パラメトリックサーフェス

Surface specified with parameters

パラメトリック曲面は、 2つのパラメータを持つパラメトリック方程式によって定義されるユークリッド空間内の曲面です。パラメトリック表現は、暗黙的表現と同様に、曲面を指定するための非常に一般的な方法です。ベクトル解析の2つの主要定理、ストークスの定理と発散定理に現れる曲面は、パラメトリック形式で与えられることがよくあります。曲面上の曲線の曲率と弧長、表面積、第1および第2基本形式などの微分幾何学的不変量、ガウス曲率、平均曲率、主曲率はすべて、与えられたパラメトリゼーションから計算できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}}$

例

トーラス、次の方程式で作成されます。 ${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin v\\y&=(R+r\cos v)\sin u\\z&=(R+r\cos v)\cos u\end{aligned}}}$

三葉結び目を形成するパラメトリック サーフェス。方程式の詳細は添付のソース コードに記載されています。

• 最も単純なタイプのパラメトリック サーフェスは、2 つの変数の関数のグラフによって表されます。 $${\displaystyle z=f(x,y),\quad \mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)).}$$
• 有理曲面とは、有理関数によるパラメータ化が可能な曲面のことである。有理曲面は代数曲面である。代数曲面が与えられた場合、それが有理曲面であるかどうかを判断する方が、もし有理パラメータ化が存在するならばそれを計算するよりも一般的に容易である。
• 回転面は、容易にパラメータ化できるもう一つの重要な曲面クラスです。グラフz = f ( x ) , a ≤ x ≤ bをz軸を中心に回転させると、得られる曲面はパラメータ化されます。また、関数fが有理関数であれば、曲面も有理関数であることを示すパラメータ化も可能です。 $${\displaystyle \mathbf {r} (u,\phi )=(u\cos \phi ,u\sin \phi ,f(u)),\quad a\leq u\leq b,0\leq \phi <2\pi .}$$ $${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=\left(u{\frac {1-v^{2}}{1+v^{2}}},u{\frac {2v}{1+v^{2}}},f(u)\right),\quad a\leq u\leq b,}$$
• x軸を中心とした半径Rの直円柱は、次のパラメトリック表現を持ちます。 $${\displaystyle \mathbf {r} (x,\phi )=(x,R\cos \phi ,R\sin \phi ).}$$
• 球面座標を用いると、単位球面はによってパラメータ化できます。このパラメータ化は、方位角θが一意に定まらない北極と南極では破綻します。球面は有理曲面です。 $${\displaystyle \mathbf {r} (\theta ,\phi )=(\cos \theta \sin \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \phi ),\quad 0\leq \theta <2\pi ,0\leq \phi \leq \pi .}$$

同じ曲面でも、様々なパラメータ化が可能です。例えば、座標z平面は 、任意の定数a、b、c、dに対して、 ad − bc ≠ 0を満たすようにパラメータ化できます。つまり、行列は逆行列です。 $${\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=(au+bv,cu+dv,0)}$$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

局所微分幾何学

パラメトリック曲面の局所形状は、それをパラメトリック化する関数のテイラー展開を考慮することで解析できます。曲面上の曲線の弧長と表面積は、積分を用いて求めることができます。

表記

パラメトリック曲面は次式で与えられるものとする。ここで、はパラメータ（u、v ）のベクトル値関数であり、パラメータはパラメトリックuv平面上の特定の領域D内で変化する。パラメータに関する1次偏微分は通常、およびと表記され、高次の微分についても同様に表記される。 $${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle \mathbf {r} _{u}:={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{v},}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{uu},\mathbf {r} _{uv},\mathbf {r} _{vv}.}$

ベクトル解析では、パラメータは（s、t）と表記されることが多く、偏微分は∂表記法で表されます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial s\partial t}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial t^{2}}}.}$$

接平面と法線ベクトル

ベクトルが線形独立であれば、パラメータ化はパラメータの与えられた値に対して正規化されます 。正規点における接平面は、これらのベクトルが張るR ³のアフィン平面であり、パラメータによって決定される面上の点r ( u , v ) を通過します。任意の接ベクトルは、と の線形結合に一意に分解できます。これらのベクトルの外積は、接平面 の法線ベクトルです。このベクトルをその長さで割ると、正規点におけるパラメータ化された面の単位法線ベクトルが得られます。 $${\displaystyle \mathbf {r} _{u},\mathbf {r} _{v}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{v}.}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|}}.}$$

一般に、与えられた点における曲面の単位法線ベクトルには2つの選択肢がありますが、正則媒介変数付き曲面の場合、前述の式は一貫してそのうちの1つを選択し、それによって曲面の向きを決定します。R 3における曲面の微分幾何学的不変量の中には、曲面自体によって定義され、向きに依存しない^ものもあれば、向きが反転すると符号が変わるものもあります。

表面積

表面積は、パラメトリックUV平面の適切な領域D上の表面に対する法線ベクトルの長さを積分することによって計算できます。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$ $${\displaystyle A(D)=\iint _{D}\left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|du\,dv.}$$

この式は表面積の閉じた表現を提供しますが、非常に特殊な表面を除いて、複雑な二重積分となります。これは通常、コンピュータ代数システムを用いて評価するか、数値的に近似されます。幸いなことに、多くの一般的な表面は例外となり、それらの面積は明示的に分かっています。これは、円柱、球、円錐、トーラス、その他いくつかの回転面にも当てはまります。

これはスカラー場1上の面積分としても表すことができます。 $${\displaystyle \int _{S}1\,dS.}$$

最初の基本形

最初の基本形式は、距離と角度を計算するために使用される、曲面の接平面上の二次形式です。パラメータ化された曲面の場合、その係数は次のように計算できます。 $${\displaystyle \mathrm {I} =E\,du^{2}+2\,F\,du\,dv+G\,dv^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),}$ $${\displaystyle E=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{u},\quad F=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {r} _{v},\quad G=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {r} _{v}.}$$

曲面S上のパラメータ化された曲線の弧長、 S上の曲線間の角度、および表面積はすべて、第 1 基本形式で表すことができます。

( u ( t ), v ( t ))、a ≤ t ≤ bがこの表面上のパラメータ化された曲線を表す場合、その弧の長さは積分として計算できます。 $${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {E\,u'(t)^{2}+2F\,u'(t)v'(t)+G\,v'(t)^{2}}}\,dt.}$$

第一基本形式は、面の各点における接平面上の正定値対称双 線型形式の族として捉えることができ、これらの形式は点に滑らかに依存する。この観点は、与えられた点で交わるS上の2つの曲線間の角度を計算するのに役立つ。この角度は、曲線の接ベクトル間の角度に等しい。この2つのベクトルについて評価される第一基本形式はそれらの内積であり、角度は内積を介して角度の余弦を表す標準公式から求められる 。 $${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}}$$

表面積は、次のように最初の基本形式で表すことができます。 $${\displaystyle A(D)=\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

ラグランジュの恒等式により、平方根の下の式は正確に となり、したがって正規の点では厳密に正になります。 ${\displaystyle \left|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\right|^{2}}$

第二基本形

第二基本形式は、曲面の接平面上の二次形式であり、第一基本形式と共に、曲面上の曲線の曲率を決定します。( u , v ) = ( x , y )であり、与えられた点における曲面の接平面が水平である特殊な場合、第二基本形式は本質的に、 xとyの関数としてのzのテイラー展開の二次部分となります。 $${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}}$$

一般的なパラメトリック曲面の場合、定義はより複雑になりますが、第二基本形式は1次と2次の偏微分のみに依存します。その係数は、パラメトリック化によって定義された単位法線ベクトルへの2次偏微分の射影として定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ $${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }},\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}.}$$

最初の基本形式と同様に、2 番目の基本形式は、点に滑らかに依存する表面の各点における接平面上の対称双線形形式の族として見ることができます。

曲率

曲面の第一および第二の基本形式は、その重要な微分幾何学的不変量であるガウス曲率、平均曲率、および主曲率を決定します。

主曲率は、第2基本形式と第1基本形式からなるペアの不変量である。これらは、二次方程式の 根κ ₁、κ _{2である。} $${\displaystyle \det(\mathrm {I\!I} -\kappa \mathrm {I} )=0,\quad \det {\begin{bmatrix}L-\kappa E&M-\kappa F\\M-\kappa F&N-\kappa G\end{bmatrix}}=0.}$$

ガウス曲率 K = κ ₁ κ ₂と平均曲率 H = ( κ ₁ + κ ₂ )/2 は次のように計算できます。 $${\displaystyle K={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},\quad H={\frac {EN-2FM+GL}{2(EG-F^{2})}}.}$$

これらの量は、符号を除けば、使用される媒介変数化とは独立しており、したがって、曲面の幾何学的形状を解析するための重要なツールとなります。より正確には、主曲率と平均曲率は、曲面の向きが反転すると符号が変化しますが、ガウス曲率は媒介変数化とは全く独立しています。

ある点におけるガウス曲率の符号は、その点の近くの曲面の形状を決定します。K > 0の場合、曲面は局所的に凸型となり、点は楕円型と呼ばれます。一方、 K < 0の場合、曲面は鞍型となり、点は双曲型と呼ばれます。ガウス曲率がゼロの点は、放物型と呼ばれます。一般に、放物型点は、曲面上で放物線と呼ばれる曲線を形成します。最初の基本形式は正定値であるため、その行列式EG − F ²はどこでも正です。したがって、 Kの符号は、 2番目の基本形式の行列式であるLN − M ²の符号と一致します。

上に示した最初の基本形式の係数は対称行列に編成することができます。上に示した 2 番目の基本形式の係数も同様です。 $${\displaystyle F_{1}={\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle F_{2}={\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}.}$$

ここで行列を定義すると、主曲率κ ₁とκ _2はAの固有値となる。^[1] ${\displaystyle A=F_{1}^{-1}F_{2}}$

ここで、v ₁ = ( v ₁₁、v ₁₂ )が主曲率κ _{1に対応する}Aの固有ベクトルである場合、の方向の単位ベクトルは主曲率κ ₁に対応する主ベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {t} _{1}=v_{11}\mathbf {r} _{u}+v_{12}\mathbf {r} _{v}}$

したがって、v ₂ = ( v ₂₁、v ₂₂ )が主曲率κ _{2に対応する}Aの固有ベクトルである場合、 の方向の単位ベクトルは主曲率κ ₂に対応する主ベクトルと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {t} _{2}=v_{21}\mathbf {r} _{u}+v_{22}\mathbf {r} _{v}}$

参照

• 数学アートソフトウェアのリスト
• スプライン（数学）
• 表面法線

参考文献

1. 曲面の曲率 Archived 2013-05-03 at the Wayback Machine 配布資料、主曲率

外部リンク

• Javaアプレットはらせん面のパラメータ化を示します
• m-ART(3d) - パラメトリック サーフェスを生成および視覚化する iPad/iPhone アプリケーション。

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