因数定理

Polynomial zeros related to linear factors

代数学において、因数定理は多項式の因数と多項式の根を結び付ける。具体的には、が（一変数）多項式であるとき、が の因数となるのは、 （つまり、が多項式の根となる）場合のみである。この定理は多項式剰余定理の特別な場合である。^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a}$

この定理は、加法と乗法の基本的な性質から導かれる。したがって、係数と元が体だけでなく任意の可換環に属する場合にも、この定理は成立する。 ${\displaystyle a}$

特に、多変数多項式は変数の 1 つに関して単変数と見なすことができるため、次の一般化が成り立ちます。および が多変数多項式であり、が に依存しない場合、が の因数である場合、かつ が零多項式である場合に限り、は の因数となります。 ${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle g(X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{1}-g(X_{2},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle f(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ ${\displaystyle f(g(X_{2},\ldots ,X_{n}),X_{2},\ldots ,X_{n})}$

多項式の因数分解

因数定理が一般的に適用される 2 つの問題は、多項式の因数分解と多項式方程式の根を求める問題です。これらの問題は本質的に同等であるというのが、この定理の直接的な帰結です。

因数定理は、多項式から既知の零点を削除し、未知の零点はすべてそのまま残すという手法にも用いられます。これにより、零点の発見が容易になる低次多項式が得られます。抽象的に言えば、この方法は以下のようになります。^[3]

1. 多項式の最高係数と定数項から、多項式の零点候補を演繹します。（有理根定理を参照。） ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}}$
2. 因数定理を使用して、が の因数であると結論付けます。 ${\displaystyle (x-a)}$ ${\displaystyle f(x)}$
3. たとえば、多項式長除算または合成除算を使用して、多項式を計算します。 ${\textstyle g(x)={\dfrac {f(x)}{(x-a)}}}$
4. の任意の根はの根であると結論付けます。の多項式次数は の多項式次数より1小さいので、 を調べることで残りの零点を見つけるのが「簡単」になります。 ${\displaystyle x\neq a}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle g(x)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

多項式が完全に因数分解されるまでこの処理を続けます。この場合、すべての因数はまたは上で約分不可能になります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x]}$

例

の因数を求める ${\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2.}$

解答:上記の多項式を ${\displaystyle p(x)}$

定数項= 2

係数 ${\displaystyle x^{3}=1}$

2 のすべての因数はとです。 を代入すると次のようになります。 ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle x=-1}$

${\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=0}$

つまり、 はの因数である。をで割ると、 ${\displaystyle (x-(-1))}$ ${\displaystyle (x+1)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle (x+1)}$

商 = ${\displaystyle x^{2}+6x+2}$

したがって、 ${\displaystyle p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)}$

これらのうち、二次因数は二次方程式の公式を使ってさらに因数分解することができ、二次方程式の根として与えられる。したがって、元の多項式の3つの既約因数は、およびである。 ${\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}.}$ ${\displaystyle x+1,}$ ${\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}}),}$ ${\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}}).}$

証明

ここでは定理のいくつかの証明を示します。

が の因数である場合、 であることが直ちにわかります。したがって、以下ではその逆のみが証明されます。 ${\displaystyle x-a}$ ${\displaystyle f(x),}$ ${\displaystyle f(a)=0.}$

証明1

この証明は、 に対するステートメントを検証することから始まります。つまり、となる任意の多項式に対して、となる多項式が存在することを示します。そのためには、明示的に と書きます。ここで、 となるので となることに留意してください。したがって、 となります。これでこのケースが証明されました。 ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)=x\cdot g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c_{0}+c_{1}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n}}$ ${\displaystyle 0=f(0)=c_{0}}$ ${\displaystyle c_{0}=0}$ ${\displaystyle f(x)=x(c_{1}+c_{2}x^{1}+\dotsc +c_{n}x^{n-1})=x\cdot g(x)}$

残るは、一般の の定理をの場合に帰着させて証明することです。そのために、 がに根を持つ多項式であることに注目してください。上記に示したことから、ある多項式 に対してが成り立ちます。最終的に、 となります。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle f(x+a)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x+a)=x\cdot g(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)=f((x-a)+a)=(x-a)\cdot g(x-a)}$

証明2

まず、と が任意の可換環（同じ環）に属する場合、恒等式が成り立つことに注目してください。これは括弧内の値を掛け合わせることで示されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(y^{n-1}+x^{1}y^{n-2}+\dotsc +x^{n-2}y^{1}+x^{n-1})}$

任意の可換環について、 の係数列 を書きます。あるについて と仮定します。すると となります。各被加数は、上で議論したの形の式の因数分解により を因数として持つことがわかります。したがって、 はの因数であると結論付けます。 ${\displaystyle f(X)\in R\left[X\right]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f(X)=\sum _{i}c_{i}X^{i}}$ ${\displaystyle (c_{i})_{i}}$ ${\displaystyle f(a)=0}$ ${\displaystyle a\in R}$ ${\displaystyle f(X)=f(X)-f(a)=\sum _{i}c_{i}(X^{i}-a^{i})}$ ${\displaystyle X-a}$ ${\displaystyle x^{n}-y^{n}}$ ${\displaystyle X-a}$ ${\displaystyle f(X)}$

証明3

この定理は、多項式のユークリッド除算を用いて証明できます。をでユークリッド除算して を得ます。 なので、 は定数です。最後に、 であることに注意してください。したがって、 となります。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle (x-a)}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)Q(x)+R(x)}$ ${\displaystyle \deg(R)<\deg(x-a)}$ ${\displaystyle \deg(R)<\deg(x-a)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0=f(a)=R}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)Q(x)}$

上記のユークリッド除算は、が単項多項式であるため、あらゆる可換環で実行可能であり、したがって、多項式長除算アルゴリズムには係数の除算は含まれません。 ${\displaystyle (x-a)}$

他の定理の系

これは多項式剰余定理の系でもありますが、逆にそれを示すために使うこともできます。

多項式が多変数であっても、係数が代数的に閉じた体を形成する場合、零点定理は重要かつ深い一般化となります。

参考文献

1. サリバン、マイケル（1996）、代数と三角法、プレンティスホール、p.381、ISBN 0-13-370149-2
2. Sehgal, VK; Gupta, Sonal (2009年9月)、Longman ICSE Mathematics Class 10、Dorling Kindersley (インド)、p. 119、ISBN 978-81-317-2816-1。
3. バンサル、RK、「総合数学IX」、ラクシュミ出版、p.142、ISBN 81-7008-629-9。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Factor_theorem&oldid=1316747705"