双凸最適化

双凸最適化は、目的関数と制約条件が双凸となる凸最適化の一般化です。これらの問題において、大域的最適解を求める手法が存在します。^{[ 1 ] [ 2 ]}

任意の固定された に対して が の凸集合であり、任意の固定された に対して が の凸集合である場合、集合は上の双凸集合と呼ばれます。 ${\displaystyle B\subset X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle B_{y}=\{x\in X:(x,y)\in B\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B_{x}=\{y\in Y:(x,y)\in B\}}$ ${\displaystyle Y}$

関数 が を固定してに対して凸であり、を固定して に対して凸であるとき、その関数は双凸関数と呼ばれます。 ${\displaystyle f(x,y):B\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$ ${\displaystyle X}$

双凸問題（解の大域的最適性を保証するものではない）を解くための一般的な方法は、どちらか一方を固定して、対応する凸最適化問題を解くことで交互に更新することである。^{[ 1 ]} ${\displaystyle x,y}$

2つ以上の引数を持つ関数への一般化は、ブロック多重凸関数と呼ばれる。関数が ブロック多重凸関数であるとは、他のすべての引数を固定した状態で、個々の引数のそれぞれに関して凸となることと同義である。^{[ 3 ]} ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{K})\to \mathbb {R} }$

参考文献

1. Gorski, Jochen; Pfeuffer, Frank; Klamroth, Kathrin (2007年6月22日). 「双凸集合と双凸関数による最適化：概観と拡張」(PDF) .オペレーションズ・リサーチの数学的手法. 66 (3): 373– 407. doi : 10.1007/s00186-007-0161-1 . S2CID  15900842 .
2. Floudas, Christodoulos A. (2000).決定論的グローバル最適化：理論、方法、および応用. ドルドレヒト [ua]: Kluwer Academic Publ. ISBN 978-0-7923-6014-8。
3. 陳彩華 (2016). 」「マルチブロック凸最小化問題に対するADMMの直接拡張は必ずしも収束するわけではない」「数理計画法. 155 ( 1– 2 ): 57– 59. doi : 10.1007/s10107-014-0826-5 . S2CID  5646309 .

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Biconvex_optimization&oldid=1163597521」から取得