周期表

Sequence for which the same terms are repeated over and over

数学において、周期列（サイクルまたは軌道と呼ばれることもある）とは、同じ項が何度も繰り返される列のことである。

a ₁、a ₂、…、a _p、   a ₁、a ₂、…、a _p、   a ₁、a ₂、…、a _p、…

繰り返される項の数pは周期（period ）と呼ばれます。^[1]

定義

（純粋に）周期的な数列（周期pを持つ）、またはp周期的な数列は、次の式を満たす数列a ₁、a ₂、a ₃、… です。

a _{n + p} = a _n

nのすべての値に対して。^{[1] [2] [3]}数列を自然数の集合を定義域とする関数と見なすと、周期数列は単に特別なタイプの周期関数である。^[4]周期数列がp周期となる最小のpは、最小周期^[1]または正確な周期と呼ばれる。

例

すべての定数関数は 1 周期です

この数列は最小周期が2で周期的です。 ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$

1/7の小数展開における桁の列は周期が6で周期的です。

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

より一般的には、任意の有理数の小数展開における桁の列は、最終的には周期的である（以下を参照）。^[5]

-1のべき乗の数列は周期が2で周期的です。

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

より一般的には、任意の単位根のべき乗列は周期的である。群における有限位数の任意の元のべき乗についても同様である。すべての周期的な数列は、単位根のべき乗で評価された多項式として表すことができる。ここで、は位数が列の周期である単位根である。^[4] ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a_{i}=p(z^{i})}$ ${\displaystyle z}$

関数f  : X → Xの周期点とは、軌道が

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

は周期列です。ここで、はxに適用されたfのn倍の合成を意味します。周期点は力学系理論において重要です。有限集合からそれ自身へのすべての関数には周期点があります。サイクル検出はそのような点を見つけるアルゴリズムの問​​題です。 ${\displaystyle f^{n}(x)}$

部分和と積

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n},\qquad \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}={\biggl (}{\prod _{n=1}^{p}a_{n}}{\biggr )}^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}}$、

ここで、とは正の整数です。 ${\displaystyle m<p}$ ${\displaystyle k}$

周期的な 0, 1 列

任意の周期列は、0 と 1 からなる周期列の要素ごとの加算、減算、乗算、除算によって構成できます。周期的な 0, 1 列は、三角関数の和として表すことができます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{0}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{2}}\right)/2=1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{3}}\right)/3=1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,\cdots }$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}\cos \left(2\pi {\frac {nk}{N}}\right)/N=1,0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{sequence with period }}N}$

これらの恒等式を証明するための標準的なアプローチの 1 つは、対応する1 の根にド・モアブルの公式を適用することです。このような列は、数論の研究において基礎となります。

一般化

ある数列が、先頭から有限個の項を削除することで周期的にできる場合、それは 最終的に周期的、あるいは究極的に周期的である^[1]。同様に、最後の条件は、あるrと十分に大きいkに対して、と述べることができる。例えば、1/56の10進展開における数字の列は最終的に周期的である。 ${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$

1 / 56 = 0 . 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 ...

数列の項が周期数列の項に近づく場合、その数列は漸近的に周期的である。つまり、数列x ₁、  x ₂、  x ₃、 ... は、周期数列a 1 、  a 2 、 a 3 、 ... が存在し、その数列a _{1 、} a ₂、  a ₃、 ... が存在する場合、漸近的に周期的である。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$^[3]

例えば、数列

1/3、2/3、1/4、3/4、1/5、4/5、…

は漸近的に周期的です。なぜなら、その項は周期列0、1、0、1、0、1、…の項に近づくからです。

参考文献

1. 「究極的に周期的な列」。数学百科事典。EMS Press。2001 [1994]。
2. Bosma, Wieb. 「周期列の計算量」（PDF）。www.math.ru.nl 。2021年8月13日閲覧
3. Janglajew, Klara; Schmeidel, Ewa (2012-11-14). 「非同次線形差分方程式の解の周期性」. Advances in Difference Equations . 2012 (1): 195. doi : 10.1186/1687-1847-2012-195 . ISSN  1687-1847. S2CID  122892501
4. Beck, Matthias; Robins, Sinai. 「第7章 有限フーリエ解析」.離散的な連続体の計算：多面体における整数点の列挙. 学部生向け数学テキスト. ニューヨーク：Springer. pp.  123– 137. doi :10.1007/978-0-387-46112-0_7. ISBN 9780387291390。
5. Hosch, William L. (2018年6月1日). 「有理数」.ブリタニカ百科事典. 2021年8月13日閲覧。

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