滑らかな射影

代数幾何学では、スキーム間の射が 滑らかであるとは、 ${\displaystyle f:X\to S}$

• （i）局所的に有限の表示である
• （ii）平坦であり、
• (iii) すべての幾何学的点 に対して繊維は規則的である。 ${\displaystyle {\overline {s}}\to S}$ ${\displaystyle X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}}$

(iii) は、 fの各幾何繊維が（分離されている場合）非特異多様体であることを意味する。したがって、直感的に言えば、滑らかな射は非特異多様体の平坦な族を与える。

Sが代数的に閉じた体のスペクトルであり、fが有限型である場合、非特異多様体の定義が回復されます。

特異多様体は、近傍の繊維がすべて滑らかになるように平坦な族に当てはめられる場合、平滑化可能と呼ばれます。そのような族は、多様体の平滑化と呼ばれます。

同等の定義

滑らかな射には同値な定義が多数存在します。が局所的に有限表示であるとします。すると、以下の定義は同値になります。 ${\displaystyle f:X\to S}$

1. fは滑らかです。
2. fは形式的に滑らかです (下記参照)。
3. fは平坦であり、相対微分層の階層は の相対次元に等しい階数から局所的に自由である。 ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle X/S}$
4. 任意の に対して、 x の近傍と の近傍が存在し、のm 行 m 列の小行列式によって生成されるイデアルはBです。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})}$ ${\displaystyle (\partial P_{i}/\partial t_{j})}$
5. 局所的には、f はgがétale であるところに因数分解されます。 ${\displaystyle X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S}$

有限型の射は、滑らかかつ準有限である場合にのみエタールになります。

滑らかな射影は、基底の変化と合成に対して安定です。

滑らかな射影は普遍的に局所的に非巡回です。

例

滑らかな射影は、微分幾何学における滑らかな沈み込みに幾何学的に対応すると考えられています。つまり、それらはある基本空間上の滑らかな局所的に自明なファイバリングです (エーレスマンの定理により)。

点への滑らかな射影

をスキームの射とする ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

ヤコビ行列はヤコビ行列条件を満たすため滑らかである。

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

多項式と交差する点では消える。なぜなら ${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

どちらもゼロではありません。

自明なファイバリング

滑らかなスキーム が与えられた場合、射影写像 ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\times X\to X}$

滑らかです。

ベクトル束

スキーム上の任意のベクトル束 は滑らかな射影である。例えば、スキーム上のベクトル束は重み付き射影空間から点を引いたものであることが示される。 ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

送信

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

直和バンドルはファイバー積を使って構築できる ことに注意する ${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

分離可能なフィールド拡張

体拡張は 、プレゼンテーションが与えられた場合に限り分離可能と呼ばれることを思い出してください。 ${\displaystyle K\to L}$

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

となる。この定義をケーラー微分の観点から次のように再解釈することができる。体拡大が分離可能であるのは、 ${\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1}$

${\displaystyle \Omega _{L/K}=0.}$

これにはすべての完全体、つまり有限体と特性0 の体が含まれることに注意してください。

非例

特異変種

射影多様体 の基礎代数 を考える場合、 のアフィン錐と呼ばれる原点は常に特異である。例えば、の五次多様体 のアフィン錐を考える。 ${\displaystyle \operatorname {Spec} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

するとヤコビ行列は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

は原点で消滅するため、円錐は特異である。このようなアフィン超曲面は、比較的単純な代数でありながら豊富な基礎構造を持つことから、特異点理論でよく用いられる。

特異多様体のもう一つの例は、滑らかな射影多様体の射影錐である。滑らかな射影多様体が与えられたとき、その射影錐は、交線上のすべての直線の和集合となる。例えば、点の射影錐は、 ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

計画は

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

チャートを見ればこれがその仕組みだ ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

これをアフィン直線 に投影すると、これは原点で退化する4点の族となる。この方式の非特異性は、ヤコビ条件を用いて確認することもできる。 ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$

退廃する家族

フラットファミリーを考えてみましょう

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

すると、原点を除くすべての繊維は滑らかになります。滑らかさは基底変化に対して安定であるため、この族は滑らかではありません。

非分離体拡張

例えば、体は非可分であるため、スキームの射は滑らかではない。体拡大の最小多項式を見ると、 ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

すると、ケーラー微分はゼロ以外になります。 ${\displaystyle df=0}$

形式的に滑らかな射影

滑らかさは幾何学を参照することなく定義できます。S -スキームXが形式的に滑らかであるとは、任意のアフィンS -スキームTと、冪零イデアルによって与えられたTのサブスキームに対して、が射影的（ここで と記す）であることを意味します。すると、有限表示の局所的射が滑らかであることと、それが形式的に滑らかであることは同値です。 ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle X(T)\to X(T_{0})}$ ${\displaystyle X(T)=\operatorname {Hom} _{S}(T,X)}$

「形式的に滑らか」の定義において、全射を全単射（それぞれ「単射」）に置き換えると、形式的にエタール（それぞれ形式的に非分岐）の定義が得られます。

スムーズなベースチェンジ

S をスキームとし、構造写像 の像を表すものとする。滑らかな基底変換定理は、を 上の準コンパクト射、滑らかな射、および捩れ層とする。 の任意の に対して が単射であるならば、基底変換射は同型となる。 ${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$ ${\displaystyle S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle g:S'\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{\text{et}}}$ ${\displaystyle 0\neq p}$ ${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$ ${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

参照

• 滑らかな代数
• 通常の埋め込み

参考文献

• JS ミルン(2012)。 「エタールコホモロジー講義」
• JSミルン著『エタール・コホモロジー』、プリンストン数学叢書第33巻、プリンストン大学出版局、プリンストン、ニュージャージー州、1980年。

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