有限群

Topological group that is in a certain sense assembled from a system of finite groups

数学において、無限群は、ある意味で有限群のシステムから組み立てられた位相群です。

親有限群を用いる目的は、有限群の系全体を「統一的に」あるいは「概観的に」捉えることである。親有限群の性質は、一般的に言えば、系における統一的な性質である。例えば、親有限群が（位相群として）有限生成であるためには、系内のすべての群が元によって生成可能なものが存在する必要がある。^[1]有限群に関する多くの定理は、親有限群に容易に一般化できる。例としては、 ラグランジュの定理やシローの定理などが挙げられる。^[2] ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d}$

原有限群を構成するには、有限群の系とそれらの間の群準同型性が必要である。一般性を失うことなく、これらの準同型は射影的であると仮定することができ、その場合、有限群は結果として得られる原有限群の商群として現れる。ある意味で、これらの商は原有限群を近似する。

有限群の重要な例としては、-進整数の加法群と無限次体拡大のガロア群がある。 ${\displaystyle p}$

すべての原始有限群はコンパクトかつ完全に非連結である。この概念の非コンパクト一般化は局所原始有限群である。さらに一般的なのは、完全に非連結な群である。

意味

有限群は、2 つの同等な方法のいずれかで定義できます。

最初の定義（建設的）

原有限群は、離散有限群の逆システムの逆極限に同型な位相群である。 ^[3]この文脈では、逆システムは、有向集合、それぞれが離散位相を持つ有限群のインデックス付き族、および が上の恒等写像であり、コレクションが次の場合に合成特性を満たすような準同型写像の族から構成される。逆極限は、相対積位相を備えた集合である。 ${\displaystyle (I,\leq ),}$ ${\displaystyle \{G_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle \{f_{i}^{j}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}}$ ${\displaystyle f_{i}^{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}^{j}\circ f_{j}^{k}=f_{i}^{k}}$ ${\displaystyle i\leq j\leq k.}$ $${\displaystyle \varprojlim G_{i}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in {\textstyle \prod \limits _{i\in I}}G_{i}:f_{i}^{j}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}i\leq j\right\}}$$

逆極限を普遍的性質を用いて定義することもできます。カテゴリカルな用語で言えば、これはコフィルタ極限構成の特殊なケースです。

2番目の定義

有限群はハウスドルフ、コンパクトかつ完全に分離した位相群である：^[4]すなわち、ストーン空間でもある位相群である。

プロフィニット完了

任意の群が与えられたとき、関連する有限群が存在する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}},}$のprofinite 完備化。^[4]、が有限指数の の正規部分群を通る群の逆極限として定義されます（これらの正規部分群は部分的に順序付けられ、これは商の間の自然準同型の逆システムに変換されます）。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

自然準同型 が存在し、この準同型によるの像はにおいて稠密である。この準同型が単射となるのは、群が残差有限である場合（すなわち、 であり、交差が有限指数 のすべての正規部分群を通る場合）であり、その場合のみである。 ${\displaystyle \eta :G\to {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \bigcap N=1}$ ${\displaystyle N}$

準同型性は、次の普遍的性質によって特徴付けられます。任意の有限群と、有限指数の正規部分群が開いている群演算と互換性のある最小の位相が与えられた任意の連続群準同型が与えられたとき、を満たす唯一の連続群準同型性が存在します。 ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g:{\widehat {G}}\rightarrow H}$ ${\displaystyle f=g\eta }$

等価

最初の定義によって構築された任意のグループは、2 番目の定義の公理を満たします。

逆に、第二定義の公理を満たす任意の群は、第一定義に従って、逆極限を用いて逆極限として構成することができる。この場合、逆極限は、（逆）包含によって順序付けられたの開正規部分群を通る。が位相的に有限生成である場合、それはさらに、自身の profinite 完備化に等しい。^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varprojlim G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

射影システム

実際には、有限群の逆システムはほとんどの場合射影的であり、つまりその写像はすべて射影的である。任意の逆システムが与えられた場合、まずその原始有限群を構築し、それを自身の原始有限完備化として再構築することができるため、一般性を失うことなく、射影システムのみを考慮すれば十分である ${\displaystyle G,}$

例

• 離散位相が与えられれば、有限群は近有限になります。
• 加法の下での-進整数群は前有限群（実際には前巡回群）である。これは、すべての自然数上の値域と、 の自然写像が成り立つ有限群の逆極限である。この前有限群上の位相は、 の -進付値から生じる位相と同じである。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\geq m.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$
• 原有限整数 群は の原有限完備化です。詳しくは、を法とする有限群の逆極限です。この群はすべての群の積であり、任意の有限体の絶対ガロア群です。 ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m\,|\,n.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$
• 無限次ガロア体拡大のガロア理論からは、自然に profinite なガロア群が得られます。具体的には、がガロア拡大である場合に、のすべての元を固定した のすべての体自己同型からなる群を考えます。この群は、 が有限ガロア拡大となるようなすべての中間体上に及ぶ有限群の逆極限です。極限過程では、 という制限準同型が使用されます。上で得られる位相は、ヴォルフガング・クルルにちなんでクルル位相として知られています。Waterhouse (1974) は、すべてのprofinite 群はある体のガロア理論から生じる群と同型ですが、この場合どの体が になるかは (まだ) 制御できません。実際、多くの体に対して、どの有限群が体上のガロア群として現れるかは一般には正確にはわかっていない。これは体に対する 逆ガロア問題である（複素数上の1変数有理関数の体など、いくつかの体に対しては逆ガロア問題は解決されている）。すべてのプロ有限群が体の絶対ガロア群として現れるわけではない。^[6] ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K),}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F/K}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{1}/K)\to \operatorname {Gal} (F_{2}/K)}$ ${\displaystyle F_{2}\subseteq F_{1}.}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle K}$
• 代数幾何学で考察されるエタール基本群もまた、大まかに言えば、代数は代数多様体の有限被覆しか「見ることができない」ため、親有限群である。しかし、代数位相幾何学の基本群は一般に親有限ではない。任意の規定群に対して、その基本群と等しい2次元CW複体が存在する。
• 局所有限根付き木の自己同型群は、profinite です。

特性と事実

• （任意個の）原有限群の積は原有限である。原有限性から生じる位相は、積位相と一致する。連続遷移写像を持つ原有限群の逆系の逆極限は原有限であり、逆極限関手は原有限群の圏上で正確である。さらに、原有限であることは拡張性質である。
• 原有限群のすべての閉部分群は、それ自身原有限である。原有限性から生じる位相は、部分空間位相と一致する。原有限群の閉正規部分群が原有限群である場合、因子群は原有限である。原有限性から生じる位相は、商位相と一致する。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G/N}$
• 全てのプロ有限群はコンパクトハウスドルフ群なので、のサブセットの「大きさ」を測ることができるハール測度が存在し、特定の確率を計算し、の関数を積分することができる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle G.}$
• 有限群の部分群は、それが閉じていて有限の指数を持つ場合のみ開群となります。
• ニコライ・ニコロフとダン・シーガルの定理によれば、任意の位相有限生成プロ有限群（すなわち、稠密な 有限生成部分群を持つプロ有限群）において、有限指数の部分群は開群となる。これは、ジャン＝ピエール・セールが位相有限生成プロ群 ${\displaystyle p}$に対して示した以前の類似の結果を一般化したものであり、証明には有限単純群の分類を用いる。
• 上記のニコロフ＝シーガルの結果の簡単な系として、原有限群と の間の任意の射影離散群準同型は、が位相的に有限生成である限り連続である。実際、 の任意の開部分群は有限指数を持つので、 におけるその逆像も有限指数を持ち、したがって開群でなければならない。 ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$
• と が位相的に有限生成な部分有限群であり、同型写像によって離散群として同型であると仮定する。すると、上記の結果より、 は全単射かつ連続となる。さらに、も連続であり、同相写像も連続である。したがって、位相的に有限生成な部分有限群上の位相は、その代数構造によって一意に決定される。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \iota .}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \iota ^{-1}}$ ${\displaystyle \iota }$

無限群

無限有限群という概念があり、これは無限有限群の概念的な双対である。つまり、有限群の帰納的体系の直接的な極限となる群は無限有限群である（特に、無限有限群である）。通常の用語法は異なる。有限生成部分群がすべて有限である群は、局所有限群と呼ばれる。これは実際には「無限有限」であることと同義である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

ポンチャギン双対性を適用すると、アーベル漸近群は局所有限離散アーベル群と双対関係にあることがわかる。後者はアーベル捩れ群に等しい。

射影的有限群

有限群は射影的とは、任意の拡大に対してリフティング特性を持つことを意味する。これは、原始有限体からの任意の射影射に対して切断が存在する場合、射影的である同じある^[7][8]。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\to G}$ ${\displaystyle G\to H.}$

有限群の射影性は、次の2つの性質のいずれかと等しい: ^[7] ${\displaystyle G}$

• コホモロジー次元 ${\displaystyle \operatorname {cd} (G)\leq 1;}$
• 任意の素数に対して、のシロー部分群は自由前群である。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

任意の射影的プロフィニット群は、擬代数閉体の絶対ガロア群として実現できる。この結果は、アレクサンダー・ルボツキーとルー・ファン・デン・ドリースによるものである。^[9]

プロサイクリックグループ

有限群は ${\displaystyle G}$プロサイクリックとは、位相的に単一の要素によって生成される場合、つまり部分群の閉包が^[10] ${\displaystyle \sigma ;}$ ${\displaystyle G={\overline {\langle \sigma \rangle }},}$ ${\displaystyle \langle \sigma \rangle =\left\{\sigma ^{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$

位相群がプロサイクリックであるのは、ある素数の集合上の範囲にあり、または^[11]と同型である場合に限ります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\textstyle \prod \limits _{p\in S}}G_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} .}$

参照

• ハウスドルフ完成
• 局所巡回群
• プロップグループ​
• 有限整数 – 数論の概念
• 残余財産（数学）
• 残差有限群

参考文献

1. Segal, Dan (2007-03-29). 「profinite group theoryのいくつかの側面」. arXiv : math/0703885 .
2. ウィルソン、ジョン・スチュアート (1998). Profinite groups . Oxford: Clarendon Press. ISBN 9780198500827. OCLC  40658188。
3. レンストラ、ヘンドリック。 「有限グループ」(PDF)。ライデン大学。
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