固有関数

Mathematical function of a linear operator

振動ドラムの問題に対するこの解は、どの時点でも、ディスク上のラプラス演算子の固有関数です。

数学において、ある関数空間上で定義された線型作用素Dの固有関数とは、その空間内の任意の非零関数であり、 Dの作用を受けた際に、固有値と呼ばれるある尺度係数のみが乗じられる関数である。この条件は方程式として次のように表される。 ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle Df=\lambda f}$$あるスカラー固有値に対して^{[1] [2] [3]}この方程式の解は、許容される固有値と固有関数を制限する境界条件の影響を受けることもある。 ${\displaystyle \lambda .}$

固有関数は、固有ベクトルの一種です。

固有関数

一般に、あるベクトル空間上で定義された線型作用素Dの固有ベクトルは、Dの定義域における非零ベクトルであり、Dがそれに作用すると、固有値と呼ばれるスカラー値によって単純にスケールされる。Dが関数空間上で定義されている特殊な場合、固有ベクトルは固有関数と呼ばれる。つまり、関数fがDの固有関数であるとは、以下の式を満たすことを意味する 。

$${\displaystyle Df=\lambda f,}$$

1

ここでλはスカラーである。^{[1] [2] [3]式(} 1 )の解は境界条件に従う場合がある。境界条件のため、λの取り得る値は一般に制限され、例えばλ1 _、λ2 _、 …といった離散的な集合、あるいはある範囲にわたる連続的な集合となる。Dの取り得るすべての固有値の集合はスペクトルと呼ばれることもあり、スペクトルは離散的、連続的、あるいはその両方の組み合わせとなる。^[1]

λ の各値は、1つ以上の固有関数に対応する。複数の線形独立な固有関数が同じ固有値を持つ場合、その固有値は退化していると言われ、同じ固有値に関連付けられた線形独立な固有関数の最大数は、その固有値の退化度または幾何学的重複度と呼ばれる。^{[4] [5]}

微分例

^{無限次元空間に作用する線型作用素として広く用いられるものとして、実引数tまたは複素引数}tの無限微分可能な実関数または複素関数の空間C∞上の微分作用素がある。例えば、固有値方程式 ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

この微分方程式は両辺にを掛けて積分することで解くことができます。その解である指数関数は ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$

$${\displaystyle f(t)=f_{0}e^{\lambda t},}$$

は微分演算子の固有関数であり、f ₀は境界条件に依存するパラメータです。この場合、固有関数自体はそれに対応する固有値 λ の関数であり、λ は任意の実数または複素数を取ることができることに注意してください。特に、λ = 0 の場合、固有関数f ( t ) は定数となることに注意してください。

この例では、f ( t ) が境界条件f (0) = 1 およびに従うと仮定する。すると、 ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$

$${\displaystyle f(t)=e^{2t},}$$

ここでλ = 2は境界条件も満たす微分方程式の唯一の固有値です。

行列の固有値と固有ベクトルへのリンク

固有関数は列ベクトルとして表現でき、線形演算子は行列として表現できますが、行列は無限次元になることもあります。そのため、行列の固有ベクトルに関連する概念の多くは、固有関数の研究にも応用できます。

Dが定義されている関数空間における内積を次のように定義する。

$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,}$$

Ωと呼ばれるtの範囲にわたって積分した値。*は複素共役を表す。

関数空間が関数の集合{ u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}によって与えられる正規直交基底を持つと仮定する。ここでnは無限大でもよい。正規直交基底について、

$${\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},}$$

ここで、δ _ijはクロネッカーのデルタであり、単位行列の要素と考えることができます。

関数は基底関数の線形結合として表すことができる。

$${\displaystyle f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),}$$

例えば、f ( t )のフーリエ展開を通して。係数b _{j は}、 n行 1 列の列ベクトルb = [ b ₁ b ₂ … b _n ] ^Tに積み重ねることができる。正弦関数のフーリエ級数の係数など、特殊なケースでは、この列ベクトルは有限次元になる。

さらに、線形演算子Dの行列表現を要素で 定義する。

$${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.}$$

関数Df ( t )は基底関数の線形結合として書くこともできるし、f ( t )の展開に作用するDとして書くこともできる。

$${\displaystyle Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).}$$

この方程式の各辺と任意の基底関数u _i ( t )との内積をとると、

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}}$$

これは、行列の乗算Ab = cを総和記法で表したもので、直交基底で表された関数f ( t ) に作用する演算子Dの行列等価物です。 f ( t ) がDの固有関数で固有値が λ である場合、Ab = λbとなります。

エルミート作用素の固有値と固有関数

物理学で遭遇する演算子の多くはエルミート演算子である。線形演算子Dが、関数の集合{ u ₁ ( t ), u ₂ ( t ), …, u _n ( t )}（nは無限大でもよい）によって与えられる正規直交基底を持つヒルベルト空間である関数空間に作用するとする。この基底において、演算子Dは要素を持つ行列表現Aを持つ。

$${\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).}$$

Ωで表されるtについて、関心のある範囲にわたって積分されます。

エルミート行列との類推により、DはA _ij = A _ji *のときエルミート演算子となる。つまり^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\[-1pt]\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}.\end{aligned}}}$$

固有値λ1 _、λ2 _、 …と対応する固有関数f1 ( t )、f2 ( t )、…を持つエルミート演算子D_{を考えます。このエルミート演算子に}は以下の特性があります。

• その固有値は実数であり、λ _i = λ _i * ^{[4] [6]}
• その固有関数は、 i ≠ jの場合には直交条件に従う^{[6] [7] [8]} ${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =0}$

2番目の条件は常にλ _i ≠ λ _jの場合に成立する。同じ固有値λ _iを持つ退化した固有関数については、例えばグラム・シュミット過程を用いることで、 λ _iに関連付けられた固有空間を張る直交固有関数を常に選択することができる。^[5]スペクトルが離散的か連続的かに応じて、固有関数の内積をそれぞれクロネッカーデルタ関数またはディラックデルタ関数のいずれかに設定することで、固有関数を正規化することができる。^{[8] [9]}

多くのエルミート作用素、特にシュトゥルム・リウヴィル作用素に対しては、3つ目の性質がある。

• その固有関数は、演算子が定義される関数空間の基底を形成する^[5]

その結果、多くの重要なケースにおいて、エルミート作用素の固有関数は正規直交基底を形成します。このような場合、任意の関数はエルミート作用素の固有関数の線型結合として表すことができます。

アプリケーション

振動する弦

境界で固定された弦の定在波の形状は、微分作用素の固有関数の一例である。許容される固有値は弦の長さによって決まり、振動の周波数を決定する。

弦楽器の振動弦のような、応力を受けた弾性弦の横方向変位を、弦に沿った位置xと時間tの関数としてh ( x , t )で表すとする。弦の微小部分に力学法則を適用すると、関数hは次の偏微分方程式を満たす。

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},}$$

これは（1次元）波動方程式と呼ばれます。ここでcは弦の張力と質量に依存する一定の速度です。

この問題は変数分離法を適用できる。h ( x , t )がX ( x ) T ( t )の積として表せると仮定すると、一対の常微分方程式を形成することができる。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.}$$

これらはそれぞれ、固有値を持つ固有値方程式である。

${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$および− ω ²である。ωとcの任意の値に対して、これらの式は関数

$${\displaystyle X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),}$$ここで位相角φとψは任意の実定数です。

境界条件、例えば弦の両端をx = 0とx = Lに固定し、つまりX (0) = X ( L ) = 0 、 T (0) = 0とすると、固有値は制約されます。これらの境界条件ではsin( φ ) = 0、sin( ψ ) = 0となるため、位相角はφ = ψ = 0となり、

$${\displaystyle \sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.}$$

この最後の境界条件は、ωがω _n = ⁠の値を取るように制約する。ncπ/L⁠、ここでnは任意の整数である。したがって、クランプされた弦は、次のような定在波の族を支える。

$${\displaystyle h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).}$$

弦楽器の例では、周波数ω _nはn番目の倍音の周波数であり、 ( n − 1)番目の倍音と呼ばれます。

シュレーディンガー方程式

量子力学では、シュレーディンガー方程式

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)}$$

ハミルトン演算子

$${\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)}$$ハミルトニアンが時間に明示的に依存しない場合は、変数分離によって解くことができる。^[10]その場合、波動関数 Ψ( r , t )= φ ( r ) T ( t )は次の2つの微分方程式を導く。

$${\displaystyle H\varphi (\mathbf {r} )=E\varphi (\mathbf {r} ),}$$

2

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial T(t)}{\partial t}}=ET(t).}$$

3

これらの微分方程式はどちらも固有値Eを持つ固有値方程式である。前の例で示したように、式（ 3 ）の解は指数関数である。 $${\displaystyle T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

式( 2 )は時間に依存しないシュレーディンガー方程式である。ハミルトニアン演算子の固有関数φ _kは量子力学系の定常状態であり、それぞれ対応するエネルギーE _kを持つ。これらは系の許容エネルギー状態を表し、境界条件によって制約される場合がある。

ハミルトニアン作用素Hは、その固有関数が直交基底を形成するエルミート作用素の一例である。ハミルトニアンが時間に明示的に依存しない場合、シュレーディンガー方程式の一般解は、定常状態と振動T ( t )の積の線形結合となる^[11] 。あるいは、連続スペクトルを持つ系の場合は、 ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.}$$

シュレーディンガー方程式が水素のスペクトル特性を説明することに成功したことは、20 世紀物理学の最大の成果の 1 つと考えられています。

信号とシステム

信号とシステムの研究において、システムの固有関数とは、システムに入力されると応答y ( t ) = λf ( t )を生成する信号f ( t )のことである。ここでλは複素スカラー固有値である。^[12]

参照

• 固有値と固有ベクトル
• 固定小数点コンビネータ
• フーリエ変換固有関数
• ヒルベルト・シュミットの定理
• 常微分方程式のスペクトル理論

引用

1. Davydov 1976、20ページ。
2. Kusse & Westwig 1998、p. 435.
3. Wasserman 2016による。
4. Davydov 1976、21ページ。
5. Kusse & Westwig 1998、p. 437.
6. Kusse & Westwig 1998、p. 436.
7. ダヴィドフ 1976、24ページ。
8. Davydov 1976、29ページ。
9. ダヴィドフ 1976、25ページ。
10. ダヴィドフ 1976年、51ページ。
11. ダヴィドフ 1976年、52ページ。
12. Girod、Rabenstein、Stenger 2001、p. 49.

引用文献

• クーラント、リチャード、ヒルベルト、デイヴィッド (1989). 『数理物理学の方法』第1巻. Wiley. ISBN 047150447-5。（第2巻：ISBN 047150439-4。
• ダヴィドフ, AS (1976).量子力学. D. テル・ハールによる翻訳・編集・加筆（第2版）. オックスフォード: ペルガモン・プレス. ISBN 008020438-4。
• Girod, ベルント;ラーベンシュタイン、ルドルフ。ステンガー、アレクサンダー (2001)。信号とシステム(第 2 版)。ワイリー。ISBN 047198800-6。
• Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). 『数理物理学』 ニューヨーク: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8。
• Wasserman, Eric W. (2016). 「固有関数」. MathWorld . Wolfram Research . 2016年4月12日閲覧。

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