通常の拡張

代数体拡大の種類

抽象代数学において、正規拡大とは、 Lに根を持つK上のすべての既約多項式がL上の線型因子に分解されるような代数体拡大 L / Kのことである。^{[1] [2]これは、代数拡大が}ガロア拡大となるための条件の一つである。ブルバキはこのような拡大を準ガロア拡大と呼ぶ。有限拡大の場合、正規拡大は分解体と同一である。

意味

を代数的拡大（すなわち、LはKの代数的拡大である）とし、（すなわち、LはKの代数的閉包に含まれる）とする。このとき、以下の条件はいずれも正規拡大の定義とみなすことができ、同値である：^[3] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L\subseteq {\overline {K}}}$

• K上へのLのすべての埋め込みは、 Lの自己同型を誘導します。 ${\displaystyle {\overline {K}}}$
• Lはの多項式族の分解体です。 ${\displaystyle K[X]}$
• Lに根を持つのすべての既約多項式は、Lの線形因子に分割されます。 ${\displaystyle K[X]}$

その他の特性

L を体Kの拡大とします。すると、次のようになります。

• LがKの正規拡大であり、Eが中間拡大（つまり、L⊇E⊇K）である場合、  L はEの正規拡大である。 [  ^4]
• EとFが L に含まれるKの正規拡大であるならば、合成EFとE∩FもKの正規拡大である。^[4]

正規性の同等の条件

を代数体とする。体Lが正規拡大体となるのは、以下の同値な条件のいずれかが成立する場合に限ります。 ${\displaystyle L/K}$

• Lのどの要素についても、 K上の最小多項式はLに分解されます。
• L上でそれぞれ分割できる多項式の集合があり、 が体であれば、SにはFで分割できない多項式が存在します。 ${\displaystyle S\subseteq K[x]}$ ${\displaystyle K\subseteq F\subsetneq L}$
• Kのすべての要素を固定する準同型写像はすべて同じ像を持ちます。 ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$
• Kのすべての要素を固定するLの自己同型群は、 Kのすべての要素を固定する準同型集合に対して推移的に作用します。 ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K),}$ ${\displaystyle L\to {\bar {K}}}$

例と反例

例えば、は の正規拡大である。なぜなら、 は の分解体だからである。一方、はの正規拡大ではない。なぜなら、既約多項式は1 つの根（つまり ）を持つが、すべての根を持つわけではない（2 の非実数3次根を持たない）からである。代数的数体はの代数閉包であり、したがって を含むことを思い出してほしい。 を 1 の原始3次根としよう。すると、 の写像はへの埋め込みであり、その制限は恒等写像である。しかし、は の自己同型ではない。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

任意の素数に対して、拡大は次数の正規体である。これは の分解体である。ここでは任意の の原始根を表す。この体はの正規閉包（下記参照）である。 ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})}$ ${\displaystyle p(p-1).}$ ${\displaystyle x^{p}-2.}$ ${\displaystyle \zeta _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$

通常閉鎖

Kが体であり、LがKの代数的拡大であるとき、 Lの代数的拡大Mが存在し、MはKの正規拡大となる。さらに、同型性を除いて、そのような拡大は極小である唯一のもの、すなわち、Lを含み、かつKの正規拡大となるMの部分体はM自身だけである。この拡大は、 Kの拡大Lの正規閉包と呼ばれる。

LがKの有限拡大である場合、その正規閉包も有限拡大になります。

参照

• ガロア拡大
• 通常基準

引用

1. Lang 2002、p.237、定理3.3、NOR3。
2. Jacobson 1989、489ページ、セクション8.7。
3. Lang 2002、p.237、定理3.3。
4. Lang 2002、p. 238、定理3.4。

参考文献

• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556
• Jacobson、Nathan (1989)、Basic Algebra II (第 2 版)、W. H. Freeman、ISBN 0-7167-1933-9、MR  1009787

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