能であることが保証されます。いくつかの仮説の下では、滑らかな写像の繊維に沿って積分することが可能であり、フビニの定理の類似例は、この写像が積からその因数の1つへの射影である場合です。

微分形式を部分多様体上で積分するには向きを固定する必要があるため、ファイバーに沿った積分の前提条件は、それらのファイバー上に明確に定義された向きが存在することです。MとN を、それぞれ純粋な次元mとnの2つの向き付け可能な多様体とします。 f  : M → Nが射影的沈み込みであるとします。これは、各ファイバーf ⁻¹ ( y )が( m − n )次元であり、 Mの各点の周囲に、 f が積からその因数の1つへの射影のように見えるチャートがあることを意味します。 x ∈ Mを固定し、y = f ( x )と設定します。 であり、 η y がゼロではないと仮定します。( _Dieudonné 1972) に従って、 ω _xのη _yに関するファイブラル部分と考えられる唯一の が存在します。より正確には、j  : f ⁻¹ ( y ) → Mを包含として定義します。するとσ _{x は}、 任意の( m − n )共ベクトルが 成り立つという性質によって定義されます。σ x の形式はω _x / η _yと表記_することもできます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\[2pt]\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$$ $${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$$ $${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$$

さらに、y を固定した場合、σ _{x は}xについて滑らかに変化します。つまり、 が射影マップの滑らかなセクションであると仮定し、ω がf ⁻¹ ( y )に沿ったM上の滑らかな微分m形式であるということになります。すると、各x ∈ f ^{−1 ( y ) において、 f −1} ( y )上^に滑らかな微分( m − n )形式σが存在し、 この形式はω / η _yと表記されます。 ω がファイバーの近傍のm形式である場合にも同じ構成が機能し、同じ表記法が使用されます。結果として、各ファイバーf ⁻¹ ( y )は向き付け可能です。特に、MおよびN上の向き付け形式を選択すると、 fのすべてのファイバーの向きが定義されます。 $${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$$

フビニの定理の類似物は以下の通りである。前述と同様に、MとN はそれぞれmとnの純次元の向き付け可能な2つの多様体であり、f  : M → Nは射影的沈み込みである。MとNの向きを固定し、fの各ファイバーに誘導された向きを与える。ω をM上のm形式とし、η をN上のn形式とし、この形式はNの向きに関してほぼどこでも正であるとする。すると、ほぼすべてのy ∈ Nに対して、形式ω / η _yはf ⁻¹ ( y )上の明確に定義された積分可能なm − n形式となる。さらに、 N上には次のように定義される積分可能なn形式が存在する。この形式を 次のように表記する。すると、(Dieudonné 1972) は一般化されたフビニの公式を証明している。 $${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.}$$ $${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$$ $${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$$

沈み込みのファイバーに沿って他の次数の形式を積分することもできます。前と同じ仮定を仮定し、α をM上のコンパクトに支えられた( m − n + k )形式とします。すると、 fのファイバーに沿ってα を積分した結果として、N上にk形式γがあります。形式αは、各y ∈ Nにおいて、γ がyにおける各kベクトルvとどのようにペアになるかを指定することによって定義され、そのペアの値はα、v 、およびMとNの向きのみに依存するf ⁻¹ ( y )上の積分です。より正確には、各y ∈ Nにおいて、 Nの向きの体積形式ζの任意の選択に対して、内積によって定義される同型があります。x ∈ f ⁻¹ ( y )の場合、yにおけるkベクトルv は、引き戻しによってxにおける( n − k ) -共ベクトルを決定します。これらの共ベクトルはそれぞれαに対して外積を持つため、 f ⁻¹ ( y )に沿ってM上に( m − n ) -形式β _vが存在し、これは次のように定義されます 。この形式はNの向きに依存しますが、 ζの選択には依存しません。すると、k -形式γは特性によって一意に定義され、γは滑らかになります (Dieudonné 1972)。この形式はα ^{♭とも表記され、} fのファイバーに沿ったαの積分と呼ばれます。ファイバーに沿った積分は、ド・ラーム・コホモロジーにおけるギシン写像の構築に重要です。 $${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},}$$ $${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$$ $${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$$ $${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },}$$

ファイバーに沿った積分は射影公式（Dieudonné 1972）を満たす。λがN上の任意のℓ -形式であるとき、 $${\displaystyle \alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.}$$

ストークスの定理

外微分と積分との間の基本的な関係は、ストークスの定理によって与えられる。が にコンパクト台を持つ -形式で、がの誘導された向きを持つ境界を表す場合、 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$$

この重要な結果は、「相同鎖上の閉じた形式の積分は等しい」ということです。 が閉じた形式であり、と が相同な -鎖（-鎖の境界）である場合、 となります。これは、差が積分 であるためです。 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M-N}$ ${\displaystyle (k+1)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0}$

例えば、 が平面 または上のポテンシャル関数の微分である場合、から への経路上の の積分は経路の選択に依存しません（積分は です）。これは、与えられた端点を持つ異なる経路はホモトピックであり、したがって相同性（より弱い条件）であるためです。この場合は勾配定理と呼ばれ、微積分の基本定理を一般化したものです。この経路独立性は、輪郭積分において非常に有用です。 ${\displaystyle \omega =df}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(b)-f(a)}$

この定理は、ド・ラーム・コホモロジーおよび鎖のホモロジー間の双対性にも基礎を置いています。

対策との関係

一般的な微分可能多様体（追加構造なし）上では、微分形式を多様体のサブセット上で積分することはできません。この区別は、鎖または向き付けられた部分多様体上で積分される微分形式と、サブセット上で積分される測度とを区別する鍵となります。最も単純な例は、 1形式dx を区間[0, 1]上で積分しようとすることです。実数直線上の通常の距離（したがって測度）を想定すると、この積分は向き:に依存して1または−1になります。一方、です。対照的に、区間上の測度| dx |の積分は明確に1です（つまり、この測度に関する定数関数1の積分は1です）。同様に、座標変換により、微分n形式はヤコビ行列式Jだけ変化しますが、測度はヤコビ行列式の絶対値| J |だけ変化します。これは、向きの問題をさらに反映しています。たとえば、直線上の写像x ↦ − xの下では、微分形式dx は− dxに戻り、方向が反転します。一方、ここで| dx |と表記するルベーグ測度は| dx |に戻り、変化しません。 ${\textstyle \int _{0}^{1}dx=1}$ ${\textstyle \int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}$

方向付けという追加データが存在する場合、n -形式（トップ次元形式）を多様体全体またはコンパクト部分集合にわたって積分することが可能です。多様体全体にわたる積分は、形式を多様体の基本クラス[ M ]にわたって積分することに対応します。形式的には、方向付けが存在する場合、n -形式を多様体上の密度と同一視することができます。密度は測度を定義し、したがって積分することができます（Folland 1999、第11.4節、361～362ページ）。

向き付け可能だが向き付けされていない多様体上​​では、向き付けには2つの選択肢があります。どちらの選択肢も、コンパクト部分集合上のn -形式を積分できますが、2つの選択肢は符号が異なります。向き付け不可能な多様体上では、n -形式と密度は同一視できません。特に、トップ次元形式はどこかで消滅する必要があります（向き付け不可能な多様体上には体積形式は存在しません）。しかし、どこでも消滅する密度は存在しません。したがって、コンパクト部分集合上の密度は積分できますが、n -形式は積分できません。代わりに、トップ次元擬形式と密度を同一視することができます。

向きが存在する場合でも、k < nの部分集合上でk形式を積分する意味のある方法は一般に存在しません。これは、アンビエント向きを用いてk次元部分集合の向きを決定する一貫した方法が存在しないためです。幾何学的には、k次元部分集合をその場で回転させることにより、同じ部分集合を反対向きにすることができます。例えば、平面の水平軸を 180 度回転させることができます。n次元空間におけるkベクトルの集合のグラム行列式は、 nベクトルの行列式とは異なり、常に正の値となり、平方数に対応します。したがって、 k部分多様体の向きは、アンビエント多様体からは導出できない追加データです。

リーマン多様体上では、任意のk (整数または実数)に対してk次元ハウスドルフ測度を定義することができ、これは多様体のk次元部分集合上で積分可能である。このハウスドルフ測度の関数積分はk次元部分集合上で積分可能であり、これはk形式の積分に対する測度論的な類似を与える。n次元ハウスドルフ測度は、上記のように密度を与える。

流れ

超関数または一般関数の微分形式版はカレントと呼ばれます。M上のk -カレント空間は、適切な微分k -形式の空間の双対空間です。カレントは、鎖に似ていますが、より柔軟な一般化された積分域の役割を果たします。

物理学への応用

微分形式は、いくつかの重要な物理的文脈で現れます。例えば、マクスウェルの電磁気学理論では、ファラデー2形式、すなわち電磁場強度は、電磁場とから が形成されるものです。例えば、、、または同等の定義が挙げられます。 $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}f_{ab}\,dx^{a}\wedge dx^{b}\,,}$$ ${\displaystyle f_{ab}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle f_{12}=E_{z}/c}$ ${\displaystyle f_{23}=-B_{z}}$

この形式は、電磁気学と一般ゲージ理論の両方を記述できるU(1)主束上の曲率形式の特殊な場合である。主束の接続形式は、あるゲージで表されるベクトルポテンシャルであり、典型的には で表される。したがって、 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} .}$$

現在の3形式は、 電流密度の 4 つの成分です。(ここでは、の代わりに、つまり大文字を使用して、の代わりにと書くのが慣例です。ただし、ベクトルまたはテンソル成分と上記の形式は物理的な次元が異なります。さらに、国際純粋応用物理学連合の国際委員会の決定により、磁気分極ベクトルは数十年にわたって と呼ばれており、出版社によっては と呼ばれています。つまり、同じ名前が異なる量に使用されています。) $${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {1}{6}}j^{a}\,\varepsilon _{abcd}\,dx^{b}\wedge dx^{c}\wedge dx^{d}\,,}$$ ${\displaystyle j^{a}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle f_{ab}}$ ${\displaystyle J^{a}}$ ${\displaystyle j_{a}}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

上記の定義を用いると、マクスウェル方程式は、ホッジスター作用素を表す幾何化された単位で非常に簡潔に記述することができる。同様の考察は、ゲージ理論一般の幾何学についても当てはまる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}d{\mathbf {F} }&=\mathbf {0} \\d{\star \mathbf {F} }&=\mathbf {J} ,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \star }$

ファラデー形式の双対である-形式は、マクスウェル 2 形式とも呼ばれます。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {F} }$

電磁気学はU(1) ゲージ理論の一例である。ここでリー群は1次元ユニタリ群であり、特に可換群である。ヤン＝ミルズ理論のように、リー群が可換群ではないゲージ理論もある。その場合、ここで述べたものと同様の関係が得られる。そのような理論における場の類似物は接続の曲率形式であり、ゲージではリー代数値1形式で表される。ヤン＝ミルズ場は次のように定義される 。 ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ $${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} .}$$

電磁気学のようなアーベル的な場合には となるが、これは一般には成立しない。同様に、ゲージ群の構造方程式により、場の方程式はとの外積を含む追加項によって修正される。 ${\displaystyle \mathbf {A} \wedge \mathbf {A} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

幾何学的測度論への応用

複素解析多様体における極小性に関する多くの結果は、2次元形式に対するヴィルティンガー不等式に基づいています。簡潔な証明は、ハーバート・フェデラーの古典的著書『幾何学的測度論』に記載されています。ヴィルティンガー不等式は、シストリック幾何学における複素射影空間に対するグロモフ不等式の重要な要素でもあります。

参照

• 閉じた正確な微分形式
• 複素微分形式
• ベクトル値微分形式
• 同変微分形式
• 多様体上の微積分
• 多重線形形式
• 多項式微分形式
• プレシンプレクティックフォーム

注記

1. Cartan、Élie (1899)、「確実な表現の違いと問題点」、Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure、16 : 239–332、doi : 10.24033/asens.467
2. Tu, Loring W. (2011).多様体入門（第2版）. ニューヨーク: Springer. ISBN 9781441974006. OCLC  682907530。
3. 「線形代数 – ベクトル空間の外冪とその双対の間の「自然な」組み合わせ」。

参考文献

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外部リンク

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