準三角ホップ代数

数学において、ホップ代数Hが準三角的^とは、その逆元Rが存在し、 $H\otimes H$

$R\ \Delta (x)R^{-1}=(T\circ \Delta )(x)$ すべてのに対して、はH上の余積であり、線型写像はで与えられる。 $x\in H$ $\Delta$ $T:H\otimes H\to H\otimes H$ $T(x\otimes y)=y\otimes x$

$(\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}\ R_{23}$ 、

$(1\otimes \Delta )(R)=R_{13}\ R_{12}$ 、

ここで、、、、、は、によって決定される代数射である $R_{12}=\phi _{12}(R)$ $R_{13}=\phi _{13}(R)$ $R_{23}=\phi _{23}(R)$ $\phi _{12}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H$ $\phi _{13}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H$ $\phi _{23}:H\otimes H\to H\otimes H\otimes H$

\phi _{12}(a\otimes b)=a\otimes b\otimes 1,

\phi _{13}(a\otimes b)=a\otimes 1\otimes b,

\phi _{23}(a\otimes b)=1\otimes a\otimes b.

RはR 行列と呼ばれます。

準三角性の特性の結果として、R 行列Rはヤン・バクスター方程式の解です（したがって、Hのモジュール V は、組紐、結び目、リンクの準不変量を判定するために使用できます）。また、準三角性の特性の結果として、であり、さらに、、およびです。さらに、対掌体Sは線型同型でなければならないため、S ²は自己同型であることが示されます。実際、S ²は可逆元と共役することで与えられます。ここで（リボンホップ代数を参照）。 $(\epsilon \otimes 1)R=(1\otimes \epsilon )R=1\in H$ $R^{-1}=(S\otimes 1)(R)$ $R=(1\otimes S)(R^{-1})$ $(S\otimes S)(R)=R$ $S^{2}(x)=uxu^{-1}$ $u:=m((S\otimes 1)\circ T)R$

ドリンフェルトの量子二重構成を使用して、ホップ代数とその双対から準三角ホップ代数を構築することが可能です。

ホップ代数Hが準三角的であれば、H上の加群のカテゴリは組紐で組まれている。

c_{U,V}(u\otimes v)=T\left(R\cdot (u\otimes v)\right)=T\left(R_{1}u\otimes R_{2}v\right)

。

ねじる

準三角形ホップ代数の性質は、可逆元を介してねじることで保存され、コサイクル条件を満たす。 $F=\sum _{i}f^{i}\otimes f_{i}\in {\mathcal {A\otimes A}}$ $(\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1$

(F\otimes 1)\cdot (\Delta \otimes id)(F)=(1\otimes F)\cdot (id\otimes \Delta )(F)

さらに、は可逆であり、ねじれ対蹠はで与えられ、ねじれ共乗法、R行列、およびコユニットは、準三角準ホップ代数の定義に従って変化する。このようなねじれは、許容ねじれ（またはドリンフェルトねじれ）として知られる。 $u=\sum _{i}f^{i}S(f_{i})$ $S'(a)=uS(a)u^{-1}$

参照

注釈

^ Montgomery & Schneider (2002)、72ページ

参考文献

モンゴメリ、スーザン(1993).ホップ代数と環上の作用. 数学地域会議シリーズ. 第82巻. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. ISBN 0-8218-0738-2. Zbl 0793.16029.
モンゴメリ、スーザン、シュナイダー、ハンス＝ユルゲン (2002).ホップ代数における新しい方向性. 数学科学研究所出版. 第43巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-81512-3. Zbl 0990.00022.

[1] Montgomery & Schneider (2002)、72ページ