非古典的論理の一種
関連性 論理（レレバンス ・ロジック）は、 含意 の 前提 と 帰結 が関連性をもって関連していることを要求する 非古典的論理 の一種である 。これらは、部分構造論理または様相論理の一族とみなすことができる。一般的には 、イギリス、特にオーストラリアの 論 理学者 はレレバンス・ロジックと呼び、 アメリカの論理学者は レレバンス ・ ロジック と 呼ぶが、必ずしもそうではない。
命題計算 の統語的制約の観点から言えば 、前提と結論が 原子式（ 論理接続詞 を含まない式 ）を共有することは必要だが十分ではない。 述語計算 では、関連性は前提と結論の間で変数と定数を共有する必要がある。これは、例えば自然演繹システムの規則に特定の制限を課すことによって（より強い条件とともに）保証することができる。特に、フィッチスタイルの 自然演繹 は、推論の適用の各行の末尾に推論の結論に関連する前提を示すタグを導入することにより、関連性に対応するように適応させることができる。 ゲンツェン スタイルの シークエント計算は、 シークエント の右側または左側に任意の式を導入することを可能にする弱化規則を削除することによって修正できる 。
関連性論理の注目すべき特徴は、 矛盾論理 であるということです。つまり、矛盾の存在が必ずしも「 爆発 」を引き起こすわけではありません。これは、矛盾する先行詞を持つ条件文が、後続詞と命題文字や述語文字を共有していない場合、真（または導出可能）にはなり得ないという事実から導き出されます。
含意に関する古典的な説明は、様々な「パラドックス」（例えば、あらゆる真理は矛盾から導かれる、あるいはあらゆる言明はトートロジーを含意する、など）を正当化する。これは、物質的条件文と厳密な条件文が、前提と結論が同じトピックに関するものであるかどうかを無視するからである。 [ 1 ] [ 2 ] 関連性論理は、前提と結論の間に適切な接続を要求することでこの問題に対処する。よく知られた統語的代理概念は 変数共有 （または「トピック共有」）である。前提と結論がアトムを共有しない限り、有効な推論（そして真の条件文 ）は存在しない。自然演繹システムと結果システムは、前提の 実際の使用を 追跡し、弱化などの構造規則を制限することで、これを強制する。 [ 3 ] [ 2 ] 変数共有は関連性にとって 必要だが十分ではない ため、現代の定式化では証明理論的制約とモデル理論的条件が組み合わされている。 [ 1 ] あ → B {\displaystyle A\to B}
注目すべき帰結は、 パラコンシステンシー である。矛盾は爆発原理を誘発しない。関連性論理においては、矛盾する前件部を持つ条件文が、後件部と命題文字（述語文字）を共有しない場合、自動的には妥当とはならず、意味のある推論的リンクを維持しながら、自明性を阻害する。 [ 2 ] [ 1 ]
古典論理 の擁護者である デイヴィッド・ルイスは 、関連性論理の動機となっている関連性の概念を批判している（少なくとも 、この分野で最も影響力のある アンダーソン と ベルナップにとっては）。ルイスは、「主題」という正式な構成概念を介して「 内容」の正式な分析を作成し、前提が結論を古典的に 真理保存する ならば、その前提は自動的に結論に関連していることを示し 、したがってルイスの見解では、 関連性に関して古典的に真理保存する誤謬は 存在しないことを示している。 [ 4 ]
古典的含意に関する初期の不満は関連性論理より前からあった。ヒュー・マッコールは「もし」を真理関数的含意と同一視することに疑問を呈した。 [ 5 ] C.I.ルイスは、古典的論理が、 虚偽はあらゆる命題を含意する という原理のような 物質的含意のパラドックスを 認めるという理由で、様相 論理、特に 厳密含意を 発明した。 [ 6 ] [ 7 ] （例えば、「この記事が アンサイクロペディアの 記事であるならば、2足す2は5である」は、この記事は ウィキペディアの 記事であるため、物質的含意として翻訳すると真である。しかし、真の含意は前提条件と結論を何らかの関連性の概念で結び付けなければならないと仮定すると、直感的に誤りであるように思われる。また、この記事がアンサイクロペディアの記事であるかどうかは、2足す2が5であるかどうかとは全く関係がないように思われる。）しかし、ルイスの厳密含意は、 厳密含意のパラドックス として知られる、いくつかの無関係な推論を依然として認めていた。
関連性論理は、1928年にソ連の哲学者 イヴァン・E・オルロフ （1886年 - 1936年頃）が、マテマティチェスキー・スボルニク誌に発表した厳密な数学論文「命題の両立性論理」の中で 提唱した。関連性含意の基本的な考え方は中世論理学に登場し、1950年代にはアッカーマン[8]、モー[9]、チャーチ [ 10]らが先駆的な研究を行った 。 それら を 参考 に 、 ヌエル ・ ベルナップ と アラン ・ ロス ・ アンダーソン（他）は、1970年代に この 分野 の 最高傑作である『含意：関連性と必然性の論理』を執筆した （ 第 2 巻は1990年代に出版）。彼らは 含意 のシステムと関連性のシステムの両方に焦点を当てており、前者の種類の含意は関連性と必然性の両方を持つと考えられている。
かつて 様相論理に は「意味論」がなかった。現実世界G、世界集合K、そして世界間の相対的可能性関係Rを前提として、 ソール・クリプキは この状況を観察し、それが形式的に説明可能であることを見出し、 モデル構造 を構築した。やがて誰もがモデル構造を構築するようになり、 二項関係 R の条件に従って、 義務論的 なもの、 時間的なもの、 認識論的 なものなど、様々なモデル構造が構築された。
しかしながら、クリプキが作ったモデル構造も、 ヒンティッカが 作ったものも、トーマソンが作ったものも、彼らの同僚や仲間が作ったものも、どれも関連性がなかった。これは、 アメリカ の産業界のリーダーたちが住む ピッツバーグ 市で大きな悲しみをもたらした。その地の論理産業は、含意の発見者、 物質的 含意、 厳密な含意 の破滅 、そして 彼らの誤りと矛盾が導くすべてのものの発見者である アンダーソン 、 ベルナップ ＆サンズによって代表されていた。そう、およそ1年ごとにアンダーソンとベルナップは新しい論理を生み出し、それをE、R、E₁、あるいはP-Wと呼び、彼らはそのような論理のそれぞれを見て、関連性があると言われた。そして、これらの論理は直観を捉えるという理由で多くの人に好意的に見られましたが、 意味を 持たないという点で、さらに多くの人からは軽蔑されました。
アンダーソンとベルナップが意味論のない論理を作ったという噂が広まった。唯一の真の論理が、 集合論的な ガラクタに邪魔されない純粋な統語論の形で我々の前に姿を現したことを、驚嘆し喜んだ者もいた。一方、関連論理など単なる統語論に過ぎないと言う者もいた。この状況を調査した ラウトリーは 、そして全く独立に アーカートも 、関連含意という重要概念の説明を見出した。ラウトリー[1972]を基に、そして我々の友人たち、特に ダン とアーカートの少しの協力を得て、アンダーソン、ベルナップ、V.ラウトリー、そしてウッドラフにも感謝しつつ、これらの洞察を用いて、関連含意のシステムRの形式意味論を提示し、その意味論に関する一貫性と完全性の証明を与える。
モデル理論におけるブレークスルーは、1970年代に ラウトリー・マイヤーの 三元関係意味論とラウトリー（スター）否定処理によってもたらされ、多くの関連性システムに健全で完全な枠組みを提供し、関連性が古典的なパラドックスをブロックする方法を説明しました。 [ 12 ] [ 1 ] 並行して、アラスデア・アーカートは 肯定フラグメントの 操作的/セミラティスモデルを開発し、 [ 13 ] キット・ファインは関連する条件文の空間をさらに明確にする代替モデル構成と代数的視点を提供しました。 [ 14 ]
1970年代後半以降、 B （しばしば最小関連性基底とみなされる）などの弱い論理から R 、 E 、およびその拡張に至るまで、一連のシステムが結晶化し、代数的意味論（例えば、ド・モルガンのモノイド）や証明システム（表示計算、自然演繹）も結晶化した。 [ 15 ] [ 2 ] その後の研究では、関連性論理を矛盾無矛盾性とより広義の部分構造論理と結び付け、縮約のないシステムを改良してカリースタイルの自明性を避け、義務論的、様相的、計算的設定への応用が検討された。 [ 1 ] [ 2 ]
関連性論理の初期の発展は、より強い体系に焦点を当てていました。ラウトリー・マイヤー意味論の発展は、より弱い論理を生み出しました。これらの論理の中で最も弱いのは関連性論理Bです。これは以下の公理と規則によって公理化されます。
あ → あ {\displaystyle A\to A} あ ∧ B → あ {\displaystyle A\land B\to A} あ ∧ B → B {\displaystyle A\land B\to B} （ あ → B ） ∧ （ あ → C ） → （ あ → B ∧ C ） {\displaystyle (A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)} あ → あ ∨ B {\displaystyle A\to A\lor B} B → あ ∨ B {\displaystyle B\to A\lor B} （ あ → C ） ∧ （ B → C ） → （ あ ∨ B → C ） {\displaystyle (A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)} あ ∧ （ B ∨ C ） → （ あ ∧ B ） ∨ （ あ ∧ C ） {\displaystyle A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)} ¬ ¬ あ → あ {\displaystyle \lnot \lnot A\to A} ルールは以下のとおりです。
あ 、 あ → B ⊢ B {\displaystyle A,A\to B\vdash B} あ 、 B ⊢ あ ∧ B {\displaystyle A,B\vdash A\land B} あ → B ⊢ （ C → あ ） → （ C → B ） {\displaystyle A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)} あ → B ⊢ （ B → C ） → （ あ → C ） {\displaystyle A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)} あ → ¬ B ⊢ B → ¬ あ {\displaystyle A\to \lnot B\vdash B\to \lnot A} 以下の公理のいずれかを追加することで、より強力な論理が得られます。
（ あ → B ） → （ ¬ B → ¬ あ ） {\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)} （ あ → B ） ∧ （ B → C ） → （ あ → C ） {\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)} （ あ → B ） → （ （ B → C ） → （ あ → C ） ） {\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))} （ あ → B ） → （ （ C → あ ） → （ C → B ） ） {\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))} （ あ → （ あ → B ） ） → （ あ → B ） {\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)} （ あ ∧ （ あ → B ） ） → B {\displaystyle (A\land (A\to B))\to B} （ あ → ¬ あ ） → ¬ あ {\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A} （ あ → （ B → C ） ） → （ B → （ あ → C ） ） {\displaystyle (A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))} あ → （ （ あ → B ） → B ） {\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)} （ （ あ → あ ） → B ） → B {\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B} あ ∨ ¬ あ {\displaystyle A\lor \lnot A} A → ( A → A ) {\displaystyle A\to (A\to A)} 次のように B に公理を追加することで得られる、B よりも強力な注目すべき論理がいくつかあります。
DW の場合、公理 1 を追加します。 DJ の場合、公理 1、2 を追加します。 TW の場合、公理 1、2、3、4 を追加します。 RW の場合、公理 1、2、3、4、8、9 を追加します。 T の場合、公理 1、2、3、4、5、6、7、11 を追加します。 R の場合、公理 1 ～ 11 を追加します。 E については、公理 1 ～ 7、10、11 、、を追加します。 ここで、 は として定義されます 。 ( ( A → A ) ∧ ( B → B ) → C ) → C {\displaystyle ((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C} ◻ A ∧ ◻ B → ◻ ( A ∧ B ) {\displaystyle \Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)} ◻ A {\displaystyle \Box A} ( A → A ) → A {\displaystyle (A\to A)\to A} RM の場合、追加の公理をすべて追加します。 関連性論理の標準モデル理論は、 リチャード・ラウトリー と ロバート・マイヤー によって開発されたラウトリー・マイヤーの3項関係意味論です。命題言語のラウトリー・マイヤーフレーム F は4つ組 (W,R,*,0) です。ここで、W は空でない集合、R は W 上の3項関係、* は W から W への関数、です 。ラウトリー・マイヤーモデル M は、ラウトリー・マイヤーフレーム F に評価 を加えたもので 、各原子命題に各点 に関して真理値を割り当てます 。ラウトリー・マイヤーフレームにはいくつかの条件があります。 を と定義します 。 0 ∈ W {\displaystyle 0\in W} ⊩ {\displaystyle \Vdash } a ∈ W {\displaystyle a\in W} a ≤ b {\displaystyle a\leq b} R 0 a b {\displaystyle R0ab}
a ≤ a {\displaystyle a\leq a} 。 かつ ならば 。 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} b ≤ c {\displaystyle b\leq c} a ≤ c {\displaystyle a\leq c} かつ ならば 。 d ≤ a {\displaystyle d\leq a} R a b c {\displaystyle Rabc} R d b c {\displaystyle Rdbc} a ∗ ∗ = a {\displaystyle a^{**}=a} 。 もし なら 、 。 a ≤ b {\displaystyle a\leq b} b ∗ ≤ a ∗ {\displaystyle b^{*}\leq a^{*}} および と書き、それぞれ の点 において 式 が真であるか偽であるかを示します 。Routley-Meyerモデルの最後の条件は遺伝条件です。 M , a ⊩ A {\displaystyle M,a\Vdash A} M , a ⊮ A {\displaystyle M,a\nVdash A} A {\displaystyle A} a {\displaystyle a} M {\displaystyle M}
かつ ならば 、 すべての原子命題 に対して が 成り立ちます 。 M , a ⊩ p {\displaystyle M,a\Vdash p} a ≤ b {\displaystyle a\leq b} M , b ⊩ p {\displaystyle M,b\Vdash p} p {\displaystyle p} 帰納的議論により、以下の真理条件を使用して、遺伝性が複雑な式にまで拡張されることを示すことができます。
かつの 場合 、すべての式に対して と なります 。 M , a ⊩ A {\displaystyle M,a\Vdash A} a ≤ b {\displaystyle a\leq b} M , b ⊩ A {\displaystyle M,b\Vdash A} A {\displaystyle A} 複雑な式の真理条件は次のとおりです。
M , a ⊩ A ∧ B ⟺ M , a ⊩ A {\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A} そして M , a ⊩ B {\displaystyle M,a\Vdash B} M , a ⊩ A ∨ B ⟺ M , a ⊩ A {\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A} または M , a ⊩ B {\displaystyle M,a\Vdash B} M , a ⊩ A → B ⟺ ∀ b , c ( ( R a b c ∧ M , b ⊩ A ) ⇒ M , c ⊩ B ) {\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)} M , a ⊩ ¬ A ⟺ M , a ∗ ⊮ A {\displaystyle M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A} 式は 、 の場合に限り、 モデルで成立します 。式が フレームで成立する 場合、それは A がすべてのモデル で成立する場合に限ります 。式が フレームのクラスで有効である場合、それは A がそのクラスのすべてのフレームで成立する場合に限ります。上記の条件を満たすすべての Routley-Meyer フレームのクラスは、関連性ロジック B を検証します。R と * に適切な制約を課すことで、他の関連性ロジックに対する Routley-Meyer フレームを取得できます。これらの条件は、いくつかの標準的な定義を使用して簡単に記述できます。 を と定義し 、 を と定義します 。フレーム条件とそれによって検証される公理の一部を以下に示します。 A {\displaystyle A} M {\displaystyle M} M , 0 ⊩ A {\displaystyle M,0\Vdash A} A {\displaystyle A} F {\displaystyle F} ( F , ⊩ ) {\displaystyle (F,\Vdash )} A {\displaystyle A} R a b c d {\displaystyle Rabcd} ∃ x ( R a b x ∧ R x c d ) {\displaystyle \exists x(Rabx\land Rxcd)} R a ( b c ) d {\displaystyle Ra(bc)d} ∃ x ( R b c x ∧ R a x d ) {\displaystyle \exists x(Rbcx\land Raxd)}
名前 フレームの状態 公理 擬似モーダス・ポネンス R a a a {\displaystyle Raaa} ( A ∧ ( A → B ) ) → B {\displaystyle (A\land (A\to B))\to B} 接頭辞 R a b c d ⇒ R a ( b c ) d {\displaystyle Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d} ( A → B ) → ( ( C → A ) → ( C → B ) ) {\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))} 接尾辞 R a b c d ⇒ R b ( a c ) d {\displaystyle Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d} ( A → B ) → ( ( B → C ) → ( A → C ) ) {\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))} 収縮 R a b c ⇒ R a b b c {\displaystyle Rabc\Rightarrow Rabbc} ( A → ( A → B ) ) → ( A → B ) {\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)} 仮説的三段論法 R a b c ⇒ R a ( a b ) c {\displaystyle Rabc\Rightarrow Ra(ab)c} ( A → B ) ∧ ( B → C ) → ( A → C ) {\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)} 主張 R a b c ⇒ R b a c {\displaystyle Rabc\Rightarrow Rbac} A → ( ( A → B ) → B ) {\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)} E公理 R a 0 a {\displaystyle Ra0a} ( ( A → A ) → B ) → B {\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B} ミングル公理 R a b c ⇒ a ≤ c {\displaystyle Rabc\Rightarrow a\leq c} または b ≤ c {\displaystyle b\leq c} A → ( A → A ) {\displaystyle A\to (A\to A)} 還元 R a a ∗ a {\displaystyle Raa^{*}a} ( A → ¬ A ) → ¬ A {\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A} 対偶 R a b c ⇒ R a c ∗ b ∗ {\displaystyle Rabc\Rightarrow Rac^{*}b^{*}} ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) {\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)} 排除された中間層 0 ∗ ≤ 0 {\displaystyle 0^{*}\leq 0} A ∨ ¬ A {\displaystyle A\lor \lnot A} 厳密な含意の弱化 0 ≤ a {\displaystyle 0\leq a} A → ( B → B ) {\displaystyle A\to (B\to B)} 弱体化 R a b c ⇒ b ≤ c {\displaystyle Rabc\Rightarrow b\leq c} A → ( B → A ) {\displaystyle A\to (B\to A)}
最後の2つの条件は、関連性論理が本来回避するために開発された弱化の形態を正当化するものである。これらは、Routley-Meyerモデルの柔軟性を示すために含まれていた。
関連性論理の否定を含まない断片に対する操作モデルは、 アラスデア・アーカート によって博士論文とその後の研究で開発された。この操作モデルの背後にある直感的な考え方は、モデル内の各ポイントは情報片であり、条件文を裏付ける情報とその前件部を裏付ける情報を組み合わせることで、後件部を裏付ける情報が得られるというものである。操作モデルは一般に否定を解釈しないため、本節では条件文、連言、および選言を含む言語のみを考察する。
操作フレーム は三つ組 であり 、 は空でない集合 、 は 上の二項演算である 。フレームには条件があり、その一部は異なる論理をモデル化するために省略されることがある。アーカートが関連性論理 R の条件文をモデル化するために提案した条件は以下の通りである。 F {\displaystyle F} ( K , ⋅ , 0 ) {\displaystyle (K,\cdot ,0)} K {\displaystyle K} 0 ∈ K {\displaystyle 0\in K} ⋅ {\displaystyle \cdot } K {\displaystyle K}
x ⋅ x = x {\displaystyle x\cdot x=x} ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)} x ⋅ y = y ⋅ x {\displaystyle x\cdot y=y\cdot x} 0 ⋅ x = x {\displaystyle 0\cdot x=x} これらの条件下では、操作フレームは 結合セミラティス です。
操作モデルは 、ポイントと原子命題のペアを真理値 T または F にマッピングする 評価を持つ フレームです。次のように複雑な式の 評価に拡張できます 。 M {\displaystyle M} F {\displaystyle F} V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} ⊩ {\displaystyle \Vdash }
M , a ⊩ p ⟺ V ( a , p ) = T {\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T} 、原子命題の場合 M , a ⊩ A ∧ B ⟺ M , a ⊩ A {\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A} そして M , a ⊩ B {\displaystyle M,a\Vdash B} M , a ⊩ A ∨ B ⟺ M , a ⊩ A {\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A} または M , a ⊩ B {\displaystyle M,a\Vdash B} M , a ⊩ A → B ⟺ ∀ b ( M , b ⊩ A ⇒ M , a ⋅ b ⊩ B ) {\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)} 式が モデルにおいて成立する場合、それは のときに限られます 。式が モデルのクラスにおいて有効である 場合、それは各モデルにおいて成立する場合に限られます 。 A {\displaystyle A} M {\displaystyle M} M , 0 ⊩ A {\displaystyle M,0\Vdash A} A {\displaystyle A} C {\displaystyle C} M ∈ C {\displaystyle M\in C}
R の条件フラグメントは、セミラティスモデルのクラスに関して健全かつ完全である。連言と選言を含む論理は、R の条件付き、連言、選言フラグメントよりも真に強い。特に、式は 操作モデルに対しては有効であるが、R では無効である。R の操作モデルによって生成される論理は、 Kit Fineと Gerald Charlwood による完全な公理的証明体系を持つ。Charlwood はまた、この論理に対する自然演繹体系を提供し、それが公理体系と等価であることを証明した。Charlwood は、彼の自然演繹体系が Dag Prawitz によって提供された体系と等価であることを示した 。 ( A → ( B ∨ C ) ) ∧ ( B → C ) → ( A → C ) {\displaystyle (A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)}
操作的意味論は、フレームに 空でない世界の集合 とアクセス可能性関係を追加することで、Eの条件文をモデル化するために適応できる 。アクセス可能性関係は、Eの条件文がS4必然性を持つという考えを捉えるために、反射的かつ推移的であることが求められる。そして、評価は、原子命題、点、世界の三つ組を真理値にマッピングする。条件文の真理条件は以下のように変更される。 W {\displaystyle W} ≤ {\displaystyle \leq } W × W {\displaystyle W\times W}
M , a , w ⊩ A → B ⟺ ∀ b , ∀ w ′ ≥ w ( M , b , w ′ ⊩ A ⇒ M , a ⋅ b , w ′ ⊩ B ) {\displaystyle M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)} 操作的意味論は、に 関係を追加することで、T の条件文をモデル化するように適応できます 。この関係は、以下の条件に従う必要があります。 ≤ {\displaystyle \leq } K × K {\displaystyle K\times K}
0 ≤ x {\displaystyle 0\leq x} かつ ならば 、 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} y ≤ z {\displaystyle y\leq z} x ≤ z {\displaystyle x\leq z} もし 、 x ≤ y {\displaystyle x\leq y} x ⋅ z ≤ y ⋅ z {\displaystyle x\cdot z\leq y\cdot z} 条件文の真理条件は次のように変更されます。
M , a ⊩ A → B ⟺ ∀ b ( ( a ≤ b ∧ M , b ⊩ A ) ⇒ M , a ⋅ b ⊩ B ) {\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)} 縮約のない関連性論理TWとRWを操作モデルでモデル化する方法には2つあります。1つ目は、 という条件を削除することです 。2つ目は、フレームのセミラティス条件はそのままにして、 フレームに二項関係 、つまり素性 を追加することです。これらのモデルでは、条件文の真理条件は以下のように変更され、TWの場合は順序付けが追加されます。 x ⋅ x = x {\displaystyle x\cdot x=x} J {\displaystyle J}
M , a ⊩ A → B ⟺ ∀ b ( ( J a b ∧ M , b ⊩ A ) ⇒ M , a ⋅ b ⊩ B ) {\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)} アーカートは、R の半束論理が R の正定値フラグメントよりも真に強いことを示した。ロイド・ハンバーストーンは、論理和に対して異なる真理条件を許容する操作モデルの拡充を提供した。結果として得られたモデルのクラスは、R の正定値フラグメントと全く同じものを生成する。
演算フレーム は 4 組 で あり、 は空でない集合、 、 { 、 } は 上の二項演算です 。 を と定義します 。フレーム条件は次のとおりです。 F {\displaystyle F} ( K , ⋅ , + , 0 ) {\displaystyle (K,\cdot ,+,0)} K {\displaystyle K} 0 ∈ K {\displaystyle 0\in K} ⋅ {\displaystyle \cdot } + {\displaystyle +} K {\displaystyle K} a ≤ b {\displaystyle a\leq b} ∃ x ( a + x = b ) {\displaystyle \exists x(a+x=b)}
0 ⋅ x = x {\displaystyle 0\cdot x=x} x ⋅ y = y ⋅ x {\displaystyle x\cdot y=y\cdot x} ( x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ ( y ⋅ z ) {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)} x ≤ x ⋅ x {\displaystyle x\leq x\cdot x} x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x} ( x + y ) + z = x + ( y + z ) {\displaystyle (x+y)+z=x+(y+z)} x + x = x {\displaystyle x+x=x} x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z {\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z} x ≤ y + z ⇒ ∃ y ′ , z ′ ∈ K ( y ′ ≤ y {\displaystyle x\leq y+z\Rightarrow \exists y',z'\in K(y'\leq y} 、 そして z ′ ≤ z {\displaystyle z'\leq z} x = y ′ + z ′ ) {\displaystyle x=y'+z')} 操作モデルは 、ポイントと原子命題のペアを真理値 T または F にマッピングする 評価を持つ フレームです。次のように複雑な式の 評価に拡張できます 。 M {\displaystyle M} F {\displaystyle F} V {\displaystyle V} V {\displaystyle V} ⊩ {\displaystyle \Vdash }
M , a ⊩ p ⟺ V ( a , p ) = T {\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T} 、原子命題の場合 M , a + b ⊩ p ⟺ M , a ⊩ p {\displaystyle M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p} そして M , b ⊩ p {\displaystyle M,b\Vdash p} M , a ⊩ A ∧ B ⟺ M , a ⊩ A {\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A} そして M , a ⊩ B {\displaystyle M,a\Vdash B} M , a ⊩ A ∨ B ⟺ M , a ⊩ A {\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A} または または ; および M , a ⊩ B {\displaystyle M,a\Vdash B} ∃ b , c ( a = b + c {\displaystyle \exists b,c(a=b+c} M , b ⊩ A {\displaystyle M,b\Vdash A} M , c ⊩ B ) {\displaystyle M,c\Vdash B)} M , a ⊩ A → B ⟺ ∀ b ( M , b ⊩ A ⇒ M , a ⋅ b ⊩ B ) {\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)} 式が モデルにおいて成立する場合、それは のときに限られます 。式が モデルのクラスにおいて有効である 場合、それは各モデルにおいて成立する場合に限られます 。 A {\displaystyle A} M {\displaystyle M} M , 0 ⊩ A {\displaystyle M,0\Vdash A} A {\displaystyle A} C {\displaystyle C} M ∈ C {\displaystyle M\in C}
Rの正定フラグメントは、これらのモデルのクラスに関して健全かつ完全である。ハンバーストンの意味論は、以下のようにフレーム条件を削除または追加することで、異なる論理をモデル化するために適応できる。
システム フレーム条件 B 1、5-9、14 x ≤ x ⋅ 0 {\displaystyle x\leq x\cdot 0} ( x ⋅ y ) ⋅ z ≤ y ⋅ ( x ⋅ z ) {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z\leq y\cdot (x\cdot z)} ( x ⋅ y ) ⋅ z ≤ x ⋅ ( y ⋅ z ) {\displaystyle (x\cdot y)\cdot z\leq x\cdot (y\cdot z)} x ⋅ y ≤ ( x ⋅ y ) ⋅ y {\displaystyle x\cdot y\leq (x\cdot y)\cdot y} ( y + z ) ⋅ x = y ⋅ x + z ⋅ x {\displaystyle (y+z)\cdot x=y\cdot x+z\cdot x} x ⋅ x = x {\displaystyle x\cdot x=x} TW 1、11、12、5-9、14 東西 1、10、11、5-9、14 RW 1-3、5-9 T 1、11、12、13、5-9、14 E 1、10、11、13、5-9、14 R 1-9 RM 1-3、5-9、15
いくつかの関連性論理には、論理Rのような代数モデルを与えることができる。Rの代数構造はド・モルガン・モノイドであり、これは6つの組から成り 、 ( D , ∧ , ∨ , ¬ , ∘ , e ) {\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)}
( D , ∧ , ∨ , ¬ ) {\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot )} は、法則に従い 、 かつ の場合には となる 、単項演算を伴う 分配 格子 です。 ¬ {\displaystyle \lnot } ¬ ¬ x = x {\displaystyle \lnot \lnot x=x} x ≤ y {\displaystyle x\leq y} ¬ y ≤ ¬ x {\displaystyle \lnot y\leq \lnot x} e ∈ D {\displaystyle e\in D} の二項演算 は 可換 ( ) かつ 結合的 ( ) であり 、 は 恒等式 を持つ アーベルモノイド である 。 ∘ {\displaystyle \circ } x ∘ y = y ∘ x {\displaystyle x\circ y=y\circ x} ( x ∘ y ) ∘ z = x ∘ ( y ∘ z ) {\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)} e ∘ x = x {\displaystyle e\circ x=x} ( D , ∘ , e ) {\displaystyle (D,\circ ,e)} e {\displaystyle e} モノイドは格子順序付きであり、 を満たす 。 x ∘ ( y ∨ z ) = ( x ∘ y ) ∨ ( x ∘ z ) {\displaystyle x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)} x ≤ x ∘ x {\displaystyle x\leq x\circ x} ; そして もし なら 、 。 x ∘ y ≤ z {\displaystyle x\circ y\leq z} x ∘ ¬ z ≤ ¬ y {\displaystyle x\circ \lnot z\leq \lnot y} R の条件文を解釈する 演算は と定義されます 。ド・モルガンモノイドは 剰余格子 で あり、次の剰余条件に従います。 x → y {\displaystyle x\to y} ¬ ( x ∘ ¬ y ) {\displaystyle \lnot (x\circ \lnot y)}
x ∘ y ≤ z ⟺ x ≤ y → z {\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z} 解釈 とは、 命題言語からド・モルガンモノイドへの 準同型写像 であり、 v {\displaystyle v} M {\displaystyle M}
v ( p ) ∈ D {\displaystyle v(p)\in D} すべての原子命題について、 v ( ¬ A ) = ¬ v ( A ) {\displaystyle v(\lnot A)=\lnot v(A)} v ( A ∨ B ) = v ( A ) ∨ v ( B ) {\displaystyle v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)} v ( A ∧ B ) = v ( A ) ∧ v ( B ) {\displaystyle v(A\land B)=v(A)\land v(B)} v ( A → B ) = v ( A ) → v ( B ) {\displaystyle v(A\to B)=v(A)\to v(B)} ド・モルガン・モノイド と解釈が与えられたとき、式は の場合に限り 成立する と言える 。式は、 すべてのド・モルガン・モノイドのすべての解釈において成立する場合に限り、妥当である。論理 R はド・モルガン・モノイドに対して健全かつ完全である。 M {\displaystyle M} v {\displaystyle v} A {\displaystyle A} v {\displaystyle v} e ≤ v ( A ) {\displaystyle e\leq v(A)} A {\displaystyle A}
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