Physical law: force needed to deform a spring scales linearly with distance
フックの法則：力は伸びに比例する ブルドン管はフックの法則に基づいています。上部のコイル状の金属管内のガス 圧力 によって生じる力は、 圧力に比例した量だけ管を巻き戻します。 多くの機械式時計の心臓部であるテンプ は 、フックの法則に基づいています。コイルばねによって発生するトルクはテンプの回転角度に比例するため、テンプの振動周期はほぼ一定です。 物理学 において 、 フックの法則は、 バネ をある距離 ( x )だけ 伸縮させるために必要な 力 ( F )はその距離に対して 直線的に 増減するという 経験法則 です。つまり、 F s = kx であり、 k はバネに特有の定数係数 (つまり、バネの 剛性 ) であり 、 x は バネの可能な総変形量に比べて小さい値です。
この法則は、17世紀のイギリスの物理学者 ロバート・フック にちなんで名付けられました。彼は1676年にこの法則をラテン語の アナグラム として初めて提唱しました。 [1] [2]彼は1678 年 にこのアナグラムの解を「 ut tensio, sic vis 」（「伸びれば力も比例する」または「伸びは力に比例する」） として発表しました。1678年の著作の中で、フックは1660年からこの法則に気づいていたと述べています。これは、 バネ秤 、圧力 計 、 検流計 、そして 機械式時計 の テンプ の基本原理です。
この式は、弾性 体が 変形する 多くの状況で成立します 。この式が成り立つ弾性体または材料は、 線形弾性体 または フック型 と呼ばれます。フックの法則は、バネやその他の弾性体が加えられた力に対する実際の応答に対する 一次線形近似 です。力がある限界を超えると、この法則は成り立ちません。なぜなら、いかなる材料も、ある最小サイズを超えて圧縮したり、最大サイズを超えて引き伸ばしたりすると、何らかの永久変形または状態変化が生じるからです。多くの材料は、 弾性限界 に達するずっと前から、フックの法則から著しく逸脱します。
意味 現代の 弾性理論は フックの法則を一般化し、 弾性体または材料の ひずみ（変形）は、それに加えられた 応力 に比例するとしています。しかし、一般的な応力とひずみは複数の独立した成分を持つ場合があるため、「比例係数」はもはや単一の実数ではなく、実数の 行列 で表せる 線形写像 （ テンソル ）となる可能性があります。
この一般的な形では、フックの法則は、複雑な物体のひずみと応力の関係を、その材料の固有の特性に基づいて推論することを可能にします。例えば、均一な 断面を持つ 均質な 棒は、 伸張すると単純なバネのように振舞い、その剛性 k は断面積に正比例し、長さに反比例することが分かります。
線形ばね ばねの伸びと圧縮 単純ならせんばねを考えてみましょう。 この ばねの一端は固定された物体に固定されており、自由端は大きさ F s の力によって引っ張られています。ばねは平衡 状態に達し 、長さが変化しなくなったと仮定します。x は、 ばね の自由端が「弛緩」状態（伸びていない状態）から変位した量とします。フックの法則によれば、 F s = k x {\displaystyle F_{s}=kx} となります。これは、 k がばねの特性を表す正の実数で
ある場合に等価 です。コイル間に隙間のあるばねは圧縮することができ、圧縮の場合も同じ式が成り立ちます。 その場合、 F s と xはともに負の値となります。 [4] x = F s k {\displaystyle x={\frac {F_{s}}{k}}}
グラフ導出 この式によれば、 変位 x の関数として作用する力 F s のグラフは、 原点 を通る直線となり 、その 傾きは k となります 。
バネに関するフックの法則は、 F s が バネの自由端を引っ張る物体に及ぼす復元力 であるという慣例に基づいても述べられます 。この場合、復元力の方向は変位の方向と逆であるため、式は次のようになります 。 F s = − k x {\displaystyle F_{s}=-kx}
ねじりばね フックの法則の ねじり ばねへの類似は 、ねじりばね にも適用されます。これは、物体を回転させるために必要なトルク（τ）は、平衡位置からの角度変位（θ）に正比例することを述べています。これは、物体に加えられるトルクと、ねじりによる結果として生じる角度 変形 との関係を記述しています。数学的には、次のように表すことができます。
τ = − k θ {\displaystyle \tau =-k\theta } どこ：
線形の場合と同様に、この法則は、トルクが角変位に比例することを示しており、負の符号は、トルクが角変位と反対方向に作用し、システムを平衡状態に戻す復元力を提供することを示しています。
一般的な「スカラー」スプリング フックのバネの法則は、変形と応力の両方が正と負の両方をとる単一の数値で表現できる限り、通常、任意の複雑さの弾性物体に適用されます。
たとえば、2 枚の平行なプレートに取り付けられたゴムのブロックが、伸張や圧縮ではなく せん断 によって変形する場合、せん断力 F s とプレートの横方向の変位 x は フックの法則に従います (変形が十分に小さい場合)。
フックの法則は、両端で支えられた直線状の鉄筋またはコンクリート梁（建物に用いられるようなもの）が、中間点に置かれた重り F によって曲げられる場合にも適用されます。この場合の変位 x は、梁の無荷重時の形状に対する、横方向の変位です。
軸 に沿って伸長または圧縮されるらせんばねの場合 、作用する（または復元する）力と、その結果生じる伸長または圧縮は同じ方向（つまり、その軸の方向）を持ちます。したがって、 F s と xを ベクトル として定義した場合でも 、フックの 方程式は成立し、力のベクトルは 伸長 ベクトル に固定のスカラーを乗じたもので あると示します 。
弾性体の中には、方向の異なる力を受けると、一方向に変形するものがあります。一例として、垂直でも水平でもない横方向の荷重によって曲げられた、正方形ではない長方形の断面を持つ水平の木製梁が挙げられます。このような場合、 変位 xの 大きさは 、力 F s の方向が同じである限り（そしてその値が大きすぎない限り）、 力 F sの大きさに比例します。したがって、フックの法則のスカラーバージョン F s = − kx が成り立ちます。ただし、力のベクトルと変位の ベクトルは 方向が異なるため、互いのスカラー倍にはなりません。さらに、それらの大きさの比 kは、ベクトル F s の方向によって異なります 。
しかし、このような場合、 力と変形ベクトルが十分に小さい限り、両者の間には固定された 線形関係 がしばしば存在します。つまり、ベクトルからベクトルへの 関数 κが存在し、任意 の実数 α 、 β 、および任意の変位ベクトル X 1 、 X 2 に対して 、 F = κ ( X ) 、 κ ( α X 1 + β X 2 ) = α κ ( X 1 ) + β κ ( X 2 ) が 成り立ち ます 。 この よう な 関数は（2次） テンソル と呼ばれます。
任意の直交座標系 において、力ベクトルと変位ベクトルは3×1 の実数 行列 で表すことができます。そして、それらを結ぶテンソル κは、実係数の3×3行列 κ で表され 、これに変位ベクトルを 乗じる ことで、力ベクトルが得られます。
F = [ F 1 F 2 F 3 ] = [ κ 11 κ 12 κ 13 κ 21 κ 22 κ 23 κ 31 κ 32 κ 33 ] [ X 1 X 2 X 3 ] = κ X {\displaystyle \mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X} }
つまり、 i = 1, 2, 3 の場合です 。したがって、フックの法則 F = κ X は、 X と F が可変方向のベクトルである場合にも成立すると言えます 。ただし、物体の剛性は単一の実数 k ではなく、テンソル κ です。 F i = κ i 1 X 1 + κ i 2 X 2 + κ i 3 X 3 {\displaystyle F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}}
(a) ポリマーナノスプリングの模式図。コイル半径R、ピッチP、スプリングの長さL、巻き数Nはそれぞれ2.5 μm、2.0 μm、13 μm、4である。ナノスプリングの電子顕微鏡写真。荷重前（be）、伸長時（f）、圧縮時（g）、曲げ時（h）、復元時（i）。スケールバーはすべて2 μm。スプリングは印加力に対して線形応答を示し、ナノスケールにおけるフックの法則の妥当性を実証している。 [5] 連続した 弾性材料（ゴムのブロック、 ボイラー の壁、鉄の棒など）内部の材料の応力と歪みは 、数学的にはフックのバネの法則に類似した線形関係によって結び付けられており、その名前で呼ばれることがよくあります。
しかし、固体媒体のある点の周りのひずみ状態は、単一のベクトルで記述することはできません。同じ物質塊は、たとえどれほど小さくても、異なる方向に同時に圧縮、伸張、せん断を受ける可能性があります。同様に、その塊内の応力は、同時に押す、引く、せん断する作用を及ぼす可能性があります。
この複雑さを捉えるためには、点の周囲の媒質の状態を、2つの2次テンソル、すなわち ひずみテンソル ε （変位 X の代わりに）と 応力テンソル σ （復元力 F の代わりに）で表す必要があります。連続媒質におけるフックのバネの法則の類似体は、次のようになります。ここで、 c は 4次テンソル（つまり、2次テンソル間の線形写像）であり、通常は 剛性テンソル または 弾性テンソル と呼ばれます。これは次のように書くこともできます。 ここで、テンソル s は コンプライアンステンソル と呼ばれ 、前述の線形写像の逆写像を表します。 σ = c ε , {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},} ε = s σ , {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},}
直交座標系では、応力テンソルとひずみテンソルは3×3行列で表すことができる。
ε = [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 21 ε 22 ε 23 ε 31 ε 32 ε 33 ] ; σ = [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 ] {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}
9つの数値σ ij と9つの数値 ε kl 間の線形写像であるため 、剛性テンソル c は 3 × 3 × 3 × 3 = 81 個 の実数 c ijkl の行列で表されます 。フックの法則によれば、 i , j = 1,2,3 となります。 σ i j = ∑ k = 1 3 ∑ l = 1 3 c i j k l ε k l {\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}
これら3つのテンソルは、一般的に媒質内の点ごとに変化し、時間とともに変化することもあります。ひずみテンソル ε は、点近傍における媒質粒子の変位のみを規定しますが、応力テンソル σ は 、媒質の隣接する粒子が互いに及ぼす力を指定します。したがって、これらは材料の組成や物理的状態とは無関係です。 一方、剛性テンソル c は 材料の特性であり、温度、圧力 、 微細構造 などの物理的状態変数に依存することがよくあります。
σ 、 ε 、 c の固有の対称性により 、後者の弾性係数の独立した数は 21 のみです。 [6] この数は、材料の対称性によってさらに減少します。 斜方晶の場合は 9、 六方 晶構造の場合は 5 、 立方 対称の場合は 3 です。 [7] 等方性 媒体（どの方向でも同じ物理的特性を持つ） の場合、 c は 、体積弾性率 K と せん断弾性率 G という2 つの独立した数値にのみ減少します 。これらは、それぞれ体積変化とせん断変形に対する材料の抵抗を定量化します。
類似の法律 フックの法則は 2 つの量の間の単純な比例関係であるため、その公式と結果は、流体 の運動 や 電界 による 誘電体 の 分極を 記述する法則など、他の多くの物理法則の公式と数学的に類似しています。
特に、弾性応力とひずみを関連付けるテンソル方程式 σ = cε は、粘性 流体の流れにおける 粘性応力テンソル τ と ひずみ速度テンソル ε̇ を関連付ける 方程式 τ = με̇ と完全に類似しています。ただし、前者は 静的応力 (変形 量 に関連 ) に関連し、後者は 動的応力 (変形 速度 に関連 ) に関連します。
測定単位 SI単位 では 、変位はメートル（m）、力は ニュートン （Nまたはkg·m/s 2 ）で測定されます。したがって、バネ定数 k とテンソル κ の各要素は、ニュートン毎メートル（N/m）、またはキログラム毎秒の2乗（kg/s 2 ）で測定されます。
連続媒体の場合、応力テンソル σ の各要素は力を面積で割った値です。したがって、圧力の単位、つまり パスカル (Pa、N/m 2 、kg/(m·s 2 )) で測定されます。ひずみテンソル ε の要素は 無次元 です(変位を距離で割った値)。したがって、 c ijkl の各要素 も圧力の単位で表されます。
弾性材料への一般的な応用 低炭素鋼の 応力-ひずみ曲線。 応力 （単位面積あたりの力）と ひずみ （結果として生じる圧縮/伸長、いわゆる変形）の関係を示しています。フックの法則は、原点から降伏点（2）までの曲線部分でのみ有効です。 見かけの応力（ F / A 0 ） 実応力（ F / A ） （ ） 力によって変形された後、その物質の分子または原子が初期の安定した平衡状態に戻り、すぐに元の形状に戻る物体は、多くの場合フックの法則に従います。
フックの法則は、特定の荷重条件下では一部の材料にのみ適用されます。鋼はほとんどの工学用途において線形弾性挙動を示し、フックの法則は鋼の 弾性範囲 全体（すなわち、 降伏強度 以下の応力）において有効です。アルミニウムなどの他の材料では、フックの法則は弾性範囲の一部においてのみ有効です。これらの材料では比例 限界 応力が定義されており、それ以下では線形近似に伴う誤差は無視できます。
ゴムは、その弾性が応力に依存し、温度と荷重率に敏感であるため、一般に「非フック」材料と見なされています。
大変形 の場合のフックの法則の一般化は、 新フック固体 と ムーニー・リブリン固体 のモデルによって提供されます 。
弾性 材料の棒は線形 ばね とみなすことができます 。棒の長さは L 、断面積は A です。その 引張応力 σは、 弾性係数 E によって、その分数伸びまたはひずみ ε に比例します 。 σ = E ε . {\displaystyle \sigma =E\varepsilon .}
弾性率はしばしば一定とみなされます。つまり、 （つまり長さの変化率）は一定であり、 以下の式が成り立ちます。 ε = Δ L L {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta L}{L}}} σ = F A , {\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}\,,}
ε = σ E = F A E . {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.}
長さの変化は次のように表される。
Δ L = ε L = F L A E . {\displaystyle \Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.}
春のエネルギー バネに蓄えられた 位置エネルギー U el ( x ) は、バネを徐々に圧縮するのに必要なエネルギーを加算することで得られる。つまり、力と変位の積分である。外力は変位とほぼ同一の方向を向いているため、バネの位置エネルギーは常に非負である。代入すると 、 U e l ( x ) = 1 2 k x 2 {\displaystyle U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}} x = F / k {\displaystyle x=F/k} U e l ( F ) = F 2 2 k . {\displaystyle U_{\mathrm {el} }(F)={\frac {F^{2}}{2k}}.}
このポテンシャル U el は 、 Ux 平面上の 放物線 として視覚化することができ 、 U el ( x ) = 1 / 2 kx 2 。バネが正のx 方向に伸びると 、位置エネルギーは放物線状に増加します（バネが圧縮されるときも同じことが起こります）。位置エネルギーの変化は一定の割合で変化するため、 変位と加速度がゼロの場合でも、 U の変化は一定であることに注意してください d 2 U e l d x 2 = k . {\displaystyle {\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.}
緩和力定数（一般化コンプライアンス定数） 緩和力定数（一般化コンプライアンス定数 の逆数 ）は、通常の「固定」力定数とは対照的に、分子系に対して独自に定義されます。そのため、これを用いることで、 化学反応の 反応物 、 遷移状態 、生成物について計算された力場間の意味のある相関関係を求めることができ ます。 ポテンシャルエネルギーが 内部座標において二次形式で表せるのと同様に、一般化力を用いて表すこともできます。得られた係数は コンプライアンス定数 と呼ばれます。分子の任意の内部座標について、通常モード解析を行うことなくコンプライアンス定数を直接計算する方法があります。 [8] 緩和力定数（逆コンプライアンス定数）が 共有結合 強度記述子として適していることは、1980年代初頭に実証されています。最近では、非共有結合強度記述子としての適性も実証されています。 [9]
調和振動子 バネで吊り下げられた質量は、調和振動子の典型的な例である。 バネの端に取り付けられた 質量 mは、 調和振動子 の典型的な例です。質量をわずかに引っ張ってから放すと、系は平衡位置を中心に 正弦波状の振動運動を開始します。バネがフックの法則に従い、 摩擦 とバネの質量を無視できる限り 、振動の振幅は一定に保たれます。そして、その 周波数 f は振幅とは無関係で、バネの質量と剛性のみによって決まります。
この現象 により、船舶や個人のポケットに収納できる
高精度の 機械式時計 や腕時計
の製造が可能になりました。 f = 1 2 π k m {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}
無重力空間での回転 質量 m が力定数 k のバネに取り付けられ 、自由空間で回転する場合、バネの張力 ( F t ) によって必要な求心力 ( F c )が供給されます 。
F t = k x ; F c = m ω 2 r {\displaystyle F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r} F t = F c かつ x = r なので 、 ω = 2π f とすると 、上記と同じ周波数方程式が得られます。 k = m ω 2 {\displaystyle k=m\omega ^{2}} f = 1 2 π k m {\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}
等方性材料 等方性材料は 、空間方向に依存しない特性を持つ。したがって、等方性材料を含む物理方程式は、それらを表現する座標系に依存しない必要がある。ひずみテンソルは対称テンソルである。任意のテンソルの トレースは どの座標系にも依存しないため、対称テンソルの最も完全な座標フリー分解は、定数テンソルとトレースレス対称テンソルの和として表すことである。 [10] したがって、 指数表記 では：
ε i j = ( 1 3 ε k k δ i j ) + ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)} ここで δ ij はクロネッカーのデルタ である 。直接テンソル表記では次のようになる。 ε = vol ( ε ) + dev ( ε ) ; vol ( ε ) = 1 3 tr ( ε ) I ; dev ( ε ) = ε − vol ( ε ) {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}
ここで、 I は 2 次単位テンソルです。
右側の最初の項は定数テンソル（ 体積ひずみテンソル とも呼ばれる）であり、2 番目の項はトレースレス対称テンソル（ 偏差ひずみテンソル またはせん断テンソルとも呼ばれる）です。
等方性材料に対するフックの法則の最も一般的な形は、次の 2 つのテンソルの線形結合として表すことができます。
σ i j = 3 K ( 1 3 ε k k δ i j ) + 2 G ( ε i j − 1 3 ε k k δ i j ) ; σ = 3 K vol ( ε ) + 2 G dev ( ε ) {\displaystyle \sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})} ここで、 K は 体積弾性率 、 Gは せん断弾性率 です 。
弾性係数 の関係を用いることで 、これらの式は様々な方法で表現することができる。等方性材料におけるフックの法則の一般的な形式は、直接テンソル表記で表すと [11]となる。
σ = λ tr ( ε ) I + 2 μ ε = c : ε ; c = λ I ⊗ I + 2 μ I {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I}}} ここで λ = K − 2 / 3 G = c 1111 − 2 c 1212 および μ = G = c 1212 は ラメ定数 、 I は2階単位テンソル、 I は 4階単位テンソルの対称部分です。指数表記では次のようになります。 σ i j = λ ε k k δ i j + 2 μ ε i j = c i j k l ε k l ; c i j k l = λ δ i j δ k l + μ ( δ i k δ j l + δ i l δ j k ) {\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}\right)}
逆の関係は [12]
ε = 1 2 μ σ − λ 2 μ ( 3 λ + 2 μ ) tr ( σ ) I = 1 2 G σ + ( 1 9 K − 1 6 G ) tr ( σ ) I {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }
したがって、関係 ε = s : σ におけるコンプライアンステンソルは
s = − λ 2 μ ( 3 λ + 2 μ ) I ⊗ I + 1 2 μ I = ( 1 9 K − 1 6 G ) I ⊗ I + 1 2 G I {\displaystyle {\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}}
ヤング率 と ポアソン比の 観点から 、等方性材料に対するフックの法則は次のように表される。
ε i j = 1 E ( σ i j − ν ( σ k k δ i j − σ i j ) ) ; ε = 1 E ( σ − ν ( tr ( σ ) I − σ ) ) = 1 + ν E σ − ν E tr ( σ ) I {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} }
これは、ひずみを工学的に応力テンソルで表した形です。展開形は、 E が ヤング率 、 ν が ポアソン比で あるときに、次の式で表されます 。（ 3次元弾性 を参照）。 ε 11 = 1 E ( σ 11 − ν ( σ 22 + σ 33 ) ) ε 22 = 1 E ( σ 22 − ν ( σ 11 + σ 33 ) ) ε 33 = 1 E ( σ 33 − ν ( σ 11 + σ 22 ) ) ε 12 = 1 2 G σ 12 ; ε 13 = 1 2 G σ 13 ; ε 23 = 1 2 G σ 23 {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu (\sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23}\end{aligned}}}
3次元におけるフックの法則の導出 フックの法則の3次元形は、ポアソン比とフックの法則の1次元形を用いて以下のように導出できる。ひずみと応力の関係を、荷重方向の伸張（1）と、荷重に垂直な方向の収縮（2と3）という2つの効果の重ね合わせとして考える。 ここで、 ν はポアソン比、 E はヤング率である。 ε 1 ′ = 1 E σ 1 , ε 2 ′ = − ν E σ 1 , ε 3 ′ = − ν E σ 1 , {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'&={\frac {1}{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{2}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\\\varepsilon _{3}'&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{1}\,,\end{aligned}}}
方向2と3の荷重についても同様の式が得られ 、 ε 1 ″ = − ν E σ 2 , ε 2 ″ = 1 E σ 2 , ε 3 ″ = − ν E σ 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{2}''&={\frac {1}{E}}\sigma _{2}\,,\\\varepsilon _{3}''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{2}\,,\end{aligned}}} ε 1 ‴ = − ν E σ 3 , ε 2 ‴ = − ν E σ 3 , ε 3 ‴ = 1 E σ 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{2}'''&=-{\frac {\nu }{E}}\sigma _{3}\,,\\\varepsilon _{3}'''&={\frac {1}{E}}\sigma _{3}\,.\end{aligned}}}
3つの場合を合計すると（ ε i = ε i ′ + ε i ″ + ε i ‴ ）、 νσを 1つ加算して減算すると、 σ 1 を解くと次の式が得られます。 ε 1 = 1 E ( σ 1 − ν ( σ 2 + σ 3 ) ) , ε 2 = 1 E ( σ 2 − ν ( σ 1 + σ 3 ) ) , ε 3 = 1 E ( σ 3 − ν ( σ 1 + σ 2 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{1}-\nu (\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}){\big )}\,,\end{aligned}}} ε 1 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 1 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) , ε 2 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 2 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) , ε 3 = 1 E ( ( 1 + ν ) σ 3 − ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{1}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{2}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )\sigma _{3}-\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}\,,\end{aligned}}} σ 1 = E 1 + ν ε 1 + ν 1 + ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) . {\displaystyle \sigma _{1}={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {\nu }{1+\nu }}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\,.}
合計を計算し
、それを σ 1 について解いた方程式に代入すると、 次のようになります
。 ここで 、μ と λは ラメパラメータ です 。 ε 1 + ε 2 + ε 3 = 1 E ( ( 1 + ν ) ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) − 3 ν ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) ) = 1 − 2 ν E ( σ 1 + σ 2 + σ 3 ) σ 1 + σ 2 + σ 3 = E 1 − 2 ν ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3}&={\frac {1}{E}}{\big (}(1+\nu )(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-3\nu (\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}){\big )}={\frac {1-2\nu }{E}}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})\\\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}&={\frac {E}{1-2\nu }}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\end{aligned}}} σ 1 = E 1 + ν ε 1 + E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) = 2 μ ε 1 + λ ( ε 1 + ε 2 + ε 3 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&={\frac {E}{1+\nu }}\varepsilon _{1}+{\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\\&=2\mu \varepsilon _{1}+\lambda (\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})\,,\end{aligned}}}
方向 2 と 3 を同様に処理すると、3 次元でのフックの法則が得られます。
等方性材料に対するフックの法則は、行列形式では次のように表すことができます。 ここで、 γ ij = 2 ε ij は工学的せん断ひずみ です 。逆の関係は次のように表され、 これはラメ定数によって簡略化されます。 ベクトル表記では、これは次のように表されます
。 ここで、 I は恒等テンソルです。 [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] = [ ε 11 ε 22 ε 33 γ 23 γ 13 γ 12 ] = 1 E [ 1 − ν − ν 0 0 0 − ν 1 − ν 0 0 0 − ν − ν 1 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν 0 0 0 0 0 0 2 + 2 ν ] [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}} [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) [ 1 − ν ν ν 0 0 0 ν 1 − ν ν 0 0 0 ν ν 1 − ν 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 0 0 0 0 0 0 1 − 2 ν 2 ] [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] = [ 2 μ + λ λ λ 0 0 0 λ 2 μ + λ λ 0 0 0 λ λ 2 μ + λ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ ] [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}} [ σ 11 σ 12 σ 13 σ 12 σ 22 σ 23 σ 13 σ 23 σ 33 ] = 2 μ [ ε 11 ε 12 ε 13 ε 12 ε 22 ε 23 ε 13 ε 23 ε 33 ] + λ I ( ε 11 + ε 22 + ε 33 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,=\,2\mu {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}+\lambda \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)}
平面応力 平面応力 条件下 では、 σ 31 = σ 13 = σ 32 = σ 23 = σ 33 = 0 となる。この場合、フックの法則は次のようになる。 [ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E 1 − ν 2 [ 1 ν 0 ν 1 0 0 0 1 − ν 2 ] [ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
ベクトル表記ではこれは次のようになる。 [ σ 11 σ 12 σ 12 σ 22 ] = E 1 − ν 2 ( ( 1 − ν ) [ ε 11 ε 12 ε 12 ε 22 ] + ν I ( ε 11 + ε 22 ) ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{1-\nu ^{2}}}\left((1-\nu ){\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}
逆関係は通常、簡約された形で書かれる。 [ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] = 1 E [ 1 − ν 0 − ν 1 0 0 0 2 + 2 ν ] [ σ 11 σ 22 σ 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{E}}{\begin{bmatrix}1&-\nu &0\\-\nu &1&0\\0&0&2+2\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}}
平面ひずみ 平面ひずみ 条件 では、 ε 31 = ε 13 = ε 32 = ε 23 = ε 33 = 0 となる。この場合、フックの法則は次のようになる。 [ σ 11 σ 22 σ 12 ] = E ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) [ 1 − ν ν 0 ν 1 − ν 0 0 0 1 − 2 ν 2 ] [ ε 11 ε 22 2 ε 12 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{bmatrix}1-\nu &\nu &0\\\nu &1-\nu &0\\0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}
異方性材料 コーシー応力テンソル （ σ ij = σ ji ）と一般化フックの法則（ σ ij = c ijkl ε kl ） の対称性は、 c ijkl = c jikl を意味します。同様に、微小ひずみテンソル の対称性は、 c ijkl = c ijlk を意味します。これらの対称性は、 剛性テンソル cの マイナー対称性 と呼ばれます 。これにより、弾性定数の数は81個から36個に減少します。
さらに、変位勾配とコーシー応力は仕事共役であるため、応力-ひずみ関係はひずみエネルギー密度汎関数 ( U ) から導出できます。 微分次数の任意性から、 c ijkl = c klij が成り立ちます。これらは剛性テンソルの 主要な対称性 と呼ばれます。これにより、弾性定数の数が36から21に減少します。主要な対称性と副次的な対称性は、剛性テンソルが21個の独立成分のみを持つことを示しています。 σ i j = ∂ U ∂ ε i j ⟹ c i j k l = ∂ 2 U ∂ ε i j ∂ ε k l . {\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial U}{\partial \varepsilon _{ij}}}\quad \implies \quad c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}\,.}
行列表現（剛性テンソル） フックの法則の異方性形式を行列記法（ フォークト記法とも呼ばれる）で表現することがしばしば有用である。これを行うには、応力テンソルとひずみテンソルの対称性を利用し、それらを直交座標系（ e 1 、 e 2 、 e 3 ） における6次元ベクトルとして次のように表す。 すると、剛性テンソル（ c ）は次のように表される。 [ σ ] = [ σ 11 σ 22 σ 33 σ 23 σ 13 σ 12 ] ≡ [ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] ; [ ε ] = [ ε 11 ε 22 ε 33 2 ε 23 2 ε 13 2 ε 12 ] ≡ [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}} [ c ] = [ c 1111 c 1122 c 1133 c 1123 c 1131 c 1112 c 2211 c 2222 c 2233 c 2223 c 2231 c 2212 c 3311 c 3322 c 3333 c 3323 c 3331 c 3312 c 2311 c 2322 c 2333 c 2323 c 2331 c 2312 c 3111 c 3122 c 3133 c 3123 c 3131 c 3112 c 1211 c 1222 c 1233 c 1223 c 1231 c 1212 ] ≡ [ C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 ] {\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}
フックの法則は次のように表される。
[ σ ] = [ C ] [ ε ] or σ i = C i j ε j . {\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.} 同様にコンプライアンステンソル（ s ）は次のように書ける。 [ s ] = [ s 1111 s 1122 s 1133 2 s 1123 2 s 1131 2 s 1112 s 2211 s 2222 s 2233 2 s 2223 2 s 2231 2 s 2212 s 3311 s 3322 s 3333 2 s 3323 2 s 3331 2 s 3312 2 s 2311 2 s 2322 2 s 2333 4 s 2323 4 s 2331 4 s 2312 2 s 3111 2 s 3122 2 s 3133 4 s 3123 4 s 3131 4 s 3112 2 s 1211 2 s 1222 2 s 1233 4 s 1223 4 s 1231 4 s 1212 ] ≡ [ S 11 S 12 S 13 S 14 S 15 S 16 S 12 S 22 S 23 S 24 S 25 S 26 S 13 S 23 S 33 S 34 S 35 S 36 S 14 S 24 S 34 S 44 S 45 S 46 S 15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 56 S 16 S 26 S 36 S 46 S 56 S 66 ] {\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36}\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}
座標系の変更 線形弾性材料を基準構成から別の構成に回転させた場合、回転した構成における剛性テンソルの成分が基準構成の成分と次の関係にあるとき、その材料は回転に対して対称である。 [13]
c p q r s = l p i l q j l r k l s l c i j k l {\displaystyle c_{pqrs}=l_{pi}l_{qj}l_{rk}l_{sl}c_{ijkl}} ここで、 l ab は 直交回転行列 [ L ] の成分である 。逆行列についても同様の式が成り立つ。
行列表記では、変換された基底（回転または反転）が参照基底と次のように関係している場合、
[ e i ′ ] = [ L ] [ e i ] {\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}
それから
C i j ε i ε j = C i j ′ ε i ′ ε j ′ . {\displaystyle C_{ij}\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}=C_{ij}'\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j}\,.} さらに、物質が変換[ L ] に関して対称である場合 、 C i j = C i j ′ ⟹ C i j ( ε i ε j − ε i ′ ε j ′ ) = 0 . {\displaystyle C_{ij}=C'_{ij}\quad \implies \quad C_{ij}(\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}-\varepsilon '_{i}\varepsilon '_{j})=0\,.}
直交異方性材料 直交異方性材料は3つの 直交 対称面を 持つ 。基底ベクトル（ e 1 、 e 2 、 e 3 ）が対称面の法線である場合、座標変換関係は次式を意味する。
[ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ] [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}} この関係の逆は一般的に [14] [ ページ必要 ] と書かれる
。 [ ε x x ε y y ε z z 2 ε y z 2 ε z x 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y − ν z x E z 0 0 0 − ν x y E x 1 E y − ν z y E z 0 0 0 − ν x z E x − ν y z E y 1 E z 0 0 0 0 0 0 1 G y z 0 0 0 0 0 0 1 G z x 0 0 0 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ z z σ y z σ z x σ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
E i は軸 iに沿った ヤング率 である。 G ij は、法線が方向i である平面上の 方向 jの せん断弾性係数 である。 ν ij は、方向i に拡張が適用されたときに方向 j の収縮に対応する ポアソン比 です 。 平面応力 条件下 では、 σ zz = σ zx = σ yz = 0 、直交異方性材料のフックの法則は次の形式になります
。 逆の関係は、 上記の剛性マトリックスの転置形式もよく使用されます。 [ ε x x ε y y 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y 0 − ν x y E x 1 E y 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ x y ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&0\\0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,.} [ σ x x σ y y σ x y ] = 1 1 − ν x y ν y x [ E x ν y x E x 0 ν x y E y E y 0 0 0 G x y ( 1 − ν x y ν y x ) ] [ ε x x ε y y 2 ε x y ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\frac {1}{1-\nu _{xy}\nu _{yx}}}{\begin{bmatrix}E_{x}&\nu _{yx}E_{x}&0\\\nu _{xy}E_{y}&E_{y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,.}
横方向等方性材料 横 方向等方性材料は、 対称軸を 中心とした回転に対して対称である 。このような材料の場合、 e 3 を対称軸とすると、フックの法則は次のように表される。 [ σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ] = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 11 C 13 0 0 0 C 13 C 13 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 11 − C 12 2 ] [ ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}
より一般的には、 x ≡ e 1 軸が対称軸とみなされ、逆フックの法則は次のように表される [15]。 [ ε x x ε y y ε z z 2 ε y z 2 ε z x 2 ε x y ] = [ 1 E x − ν y x E y − ν z x E z 0 0 0 − ν x y E x 1 E y − ν z y E z 0 0 0 − ν x z E x − ν y z E y 1 E z 0 0 0 0 0 0 1 G y z 0 0 0 0 0 0 1 G x z 0 0 0 0 0 0 1 G x y ] [ σ x x σ y y σ z z σ y z σ z x σ x y ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{yy}\\\varepsilon _{zz}\\2\varepsilon _{yz}\\2\varepsilon _{zx}\\2\varepsilon _{xy}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\frac {1}{E_{y}}}&-{\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\frac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xz}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}}
普遍弾性異方性指数 あらゆるクラスの異方性の程度を把握するために、 普遍弾性異方性指数 （AU） [16] が定式化されました。これは、 立方晶系結晶 に適した ツェナー比 に代わるものです。
熱力学的基礎 弾性体の線形変形は、断熱変形 として近似できます 。これらの条件下および準静的プロセスの場合、変形した物体に対する 熱力学第一法則は 次のように表すことができます
。 ここで、 δUは 内部エネルギー の増加 、 δW は外力によって行われた 仕事 です 。仕事は2つの項に分けることができ、 δW s は 表面力 によって行われた仕事 、 δW b は体積力 によって行われた仕事です 。δ u が 物体 内の 変位場 u の変化 である場合、2つの外力項は次のように表すことができます。 ここで、 t は表面 牽引力 ベクトル、 b は体積力ベクトル、 Ω は物体、 ∂ Ω はその表面を表します。 コーシー応力 と表面張力の 関係、 t = n · σ （ここで n は∂Ω の外向きの法線方向の単位 ） を用いると、次の式が得られる。 発散定理 を用いて 面積分を 体積積分 に 変換すると、次の式 が得られる 。コーシー応力の対称性と恒等式を用いると、 次の式が得られる。 δ W = δ U {\displaystyle \delta W=\delta U} δ W = δ W s + δ W b {\displaystyle \delta W=\delta W_{\mathrm {s} }+\delta W_{\mathrm {b} }} δ W s = ∫ ∂ Ω t ⋅ δ u d S ; δ W b = ∫ Ω b ⋅ δ u d V {\displaystyle \delta W_{\mathrm {s} }=\int _{\partial \Omega }\mathbf {t} \cdot \delta \mathbf {u} \,dS\,;\qquad \delta W_{\mathrm {b} }=\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV} δ W = δ U = ∫ ∂ Ω ( n ⋅ σ ) ⋅ δ u d S + ∫ Ω b ⋅ δ u d V . {\displaystyle \delta W=\delta U=\int _{\partial \Omega }(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }})\cdot \delta \mathbf {u} \,dS+\int _{\Omega }\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} \,dV\,.} δ U = ∫ Ω ( ∇ ⋅ ( σ ⋅ δ u ) + b ⋅ δ u ) d V . {\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\big (}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \delta \mathbf {u} )+\mathbf {b} \cdot \delta \mathbf {u} {\big )}\,dV\,.} ∇ ⋅ ( a ⋅ b ) = ( ∇ ⋅ a ) ⋅ b + 1 2 ( a T : ∇ b + a : ( ∇ b ) T ) {\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=(\nabla \cdot \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} +{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {a} ^{\mathsf {T}}:\nabla \mathbf {b} +\mathbf {a} :(\nabla \mathbf {b} )^{\mathsf {T}}\right)}
δ U = ∫ Ω ( σ : 1 2 ( ∇ δ u + ( ∇ δ u ) T ) + ( ∇ ⋅ σ + b ) ⋅ δ u ) d V . {\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }\left({\boldsymbol {\sigma }}:{\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)+\left(\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} \right)\cdot \delta \mathbf {u} \right)\,dV\,.} ひずみ の定義と 平衡 方程式から、 次の式が得られます。 したがって、次のように書くことができ
、したがって 内部エネルギー 密度
の変化は次のように 与えられます。弾性材料とは、 全 内部エネルギーが 内部力の 位置エネルギー（ 弾性ひずみエネルギーとも呼ばれる）に 等しい 材料として定義されます。したがって、内部エネルギー密度はひずみの関数、 U 0 = U 0 ( ε ) であり、内部エネルギーの変化は次のように表すことができます。ひずみ の変化は任意であるため、弾性材料の応力とひずみの関係は次のように与えられます。 線形弾性材料の場合、量は δ ε = 1 2 ( ∇ δ u + ( ∇ δ u ) T ) ; ∇ ⋅ σ + b = 0 . {\displaystyle \delta {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\nabla \delta \mathbf {u} +(\nabla \delta \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)\,;\qquad \nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {b} =\mathbf {0} \,.} δ U = ∫ Ω σ : δ ε d V {\displaystyle \delta U=\int _{\Omega }{\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,dV} δ U 0 = σ : δ ε . {\displaystyle \delta U_{0}={\boldsymbol {\sigma }}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.} δ U 0 = ∂ U 0 ∂ ε : δ ε . {\displaystyle \delta U_{0}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}:\delta {\boldsymbol {\varepsilon }}\,.} σ = ∂ U 0 ∂ ε . {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {\partial U_{0}}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}\,.} ∂ U 0 / ∂ ε は ε の線形関数である ため、次のように表すことができます。 ここで c は材料定数の4階テンソルで、 剛性テンソルとも呼ばれます。線形弾性材料の場合、 c が 4階テンソルである 理由は 指数表記で σ = c : ε {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}} ∂ ∂ ε σ ( ε ) = constant = c . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}}}{\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})={\text{constant}}={\mathsf {c}}\,.} ∂ σ i j ∂ ε k l = constant = c i j k l . {\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial \varepsilon _{kl}}}={\text{constant}}=c_{ijkl}\,.}
右辺の定数は4つの添え字を必要とし、4階数の量です。また、この量はひずみテンソルを応力テンソルに変換する線形変換であるため、テンソルでなければならないこともわかります。また、この定数は4階数テンソルのテンソル変換規則に従うことも示せます。
参照
注記 ^ アナグラムはアルファベット順に記されており、 ceiiinosssttuv は Ut tensio, sic vis （「外延に比例して力も大きくなる」） を表します。Petroski , Henry (1996). Invention by Design: How Engineers Get from Thought to Thing . Cambridge, MA: Harvard University Press. p. 11. ISBN 978-0-674-46368-4 。 ^ http://civil.lindahall.org/design.shtml を参照してください。そこには catenary のアナグラムも見つかります 。 ^ ロバート・フック 『回復力について』（De Potentia Restitutiva, or of Spring. Explaining the Power of Springing Bodies） ロンドン 、1678年。 ^ ヤング、ヒュー・D.、フリードマン、ロジャー・A.、フォード、A.ルイス (2016). シアーズとゼマンスキーの『大学物理学：現代物理学と共に』 （第14版）. ピアソン. p. 209. ^ 牛場翔太;増井京子；田口夏雄；浜野 智樹；川田 聡；庄司 悟 (2015) 「コイルスプリング形状のポリマーナノワイヤのサイズ依存性ナノメカニクス」。 科学的報告書 。 5 17152。 ビブコード :2015NatSR...517152U。 土井 ：10.1038/srep17152。 PMC 4661696 。 PMID 26612544。 ^ ベレンキー;サラエフ（1988）。 「層状結晶の変形効果」。 ウスペキ・フィジチェスキフ・ナウク 。 155 (5): 89. 土井 : 10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 。 ^ Mouhat, Félix; Coudert, François-Xavier (2014年12月5日). 「様々な結晶系における必要かつ十分な弾性安定条件」. Physical Review B. 90 ( 22) 224104. arXiv : 1410.0065 . Bibcode :2014PhRvB..90v4104M. doi :10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN 1098-0121. S2CID 54058316. ^ Vijay Madhav, M.; Manogaran, S. (2009). 「冗長内部座標におけるコンプライアンス定数の再検討と新たな知見」 J. Chem. Phys . 131 (17): 174112– 174116. Bibcode :2009JChPh.131q4112V. doi :10.1063/1.3259834. PMID 19895003. ^ Ponomareva, Alla; Yurenko, Yevgen; Zhurakivsky, Roman; Van Mourik, Tanja; Hovorun, Dmytro (2012). 「HIV-1逆転写酵素阻害剤候補d4Uおよびd4Cの完全なコンフォメーション空間．量子化学的研究」. Phys. Chem. Chem. Phys . 14 (19): 6787– 6795. Bibcode :2012PCCP...14.6787P. doi :10.1039/C2CP40290D. PMID 22461011. ^ サイモン、キース・R. (1971). 「第10章 力学 」マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェスレー. ISBN 978-0-201-07392-8 。 ^ Simo, JC; Hughes, TJR (1998). 計算非弾性 . Springer. ISBN 978-0-387-97520-7 。 ^ ミルトン、グレアム・W. (2002). 『複合材料の理論 』. ケンブリッジ応用数学・計算数学モノグラフ. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-78125-1 。 ^ スローター、ウィリアム・S. (2001). 弾性の線形化理論 . ビルクハウザー. ISBN 978-0-8176-4117-7 。 ^ Boresi, AP; Schmidt, RJ; Sidebottom, OM (1993). Advanced Mechanics of Materials (第5版). Wiley. ISBN 978-0-471-60009-1 。 ^ Tan, SC (1994). 積層複合材料における応力集中 . ランカスター, ペンシルバニア州: Technomic Publishing Company. ISBN 978-1-56676-077-5 。 ^ Ranganathan, SI; Ostoja-Starzewski, M. (2008). 「普遍弾性異方性指数」. Physical Review Letters . 101 (5): 055504–1–4. Bibcode :2008PhRvL.101e5504R. doi :10.1103/PhysRevLett.101.055504. PMID 18764407. S2CID 6668703.
参考文献 フックの法則 - ファインマン物理学講義 フックの法則 - 古典力学 - 物理学 - MIT OpenCourseWare
外部リンク スプリングスとフックの法則を説明する JavaScript アプレット スプリングフォースのデモを行うJavaScriptアプレット
体積弾性率 （ ） K {\displaystyle K} ヤング率 （ ） E {\displaystyle E} ラメの最初のパラメータ （ ） λ {\displaystyle \lambda } せん断弾性率 （ ） G , μ {\displaystyle G,\mu } ポアソン比 （ ） ν {\displaystyle \nu } P波係数 （ ） M {\displaystyle M}
変換式 均質等方性線形弾性材料の弾性特性は、これらのうちの任意の 2 つの係数によって一意に決定されます。したがって、任意の 2 つの係数が与えられれば、他の任意の弾性係数は、3D 材料 (表の最初の部分) と 2D 材料 (2 番目の部分) の両方で提供されているこれらの式に従って計算できます。 3D式 K = {\displaystyle K=\,} E = {\displaystyle E=\,} λ = {\displaystyle \lambda =\,} G = {\displaystyle G=\,} ν = {\displaystyle \nu =\,} M = {\displaystyle M=\,} 注記 ( K , E ) {\displaystyle (K,\,E)} 3 K ( 3 K − E ) 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}} 3 K E 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}} 3 K − E 6 K {\displaystyle {\tfrac {3K-E}{6K}}} 3 K ( 3 K + E ) 9 K − E {\displaystyle {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}} ( K , λ ) {\displaystyle (K,\,\lambda )} 9 K ( K − λ ) 3 K − λ {\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}} 3 ( K − λ ) 2 {\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}} λ 3 K − λ {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}} 3 K − 2 λ {\displaystyle 3K-2\lambda \,} ( K , G ) {\displaystyle (K,\,G)} 9 K G 3 K + G {\displaystyle {\tfrac {9KG}{3K+G}}} K − 2 G 3 {\displaystyle K-{\tfrac {2G}{3}}} 3 K − 2 G 2 ( 3 K + G ) {\displaystyle {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}} K + 4 G 3 {\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}} ( K , ν ) {\displaystyle (K,\,\nu )} 3 K ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle 3K(1-2\nu )\,} 3 K ν 1 + ν {\displaystyle {\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}} 3 K ( 1 − 2 ν ) 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}} 3 K ( 1 − ν ) 1 + ν {\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}} ( K , M ) {\displaystyle (K,\,M)} 9 K ( M − K ) 3 K + M {\displaystyle {\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}} 3 K − M 2 {\displaystyle {\tfrac {3K-M}{2}}} 3 ( M − K ) 4 {\displaystyle {\tfrac {3(M-K)}{4}}} 3 K − M 3 K + M {\displaystyle {\tfrac {3K-M}{3K+M}}} ( E , λ ) {\displaystyle (E,\,\lambda )} E + 3 λ + R 6 {\displaystyle {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}} E − 3 λ + R 4 {\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}} 2 λ E + λ + R {\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}} E − λ + R 2 {\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}} R = E 2 + 9 λ 2 + 2 E λ {\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}} ( E , G ) {\displaystyle (E,\,G)} E G 3 ( 3 G − E ) {\displaystyle {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}} G ( E − 2 G ) 3 G − E {\displaystyle {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}} E 2 G − 1 {\displaystyle {\tfrac {E}{2G}}-1} G ( 4 G − E ) 3 G − E {\displaystyle {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}} ( E , ν ) {\displaystyle (E,\,\nu )} E 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}} E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}} E 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}} E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}} ( E , M ) {\displaystyle (E,\,M)} 3 M − E + S 6 {\displaystyle {\tfrac {3M-E+S}{6}}} M − E + S 4 {\displaystyle {\tfrac {M-E+S}{4}}} 3 M + E − S 8 {\displaystyle {\tfrac {3M+E-S}{8}}} E − M + S 4 M {\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}} S = ± E 2 + 9 M 2 − 10 E M {\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}} 有効な解は2つあります。
プラス記号は となります 。 ν ≥ 0 {\displaystyle \nu \geq 0}
マイナス記号は につながります 。 ν ≤ 0 {\displaystyle \nu \leq 0}
( λ , G ) {\displaystyle (\lambda ,\,G)} λ + 2 G 3 {\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}} G ( 3 λ + 2 G ) λ + G {\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}} λ 2 ( λ + G ) {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}} λ + 2 G {\displaystyle \lambda +2G\,} ( λ , ν ) {\displaystyle (\lambda ,\,\nu )} λ ( 1 + ν ) 3 ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}} λ ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}} λ ( 1 − 2 ν ) 2 ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}} λ ( 1 − ν ) ν {\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}} 使用できないとき ν = 0 ⇔ λ = 0 {\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0} ( λ , M ) {\displaystyle (\lambda ,\,M)} M + 2 λ 3 {\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}} ( M − λ ) ( M + 2 λ ) M + λ {\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}} M − λ 2 {\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}} λ M + λ {\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}} ( G , ν ) {\displaystyle (G,\,\nu )} 2 G ( 1 + ν ) 3 ( 1 − 2 ν ) {\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}} 2 G ( 1 + ν ) {\displaystyle 2G(1+\nu )\,} 2 G ν 1 − 2 ν {\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}} 2 G ( 1 − ν ) 1 − 2 ν {\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}} ( G , M ) {\displaystyle (G,\,M)} M − 4 G 3 {\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}} G ( 3 M − 4 G ) M − G {\displaystyle {\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}} M − 2 G {\displaystyle M-2G\,} M − 2 G 2 M − 2 G {\displaystyle {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}} ( ν , M ) {\displaystyle (\nu ,\,M)} M ( 1 + ν ) 3 ( 1 − ν ) {\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}} M ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) 1 − ν {\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}} M ν 1 − ν {\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}} M ( 1 − 2 ν ) 2 ( 1 − ν ) {\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}} 2D式 K 2 D = {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }=\,} E 2 D = {\displaystyle E_{\mathrm {2D} }=\,} λ 2 D = {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }=\,} G 2 D = {\displaystyle G_{\mathrm {2D} }=\,} ν 2 D = {\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=\,} M 2 D = {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }=\,} 注記 ( K 2 D , E 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,E_{\mathrm {2D} })} 2 K 2 D ( 2 K 2 D − E 2 D ) 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }(2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} })}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} K 2 D E 2 D 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }E_{\mathrm {2D} }}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D − E 2 D 2 K 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }}}} 4 K 2 D 2 4 K 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }^{2}}{4K_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} ( K 2 D , λ 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\lambda _{\mathrm {2D} })} 4 K 2 D ( K 2 D − λ 2 D ) 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }(K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} })}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} K 2 D − λ 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} λ 2 D 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D − λ 2 D {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }-\lambda _{\mathrm {2D} }} ( K 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })} 4 K 2 D G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4K_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} K 2 D − G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }} K 2 D − G 2 D K 2 D + G 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }}{K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }}}} K 2 D + G 2 D {\displaystyle K_{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }} ( K 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (K_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })} 2 K 2 D ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle 2K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })\,} 2 K 2 D ν 2 D 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} K 2 D ( 1 − ν 2 D ) 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {K_{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} 2 K 2 D 1 + ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2K_{\mathrm {2D} }}{1+\nu _{\mathrm {2D} }}}} ( E 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })} E 2 D G 2 D 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }G_{\mathrm {2D} }}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} 2 G 2 D ( E 2 D − 2 G 2 D ) 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }(E_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} })}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} E 2 D 2 G 2 D − 1 {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2G_{\mathrm {2D} }}}-1} 4 G 2 D 2 4 G 2 D − E 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }^{2}}{4G_{\mathrm {2D} }-E_{\mathrm {2D} }}}} ( E 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (E_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })} E 2 D 2 ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} E 2 D ν 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} E 2 D 2 ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{2(1+\nu _{\mathrm {2D} })}}} E 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) {\displaystyle {\tfrac {E_{\mathrm {2D} }}{(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}}} ( λ 2 D , G 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,G_{\mathrm {2D} })} λ 2 D + G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} }} 4 G 2 D ( λ 2 D + G 2 D ) λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(\lambda _{\mathrm {2D} }+G_{\mathrm {2D} })}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D + 2 G 2 D {\displaystyle \lambda _{\mathrm {2D} }+2G_{\mathrm {2D} }\,} ( λ 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (\lambda _{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })} λ 2 D ( 1 + ν 2 D ) 2 ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D ( 1 + ν 2 D ) ( 1 − ν 2 D ) ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{\nu _{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D ( 1 − ν 2 D ) 2 ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }(1-\nu _{\mathrm {2D} })}{2\nu _{\mathrm {2D} }}}} λ 2 D ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {\lambda _{\mathrm {2D} }}{\nu _{\mathrm {2D} }}}} 使用できないとき ν 2 D = 0 ⇔ λ 2 D = 0 {\displaystyle \nu _{\mathrm {2D} }=0\Leftrightarrow \lambda _{\mathrm {2D} }=0} ( G 2 D , ν 2 D ) {\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,\nu _{\mathrm {2D} })} G 2 D ( 1 + ν 2 D ) 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} 2 G 2 D ( 1 + ν 2 D ) {\displaystyle 2G_{\mathrm {2D} }(1+\nu _{\mathrm {2D} })\,} 2 G 2 D ν 2 D 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }\nu _{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} 2 G 2 D 1 − ν 2 D {\displaystyle {\tfrac {2G_{\mathrm {2D} }}{1-\nu _{\mathrm {2D} }}}} ( G 2 D , M 2 D ) {\displaystyle (G_{\mathrm {2D} },\,M_{\mathrm {2D} })} M 2 D − G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} }} 4 G 2 D ( M 2 D − G 2 D ) M 2 D {\displaystyle {\tfrac {4G_{\mathrm {2D} }(M_{\mathrm {2D} }-G_{\mathrm {2D} })}{M_{\mathrm {2D} }}}} M 2 D − 2 G 2 D {\displaystyle M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }\,} M 2 D − 2 G 2 D M 2 D {\displaystyle {\tfrac {M_{\mathrm {2D} }-2G_{\mathrm {2D} }}{M_{\mathrm {2D} }}}}
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}\,;\qquad [{\boldsymbol {\varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d84c34fc9efc62922b42a33f888656c62d794b)
![{\displaystyle [{\mathsf {c}}]\,=\,{\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312 }\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36 }\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c8bf05adff9dcaec56f4863dd039fae5986a79)
![{\displaystyle [{\boldsymbol {\sigma }}]=[{\mathsf {C}}][{\boldsymbol {\varepsilon }}]\qquad {\text{または}}\qquad \sigma _{i}=C_{ij}\varepsilon _{j}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0315b5cfc25f83e499fadf8ce4921e11340f8e)
![{\displaystyle [{\mathsf {s}}]\,=\,{\begin{bmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1131}&2s_{1112}\\s_{2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\\2 s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112}\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}&S_{15}&S_{16}\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&S_{24}&S_{25}&S_{26}\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&S_{34}&S_{35}&S_{36 }\\S_{14}&S_{24}&S_{34}&S_{44}&S_{45}&S_{46}\\S_{15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34760b2d8ef86f720051aebe5a45a65b312bcab6)
![{\displaystyle [\mathbf {e} _{i}']=[L][\mathbf {e} _{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213d0bb55cc1da894c855871790e09d78635c17b)
