双曲線

Plane curve: conic section

双曲線は、2本の枝を持つ開曲線で、平面と二重円錐の両半分との交点です。平面は円錐の軸と平行である必要はなく、いずれの場合も双曲線は対称になります。

双曲線（赤）：特徴

数学において、双曲線は平面上に存在する滑らかな 曲線の一種であり、幾何学的特性、またはそれが解の集合となる方程式によって定義されます。双曲線には、連結成分または枝と呼ばれる 2 つの部分があり、これらは互いに鏡像関係にあり、2 つの無限の弓形に似ています。双曲線は、平面と二重円錐の交差によって形成される3 種類の円錐断面の 1 つです(他の円錐断面には、放物線と楕円があります。円は楕円の特殊なケースです)。平面が二重円錐の両方の半分と交差し、円錐の頂点を通らない場合、その円錐は双曲線です。

双曲線は円錐曲線であるほか、 2 つの固定焦点までの距離の差が一定である点の軌跡、各点の 2 つの固定焦点への光線がその点での接線を横切る反射となる曲線、または逆数関係^[1]などの特定の 2 変数二次方程式の解として発生することもあります。実際の応用では、双曲線は、日時計の日時計の針の先端の影がたどる経路、最も近い重力体の脱出速度を超える天体などの開いた軌道の形状、または素粒子の散乱軌道、などとして発生することがあります。 ${\displaystyle xy=1.}$

双曲線の各枝には2本の腕があり、双曲線の中心から離れるにつれて、より直線的（曲率が低い）になります。各枝から1本ずつ対角線上に伸びる腕は、極限において共通線に向かいます。この共通線は、2本の腕の漸近線と呼ばれます。したがって、2本の漸近線が存在し、その交点は双曲線の対称中心にあります。対称中心は、各枝が互いに反射して他の枝を形成する鏡像点と考えることができます。曲線の場合、漸近線は2つの座標軸です。^[1] ${\displaystyle y(x)=1/x}$

双曲線は、楕円の解析的性質の多く、例えば離心率、焦点、準線などを共有しています。通常、これらの対応は、ある項の符号を変えるだけで実現できます。双曲放物面（鞍面）、双曲面（「ゴミ箱」）、双曲幾何学（ロバチェフスキーの有名な非ユークリッド幾何学）、双曲関数（sinh、cosh、tanhなど）、ジャイロベクトル空間（相対論と量子力学の両方で用いるために提案されたユークリッド幾何学ではない）など、他の多くの数学的対象も双曲線に由来しています。

語源と歴史

「双曲線（hyperbola）」という単語は、ギリシャ語の ὑπερβολή（「投げられた」または「過剰な」という意味）に由来し、英語のhyperboleもこの語源から来ています。双曲線は、メナエクモスが立方体を2倍にする問題の研究中に発見しましたが、当時は鈍角円錐の断面と呼ばれていました。^{[2]双曲線という用語は、}ペルガのアポロニウス（紀元前 262年頃 - 紀元前 190年頃）が円錐断面に関する決定的な著作『円錐曲線』の中で造語したと考えられています。^{[3]他の2つの一般的な円錐断面、}楕円と放物線の名称は、それぞれ「不足した」と「応用された」を意味するギリシャ語に由来しています。これら3つの名称はすべて、一定面積の長方形の辺と与えられた線分との比較を指していた、初期のピタゴラス学派の用語から借用されています。長方形は線分に「適用」される（つまり、等しい長さになる）、線分より短くなる、または線分を超えることができる。^[4]

定義

点の軌跡として

双曲線：2つの固定点（焦点）までの点の距離による定義

双曲線：円準線による定義

双曲線は、ユークリッド平面上の 点の集合（点の軌跡）として幾何学的に定義できます。

双曲線とは、点の集合であり、その集合の任意の点について、 2つの固定点（焦点）までの距離の絶対差が一定であり、通常は次のように表される。^[5] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle 2a,\,a>0}$ $${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

焦点を結ぶ線分の中点は双曲線の中心と呼ばれます。 ^[6]焦点を通る線は長軸と呼ばれます。長軸には頂点が含まれ、頂点から中心までの距離は です。焦点から中心までの距離は焦点距離または線離心率と呼ばれます。その商が離心率です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$ ${\displaystyle e}$

この式は別の見方もできます（図を参照）。が中点、半径 の円である場合、円の右枝の点から焦点 までの距離は、双曲線 の円準線（焦点 に関連）と呼ばれます。^{[7] [8]}双曲線の左枝を得るには、 に関連する円準線を使用する必要があります。 この特性は、以下の準線（直線）を使用した双曲線の定義と混同しないでください。 ${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$
${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ $${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

方程式付き双曲線y = A / x

直角双曲線を関数のグラフとして記述するために座標系を回転させる

座標軸を漸近線とする3つの長方形双曲線赤: A = 1、マゼンタ: A = 4、青: A = 9 ${\displaystyle y=A/x}$

xy座標系を原点を中心に角度だけ回転させ、新しい座標を割り当てると、 となる。直角双曲線（その半軸が等しい）は新しい方程式 を持つ。 を解くと、 ${\displaystyle +45^{\circ }}$ ${\displaystyle \xi ,\eta }$ ${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$
${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

したがって、xy座標系では、方程式を持つ関数のグラフは、第1象限と第3象限で 完全に直角双曲線となり、 ${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$ $${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$

• 座標軸を漸近線として、
• 線を主軸として、 ${\displaystyle y=x}$
• 中心と半軸​ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• 頂点​ ${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• 半直筋と頂点の曲率半径 ${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• 直線偏心 と偏心 ${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• 点における 接線 ${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$ ${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

元の双曲線を回転すると、第2象限と第4象限に完全に直角双曲線が生じ、回転の場合と同じ漸近線、中心、半直角、頂点の曲率半径、線形偏心、および偏心を持ち、方程式は ${\displaystyle -45^{\circ }}$ ${\displaystyle +45^{\circ }}$ $${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• 半軸 ${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• 線を主軸として、 ${\displaystyle y=-x}$
• 頂点​ ${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

双曲線を 式 で移動し、新しい中心を とすると、新しい式 が得られ、新しい漸近線はと になります。形状パラメータは変化しません。 ${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$ ${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$ $${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$ ${\displaystyle x=c_{0}}$ ${\displaystyle y=d_{0}}$ ${\displaystyle a,b,p,c,e}$

準線の性質により

双曲線：準線の性質

双曲線：準線性を持つ定義

中心から離れて短軸に平行な 2 本の線は双曲線の準線と呼ばれます (図を参照)。 ${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$

双曲線の任意の点について、1 つの焦点までの距離と対応する準線までの距離の商 (図を参照) は離心率に等しくなります。このペアの証明は、 と が次の式を満たすという事実から得られます。2番目のケースも同様に証明されます。 ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$ ${\displaystyle F_{1},l_{1}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$ $${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$

共通の頂点と共通の半横隔膜を持つ円錐曲線の鉛筆

逆の記述も真であり、双曲線を定義するために使用できます (放物線の定義と同様の方法で)。

任意の点（焦点）、その点を通らない任意の直線（準線）、および点の集合（点の軌跡）を持つ任意の実数について、その点までの距離と直線までの距離の商が双曲線になります。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle e}$ $${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$

( を選択すると放物線になり、 を選択すると楕円になります。) ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e<1}$

証拠

とし、が曲線上の点であると仮定する。準線は方程式 を持つ。 とすると、関係式は次の方程式を生成する。 ${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$ ${\displaystyle P=(x,y)}$ ${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$そして ${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

置換により、 これは楕円（）、放物線（）、双曲線（ ）の方程式です。これらの非退化円錐曲線はすべて、原点を頂点とするという共通点を持っています（図を参照）。 ${\displaystyle p=f(1+e)}$ $${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$ ${\displaystyle e<1}$ ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle e>1}$

の場合、となるように新しいパラメータを導入すると、上の方程式は となり、 これは中心、x軸を長軸 、長/短半軸 を持つ双曲線の方程式になります。 ${\displaystyle e>1}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$ ${\displaystyle (-a,0)}$ ${\displaystyle a,b}$

双曲線：準線の構築

準線の構築

準線（図参照）と焦点は円に関して逆向きであるため、円（図の緑色）での反転は逆向きです。したがって、点はタレスの定理（図には示されていません）を用いて作図できます。準線は、点を通る直線への垂線です。 ${\displaystyle c\cdot {\tfrac {a^{2}}{c}}=a^{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

の別の構築 ${\displaystyle E_{1}}$: 計算により、その点は漸近線とその垂線との交点であることが示されます(図を参照)。 ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$

円錐の平面断面として

双曲線（赤）：円錐の2つのビューと2つのダンデリン球d ₁、d ₂

直立した二重円錐と、頂点を通らず、かつ円錐上の直線の傾きよりも大きい傾きを持つ平面との交点は双曲線です（図の赤い曲線を参照）。双曲線の定義特性（上記参照）を証明するために、2つのダンデリン球 （円 に沿って円錐に接する球）と、点 および で交差する（双曲線の）平面 を使用します。その結果、は双曲線の焦点であることがわかります。 ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

1. 交差曲線上の任意の点を とします。 ${\displaystyle P}$
2. 円 を含む円錐の母線は、円と点および円と点で交差します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle B}$
3. 線分と線分は球に接しており、したがって長さが等しくなります。 ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d_{1}}$
4. 線分と線分は球に接しており、したがって長さが等しくなります。 ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle d_{2}}$
5. 結果は次のようになります。は双曲線の点 とは独立です。なぜなら、点がどこにあっても、円、、上にあり、線分は頂点を横切る必要があるからです。したがって、点が赤い曲線（双曲線）に沿って移動すると、線分は長さを変えずに頂点を中心に回転するだけです。 ${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

ピンと紐の構造

双曲線：ピンと紐を使った作図

双曲線の焦点と円準線による定義（上記参照）は、ピン、糸、定規を使って双曲線の円弧を描く際に使用できます。^[9]

0. 焦点 と円の準線の1つを選択します（例：半径 の円） ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle 2a}$
1. 定規は点 に固定されており、その周りを自由に回転できます。点 は距離 にマークされています。 ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2a}$
2. 糸の一端を定規の点に固定し、長さを測ります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |AB|}$
3. 弦の自由端は点 に固定されます。 ${\displaystyle F_{1}}$
4. ペンを手に取り、定規の端に紐をしっかりと当てます。
5. 定規を回転させると、ペンは双曲線の右枝の円弧を描きます。これは、 (円準線による双曲線の定義を参照) によるものです。 ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$

シュタイナー双曲線生成

双曲線：シュタイナー世代

双曲線y = 1/ x : シュタイナー世代

双曲線の単一点を構築する次の方法は、非退化円錐曲線のシュタイナー生成に依存しています。

2 点における2 つの線分束 (すべての線分はそれぞれと を含む) とから への射影写像 (透視写像ではない)が与えられている場合、対応する線分の交点は非退化射影円錐曲線を形成します。 ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

双曲線の点を生成するには、頂点 における線分束を用いる。 を双曲線の点とし、 とする。線分はn 個の等間隔の線分に分割され、この分割線分は対角線を として線分に平行に投影される（図を参照）。平行投影は、必要なとにおける線分束間の射影写像の一部である。任意の2つの関連する線分と の交点は、一意に定義された双曲線の点である。 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$ ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}A_{i}}$ ${\displaystyle S_{2}B_{i}}$

備考：

• 分割を点を超えて拡張し、より多くの点を得ることもできますが、交点の決定がより不正確になります。より良い方法は、対称性によって既に構築された点を拡張することです（アニメーションを参照）。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
• シュタイナー生成は楕円や放物線にも存在します。
• シュタイナー生成法は、頂点ではなく他の点を使用できるため、長方形ではなく平行四辺形から始まるため、平行四辺形法と呼ばれることもあります。

双曲線の円周角y = a /( x − b ) + cそして3点形式

双曲線：円周角定理

方程式を持つ双曲線は、異なるx座標とy座標を持つ3点によって一意に決定されます。形状パラメータを決定する簡単な方法は、双曲線の円周角定理を用いることです。 ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

この文脈では、方程式を使って2本の直線の間の角度を測定するために、商を使う。 ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

円の円周角定理と同様に、

双曲線の円周角定理^{[10] [11]} — 4点（図参照）に対して次の命題が成り立つ。 ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,4,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$

4点が方程式を満たす双曲線上にあることと、その場合の必要条件は、 とにおける角度が上記の測定の意味で等しいことである。つまり、 ${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {(y_{4}-y_{1})}{(x_{4}-x_{1})}}{\frac {(x_{4}-x_{2})}{(y_{4}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$

証明は簡単な計算で導き出せます。点が双曲線上にある場合、双曲線の方程式は と仮定できます。 ${\displaystyle y=a/x}$

双曲線の円周角定理の帰結は、

双曲線方程式の 3 点形式— 3 点で決定される双曲線の方程式は、 の方程式の解です。 ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,\ x_{i}\neq x_{k},y_{i}\neq y_{k},i\neq k}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {red}y}-y_{1})}{({\color {green}x}-x_{1})}}{\frac {({\color {green}x}-x_{2})}{({\color {red}y}-y_{2})}}={\frac {(y_{3}-y_{1})}{(x_{3}-x_{1})}}{\frac {(x_{3}-x_{2})}{(y_{3}-y_{2})}}}$$ ${\displaystyle {\color {red}y}}$

単位双曲線のアフィン像としてx ² − y ² = 1

単位双曲線のアフィン像としての双曲線

双曲線の別の定義ではアフィン変換を使用します。

任意の双曲線は、方程式 を持つ単位双曲線のアフィン像です。 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

パラメトリック表現

ユークリッド平面のアフィン変換は の形を持ち、は正則行列（行列式は0ではない）、 は任意のベクトルである。が行列 の列ベクトルである場合、単位双曲線は双曲線 に写像される 。 ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\pm \cosh(t),\sinh(t)),t\in \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\ .}$$

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$は中心であり、双曲線の点であり、この点における接線ベクトルです。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$

頂点

一般にベクトルは垂直ではありません。つまり、一般には双曲線の頂点ではありません。しかし、漸近線の方向を向いています。点における接線ベクトルは…です。 頂点において接線は双曲線の長軸に垂直なので、方程式から頂点のパラメータが得られます。したがって、そこから…が得られます。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}\pm {\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\ .}$$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}\sinh t+{\vec {f}}_{2}\cosh t\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}\cosh t+{\vec {f}}_{2}\sinh t\right)=0}$$ $${\displaystyle \coth(2t_{0})=-{\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}+{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\ ,}$$

$${\displaystyle t_{0}={\tfrac {1}{4}}\ln {\tfrac {\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}{\left({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}\right)^{2}}}.}$$

式、、が使用されました。 ${\displaystyle \cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x=\cosh 2x}$ ${\displaystyle 2\sinh x\cosh x=\sinh 2x}$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\tfrac {x+1}{x-1}}}$

双曲線の２つの頂点は ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm \left({\vec {f}}_{1}\cosh t_{0}+{\vec {f}}_{2}\sinh t_{0}\right).}$

暗黙的表現

の媒介変数表現をクラメールの定理で解き、 を使うと、次の暗黙表現が得られる。 ${\displaystyle \cosh t,\sinh t}$ ${\displaystyle \;\cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t-1=0\;}$ $${\displaystyle \det \left({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0}\right)^{2}-\det \left({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}\right)^{2}=0.}$$

宇宙における双曲線

このセクションの双曲線の定義は、空間内でのベクトルを許容する場合、空間内であっても任意の双曲線のパラメトリック表現を与えます。 ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

双曲線のアフィン像としてy = 1/ x

y = 1/ xのアフィン像としての双曲線

単位双曲線は双曲線とアフィン同値であるため、任意の双曲線は双曲線のアフィン像（前のセクションを参照）と見なすことができます。 ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=1/x\,}$

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$は双曲線の中心であり、ベクトルは漸近線の方向を持ち、は双曲線の点である。接線ベクトルは頂点において接線が長軸に垂直である。したがって、頂点のパラメータは ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$は と同等であり、は双曲線の頂点です。 ${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$

双曲線の次の特性は、このセクションで紹介した双曲線の表現を使用して簡単に証明できます。

接線の構築

接線の構築：漸近線とPが与えられた場合 → 接線

接線ベクトルは因数分解によって書き直すことができる。これはつまり、 $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$

平行四辺形の対角線は双曲線の点における接線と平行です(図を参照)。 ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$ ${\displaystyle P}$

この特性は、双曲線上の一点で接線を構築する方法を提供します。

双曲線のこの性質はパスカルの定理の3点退化のアフィンバージョンである。^[12]

灰色の平行四辺形の面積

上図の灰色の平行四辺形の面積は であり、したがって点 に依存しない。最後の式は、が頂点であり、標準形の双曲線が である場合の計算から得られる。 ${\displaystyle MAPB}$ $${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {ab}{2}}}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

ポイント構築

点の構築：漸近線とP ₁が与えられている → P ₂

パラメトリック表現の双曲線（簡単にするために中心は原点）の場合、次のようになります。 ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$

任意の2点について、その点は ${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

双曲線の中心と同一直線上にあります（図を参照）。

簡単な証明は方程式の結果です。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$

この特性により、漸近線と 1 つの点が与えられている場合に双曲線の点を構成する可能性が提供されます。

双曲線のこの性質はパスカルの定理の4点退化のアフィンバージョンである。^[13]

接線漸近線三角形

双曲線：接線-漸近線-三角形

単純化のため、双曲線の中心を原点とし、ベクトルの長さが等しいとします。最後の仮定が満たされない場合は、まずパラメータ変換（上記参照）を適用して仮定を成立させることができます。したがって、頂点は、短軸を張る点であり、およびとなります。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$ ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$

点における接線と漸近線の交点については、点が得られる。三角形の面積は2 ×2行列式によって計算できる。 （行列式の規則を参照）。は、によって生成される菱形の面積である。菱形の面積は、その対角線の積の半分に等しい。対角線は双曲線の半軸である。したがって、 ${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$ $${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$ ${\displaystyle M,C,D}$ $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$ ${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle a,b}$

三角形の面積は双曲線の頂点に依存しません。 ${\displaystyle MCD}$ ${\displaystyle A=ab.}$

円の往復

円Bを円Cに往復させると、常に双曲線のような円錐曲線が得られます。「円Cにおける往復」とは、幾何学図形内のすべての直線と点を、それぞれ対応する極と極に置き換えることです。直線の極は円Cに最も近い点の反転であり、点の極はその逆、つまり円Cに最も近い点が点の反転である直線です。

往復運動によって得られる円錐曲線の離心率は、2つの円の中心間の距離と往復円Cの半径rの比である。BとCを対応する円の中心点とすると、

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

双曲線の離心率は常に 1 より大きいため、中心B は往復円Cの外側に位置している必要があります。

この定義は、双曲線が円Bの接線の極の軌跡であると同時に、円B上の点の極線の包絡線でもあることを意味します。逆に、円Bは双曲線上の点の極の包絡線であると同時に、双曲線の接線の極の軌跡でもあります。円Bの2つの接線は、往復円 C の中心Cを通るため、（有限の）極を持ちません。円B上の対応する接点の極は、双曲線の漸近線です。双曲線の2つの枝は、これらの接点によって隔てられた円Bの2つの部分に対応します。

二次方程式

双曲線は、平面上の直交座標における2次方程式として定義することもできる。 ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

ただし、定数とが行列式条件を満たすものとする。 ${\displaystyle A_{xx},}$ ${\displaystyle A_{xy},}$ ${\displaystyle A_{yy},}$ ${\displaystyle B_{x},}$ ${\displaystyle B_{y},}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

この行列式は慣例的に円錐曲線の判別式と呼ばれます。 ^[14]

双曲線の特殊なケース、つまり交差する 2 本の直線から成る退化した双曲線は、別の行列式が 0 のときに発生します。

$${\displaystyle \Delta :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}$$

この行列式は円錐曲線の判別式と呼ばれることもあります。^[15] ${\displaystyle \Delta }$

一般的な方程式の係数は、既知の長半径、短半径の中心座標、および回転角度（正の水平軸から双曲線の長軸までの角度）から次の公式を使用して取得できます。 ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

これらの式は正準方程式から導出できる。

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

座標の移動と回転によって： ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

上記の直交座標における双曲線の一般的なパラメータ化を考慮すると、離心率は円錐曲線#係数による離心率の式を使用して求めることができます。

双曲線の中心は、次の式から決定できる。 ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

新しい座標と双曲線の定義方程式を用いて次のように書くことができる。 ${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$ ${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

双曲線の主軸は正の軸と角度を成し、その角度は次式で与えられる。 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

座標軸を回転させて、-軸を横軸と揃えると、方程式は標準形になる。 ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

長半軸と短半軸は次式で定義される 。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

ここで、およびは二次方程式の根である。 ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

比較のために、退化した双曲線（交差する2本の直線から成る）の対応する方程式は次のようになる。

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

双曲線上の任意の点への接線は次式で定義される。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

ここで、およびは次のように定義されます。 ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

同じ点における双曲線の法線は次の式で与えられる。

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

法線は接線に垂直であり、両方とも同じ点を通る。 ${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

方程式から

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

左焦点は、右焦点は、離心率です。点から左焦点と右焦点までの距離を、それぞれ、右枝上の点について、 ${\displaystyle (-ae,0)}$ ${\displaystyle (ae,0),}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}.}$

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

左の枝上の点については、

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

これは次のように証明できます。

が双曲線上の点である場合、左焦点までの距離は ${\displaystyle (x,y)}$

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$

右焦点までの距離は

$${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$$

が双曲線の右枝上の点である場合、 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex>a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=ex+a,\\r_{2}&=ex-a.\end{aligned}}}$$

これらの式を引き算すると

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a.}$$

が双曲線の左枝上の点である場合、 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle ex<-a}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=-ex-a,\\r_{2}&=-ex+a.\end{aligned}}}$$

これらの式を引き算すると

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

直交座標系

方程式

原点が双曲線の中心、x軸が長軸となるような直交座標を導入すると、双曲線は東西に開く双曲線と 呼ばれ、

焦点は点である、^[6] ${\displaystyle F_{1}=(c,0),\ F_{2}=(-c,0)}$

頂点はである。^[6] ${\displaystyle V_{1}=(a,0),\ V_{2}=(-a,0)}$

任意の点について、焦点までの距離は であり、第2焦点までの距離は である。したがって、以下の条件が満たされる場合、その点は双曲線上にある。適切な平方根を2乗して除去し、関係式を用いて双曲線の方程式を得る。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (c,0)}$ ${\textstyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ $${\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a\ .}$$ ${\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}}$

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$$

この方程式は双曲線の標準形と呼ばれます。これは、どの双曲線も、直交座標軸に対する向きや中心の位置に関係なく、変数を変更することでこの形式に変換でき、元の双曲線と一致する双曲線が得られるためです(以下を参照)。

対称軸または主軸は、横軸（頂点を端点とする長さ2aの線分を含む）と共役軸（横軸に垂直で、双曲線の中心を中点とする長さ2bの線分を含む）である。 ^[6]楕円とは異なり、双曲線には頂点が2つしかない。共役軸上の2点は双曲線上に はない。 ${\displaystyle (a,0),\;(-a,0)}$ ${\displaystyle (0,b),\;(0,-b)}$

この方程式から、双曲線は両方の座標軸に対して対称であり、したがって原点に対して対称であることがわかります。

偏心

上記の標準形の双曲線の場合、離心率は次のように表される。

$${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.}$$

2 つの双曲線は幾何学的に互いに相似です。つまり、同じ形状であるため、同じ離心率を持つ場合に限り、左右の固定移動、回転、鏡像の取得、スケーリング (拡大) によって一方を他方に変換できます。

漸近線

双曲線：半軸a、b、直線偏心c、半直腸p

双曲線: 3つの特性

双曲線の方程式（上式）を解くと、次の式が得られる。この式から、双曲線は大きな値に対して2つの直線に近づくことがわかる。これらの2つの直線は中心（原点）で交差し、双曲線の漸近線と呼ばれる^[16]。 ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}.}$$ $${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x}$$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ .}$

2番目の図を見ると、

${\displaystyle {\color {blue}{(1)}}}$焦点からいずれかの漸近線までの垂直距離は（半短軸）です。 ${\displaystyle b}$

漸近線のヘッセ正規形 と双曲線の方程式から次式が得られる: ^[17] ${\displaystyle {\tfrac {bx\pm ay}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}=0}$

${\displaystyle {\color {magenta}{(2)}}}$双曲線上の点から両漸近線までの距離の積は定数であり、離心率eを用いて次のように表すこともできる。 ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {b}{e}}\right)^{2}.}$

双曲線の方程式（上記）から次の式が導かれます。 ${\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$

${\displaystyle {\color {green}{(3)}}}$点Pから2つの頂点までの直線の傾きの積は定数である。 ${\displaystyle b^{2}/a^{2}\ .}$

さらに、上記（２）から次のことがわかる。^[17]

${\displaystyle {\color {red}{(4)}}}$ 双曲線上の点から漸近線までの距離と、それに平行な線に沿った距離の積は定数である。 ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}+b^{2}}{4}}.}$

半側直腸

双曲線の長軸に垂直な焦点の一つを通る弦の長さは、大腿直角と呼ばれます。その半分は半大腿直角 です。計算すると、半大腿直角は頂点における曲率半径とみなすこともできます。 ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}.}$$ ${\displaystyle p}$

正接

点における接線方程式を求める最も簡単な方法は、双曲線の方程式を暗黙的に微分することです。dy /dxをy′とすると、次の式が得られます。に関して、点における接線方程式は ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle {\frac {2x}{a^{2}}}-{\frac {2yy'}{b^{2}}}=0\ \Rightarrow \ y'={\frac {x}{y}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\ \Rightarrow \ y={\frac {x_{0}}{y_{0}}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}(x-x_{0})+y_{0}.}$$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ $${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}x-{\frac {y_{0}}{b^{2}}}y=1.}$$

双曲線は特定の接線によって他の円錐曲線と区別されます。^[18]頂点V （双曲線の頂点Vと、2つの焦点を通る軸の両方）から近い方の焦点までの距離をfとします。すると、その軸に垂直な線に沿って、その焦点から双曲線上の点Pまでの距離は2 fより大きくなります。Pにおける双曲線の接線は、点Qでその軸と45°を超える角度∠PQVで交差します。

直角双曲線

この場合、双曲線は漸近線が直角に交わるため、直角双曲線（または正角双曲線）と呼ばれます。この場合、線離心率は、離心率と半直角はです。方程式のグラフは直角双曲線です。 ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}a}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p=a}$ ${\displaystyle y=1/x}$

双曲線正弦/余弦によるパラメトリック表現

双曲線正弦関数と双曲線余弦関数 を使うと、楕円の媒介変数表現に似た双曲線の媒介変数表現が得られる。これは、直交座標系方程式を満たす。 ${\displaystyle \cosh ,\sinh }$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ $${\displaystyle (\pm a\cosh t,b\sinh t),\,t\in \mathbb {R} \ ,}$$ ${\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1.}$

さらに詳しいパラメトリック表現については、以下の「パラメトリック方程式」のセクションで説明します。

ここで、 a = b = 1なので、単位双曲線は青色で、その共役双曲線は緑色で示され、同じ赤色の漸近線を共有します。

共役双曲線

双曲線の場合、右側の符号を変更すると共役双曲線の方程式が得られます。 ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1}$または同等: ${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1}$

双曲線とその共役な曲線は、共役な直径を持つ場合があります。特殊相対性理論では、このような直径は時間と空間の軸を表す場合があり、一方の双曲線は中心から与えられた空間距離にある事象を表し、もう一方の双曲線は中心から対応する時間距離にある事象を表します。

${\displaystyle xy=c^{2}}$また、共役双曲線も指定します。 ${\displaystyle xy=-c^{2}}$

極座標で

双曲線：極座標（極＝焦点）

双曲線：極を中心とする極座標

双曲線のアニメーションプロット ${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \theta }}}$

焦点の起源

双曲線に最も一般的に使用される極座標は、最初の図に示すように、焦点を原点とし、X 軸が「標準座標系」の原点を指す直交座標系を基準として定義されます。

この場合の角度は真異常と呼ばれます。 ${\displaystyle \varphi }$

この座標系に相対すると、

$${\displaystyle r={\frac {p}{1\mp e\cos \varphi }},\quad p={\frac {b^{2}}{a}}}$$

そして

$${\displaystyle -\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left(-{\frac {1}{e}}\right).}$$

中心の起源

「標準座標系」を基準とした極座標（2番目の図を参照）では、

$${\displaystyle r={\frac {b}{\sqrt {e^{2}\cos ^{2}\varphi -1}}}.\,}$$

双曲線の右枝の範囲は ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle -\arccos \left({\frac {1}{e}}\right)<\varphi <\arccos \left({\frac {1}{e}}\right).}$$

偏心

極座標を用いると、双曲線の離心率は次のように表すことができます。ここで、は角座標の極限です。この極限に近づくと、rは無限大に近づき、上記のどちらの式でも分母はゼロに近づきます。したがって、次の式が成り立ちます。^{[19] : 219} ${\displaystyle \sec \varphi _{\text{max}}}$ ${\displaystyle \varphi _{\text{max}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle e^{2}\cos ^{2}\varphi _{\text{max}}-1=0}$$

$${\displaystyle 1\pm e\cos \varphi _{\text{max}}=0}$$

$${\displaystyle \implies e=\sec \varphi _{\text{max}}}$$

媒介変数方程式

方程式を持つ双曲線は、いくつかの媒介変数方程式で記述できます。 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

1. 双曲三角関数を通じて $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a\cosh t,\\y=b\sinh t,\end{cases}}\qquad t\in \mathbb {R} .}$$
2. 合理的な表現として $${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm a{\dfrac {t^{2}+1}{2t}},\\[1ex]y=b{\dfrac {t^{2}-1}{2t}},\end{cases}}\qquad t>0}$$
3. 円三角関数を通じて $${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {a}{\cos t}}=a\sec t,\\y=\pm b\tan t,\end{cases}}\qquad 0\leq t<2\pi ,\ t\neq {\frac {\pi }{2}},\ t\neq {\frac {3}{2}}\pi .}$$
4. 接線勾配をパラメータとして:
   双曲線上の点における接線の傾きを用いた媒介変数表現は、楕円の場合と同様に得ることができます。楕円の場合にをに置き換え、双曲線関数の公式を用います。すると が得られます。ここで、は双曲線の上半分、 は下半分です。垂直接線を持つ点（頂点）は、この表現では覆われません。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle -b^{2}}$ $${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)=\left(-{\frac {ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}},{\frac {-b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}}}\right),\quad |m|>b/a.}$$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{-}}$ ${\displaystyle {\vec {c}}_{+}}$ ${\displaystyle (\pm a,0)}$
   点における接線の方程式は、双曲線の接線のこの記述が双曲線の正射影を決定するための必須のツールとなります。 ${\displaystyle {\vec {c}}_{\pm }(m)}$ $${\displaystyle y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}-b^{2}}}.}$$

双曲線関数

単位双曲線の 点を通る半直線において、半直線、双曲線、-軸の間の面積の2倍となる。-軸より下の双曲線上の点については、面積は負とみなされる。 ${\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ ${\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

三角関数が単位円で定義されるのと同様に、双曲線関数も単位双曲線で定義されます（この図を参照）。単位円では、角度（ラジアン）は、その角度が囲む円弧の面積の2倍に等しくなります。同様に、双曲線角も双曲線弧の面積の2倍として定義されます。

を軸と原点を通り単位双曲線と交わる直線との間の面積の2倍とし、を交点の座標と定義する。すると、双曲扇形の面積は三角形の面積から頂点を越えた​​曲線部分を差し引いたものとなる。 これは、双曲余弦の面積に簡約される。を解くと、双曲余弦の指数関数が得られる。から、その逆関数である双曲正弦の面積が得られる。他の双曲関数は、双曲余弦と双曲正弦に基づいて定義される。例えば、 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle (x,y)=(\cosh a,\sinh a)=(x,{\sqrt {x^{2}-1}})}$ ${\displaystyle (1,0)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2}}&={\frac {xy}{2}}-\int _{1}^{x}{\sqrt {t^{2}-1}}\,dt\\[1ex]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle a=\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle x=\cosh a={\frac {e^{a}+e^{-a}}{2}}.}$$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ $${\displaystyle y=\sinh a={\sqrt {\cosh ^{2}a-1}}={\frac {e^{a}-e^{-a}}{2}},}$$ $${\displaystyle a=\operatorname {arsinh} y=\ln \left(y+{\sqrt {y^{2}+1}}\right).}$$ $${\displaystyle \operatorname {tanh} a={\frac {\sinh a}{\cosh a}}={\frac {e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}.}$$

プロパティ

反射特性

双曲線：接線は焦点を通る線を二等分する

ある点における接線は、直線間の角度を二等分します。これは双曲線の光学特性または反射特性と呼ばれます。 ^[20] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}.}$

証拠

を、焦点までの距離が である直線上の点とします(図を参照、は双曲線の長半径)。直線は、直線 間の角度の二等分線です。が点 における接線であることを証明するために、と異なる直線 上の点は双曲線上にはあり得ないことを確認します。したがって、 は双曲線とのみを共有しており、したがって は点 における接線です。図と三角不等式から、が成り立つことがわかります。これは、 を意味します。ただし、が双曲線の点である場合、その差は となるはずです。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\overline {PF_{1}}},{\overline {PF_{2}}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$
${\displaystyle |QF_{2}|<|LF_{2}|+|QL|=2a+|QF_{1}|}$ ${\displaystyle |QF_{2}|-|QF_{1}|<2a}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle 2a}$

平行弦の中点

双曲線: 平行弦の中点が一直線上にあります。

双曲線: 弦の中点は、漸近線の対応する弦の中点です。

双曲線の平行弦の中点は、中心を通る線上にあります (図を参照)。

あらゆる弦の点は、双曲線の異なる枝上に位置する場合があります。

中点に関する性質の証明は、双曲線について行うのが最も適切である。任意の双曲線は双曲線のアフィン像であり（以下のセクションを参照）、アフィン変換は線分の平行性と中点を保存するため、この性質はすべての双曲線について成り立つ。双曲線の2点について、 ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=1/x}$
${\displaystyle P=\left(x_{1},{\tfrac {1}{x_{1}}}\right),\ Q=\left(x_{2},{\tfrac {1}{x_{2}}}\right)}$ ${\displaystyle y=1/x}$

弦の中点は ${\displaystyle M=\left({\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},\cdots \right)=\cdots ={\tfrac {x_{1}+x_{2}}{2}}\;\left(1,{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)\ ;}$

弦の傾きは ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {1}{x_{2}}}-{\tfrac {1}{x_{1}}}}{x_{2}-x_{1}}}=\cdots =-{\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\ .}$

平行弦の場合、傾きは一定であり、平行弦の中点は直線上にある。 ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x_{1}x_{2}}}\;x\ .}$

結論：弦上の任意の点対に対して、双曲線の中心を通る軸（固定点の集合）を持つ斜め反射が存在し、この反射では点が交換され、双曲線全体は固定されます。斜め反射は、直線 を横切る通常の反射の一般化であり、すべての点像対は に垂直な直線上にあります。 ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

斜め鏡映では双曲線は固定されるため、一対の漸近線も固定されます。したがって、弦の中点は、漸近線間の線分も半分に分割します。これは、 が成り立つことを意味します。この性質は、点と漸近線が与えられている場合、双曲線の更なる点の構築に利用できます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle {\overline {P}}\,{\overline {Q}}}$ ${\displaystyle |P{\overline {P}}|=|Q{\overline {Q}}|}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

弦が接線に退化する場合、接点は漸近線間の線分を 2 つに分割します。

直交接線 – 直交座標

双曲線とその直交座標（マゼンタ）

双曲線の場合、直交接線の交点は円上に存在します。この円は、与えられた双曲線の直交円と呼ばれます。 ${\textstyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\,a>b}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}}$

接線は双曲線の異なる枝上の点に属する場合があります。

直交接線のペアが存在しない場合。 ${\displaystyle a\leq b}$

双曲線の極-極関係

双曲線：極-極関係

任意の双曲線は、適切な座標系において方程式 で記述できる。双曲線の点における接線の方程式は、 である。点 を原点とは異なる任意の点とすると、 ${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\tfrac {y_{0}y}{b^{2}}}=1.}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$

点は双曲線の中心を通るのではなく、直線上にマッピングされます。 ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0})\neq (0,0)}$ ${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

点と線の間のこの関係は一対一の関係です。

逆関数マップ

点に線を引いて ${\displaystyle y=mx+d,\ d\neq 0}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {ma^{2}}{d}},-{\frac {b^{2}}{d}}\right)}$

点に線を引く ${\displaystyle x=c,\ c\neq 0}$ ${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{c}},0\right)\ .}$

円錐曲線によって生成される点と直線の間のこのような関係は、極-極関係、あるいは単に極性と呼ばれます。極は点、極は直線です。「極と極」を参照してください。

計算により、双曲線の極-極関係の次の特性を確認します。

• 双曲線上の点（極）の場合、極座標はその点における接線です（図を参照）。 ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• 双曲線の外側の極の場合、その極と双曲線の交点は、2 つの接線が通る接点です(図を参照)。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\ p_{2},\ P_{3},\ p_{3}}$
• 双曲線内の点の場合、極座標は双曲線と共通する点を持ちません。(図を参照)。 ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$

備考：

1. 2 つの極 (例: ) の交点は、それらの極を通る線 (ここでは) の極です。 ${\displaystyle p_{2},p_{3}}$ ${\displaystyle P_{2},P_{3}}$
2. 焦点と、および準線と、はそれぞれ極と極のペアに属します。 ${\displaystyle (c,0),}$ ${\displaystyle (-c,0)}$ ${\displaystyle x={\tfrac {a^{2}}{c}}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a^{2}}{c}}}$

楕円や放物線にも極-極関係が存在します。

その他の特性

• 以下のものは共線である：（１）双曲線の焦点を通り、双曲線の中心を中心とする円、（２）頂点で双曲線に接する線のいずれか、および（３）双曲線の漸近線のいずれか。^{[21] [22]}
• 以下のものも共線である：（１）双曲線の中心を中心とし、双曲線の頂点を通る円、（２）いずれかの準線、（３）いずれかの漸近線。^[22]
• 横軸と共役軸は両方とも対称軸であるため、双曲線の対称群はクラインの四元群です。
• 長方形双曲線xy =定数は、双曲線を不変集合として持つスクイーズ写像による群作用を許容します。
• 直角双曲線の中心は、その上で直交心系を形成しない任意の 4 つの点のポンスレ点です。

弧の長さ

双曲線の弧の長さには基本的な式はありません。双曲線の上半分は次のようにパラメータ化できます。

$${\displaystyle y=b{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}.}$$

次に、からまでの弧の長さを与える積分は次のように計算できます。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

$${\displaystyle s=b\int _{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}{\sqrt {1+\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)\sinh ^{2}v}}\,\mathrm {d} v.}$$

置換 を使用した後、これはパラメータ を持つ第2種不完全楕円積分を使用して表すこともできます。 ${\displaystyle z=iv}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$

$${\displaystyle s=ib{\Biggr [}E\left(iv\,{\Biggr |}\,1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right){\Biggr ]}_{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{2}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\frac {x_{1}}{a}}}.}$$

実数のみを用いると、これは^{[23]となる。}

$${\displaystyle s=b\left[F\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)-E\left(\operatorname {gd} v\,{\Biggr |}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right)+{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\tanh ^{2}v}}\,\sinh v\right]_{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{1}}{a}}}^{\operatorname {arcosh} {\tfrac {x_{2}}{a}}}}$$

ここではパラメータ を持つ第 1 種不完全楕円積分であり、はグーデルマン関数です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle m=k^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {gd} v=\arctan \sinh v}$

導出曲線

極座標における正弦螺旋（r ⁿ = −1 ⁿ cos( nθ ), θ = π /2）とそれに相当する直交座標：

  n = −2 : 正双曲線

  n = −1 :直線

  n = −1/2 :放物線

  n = 1/2 :カーディオイド

  n = 1 :円

  n = 2 :ベルヌーイのレムニスケート

双曲線から反転によっていくつかの曲線を導くことができ、これらはいわゆる双曲線の逆曲線である。反転の中心を双曲線自身の中心とした場合、逆曲線はベルヌーイのレムニスケートとなる。レムニスケートは、直角双曲線を中心とし原点を通る円の包絡線でもある。反転の中心を双曲線の焦点または頂点とした場合、結果として得られる逆曲線はそれぞれリマソンまたはストロフォイドとなる。

楕円座標

共焦点双曲線族は、2次元の楕円座標系の基礎となる。これらの双曲線は、以下の式で表される。

$${\displaystyle \left({\frac {x}{c\cos \theta }}\right)^{2}-\left({\frac {y}{c\sin \theta }}\right)^{2}=1}$$

ここで、焦点は原点からx軸上の距離cに位置し、θは漸近線とx軸のなす角である。この族に属するすべての双曲線は、同じ焦点を共有するすべての楕円と直交する。この直交性は、直交座標系w = z + 1/ zの等角写像によって示される。ここで、z = x + iyは元の直交座標であり、w = u + ivは変換後の座標である。

双曲線を含む他の直交二次元座標系は、他の等角写像によって得られる。例えば、w = z ²の写像は、直交座標系を2つの直交双曲線族に変換する。

円の双曲線的外観の円錐断面分析

球面への円の中心投影：投影の中心Oは球面内にあり、像面は赤色です。
円の像は円（マゼンタ）、楕円、双曲線、直線となります。放物線のような特殊なケースはこの例では現れません。
（中心Oが球面上にある場合、円の像はすべて円または直線になります。ステレオ投影を参照してください。）

円錐曲線は、円、楕円、放物線、双曲線を統一的に記述するだけでなく、観察されるシーンが円、より一般的には楕円で構成されている場合の遠近法の幾何学の自然なモデルとしても理解できます。観察者は通常、カメラまたは人間の目であり、シーンの像は像面への中心投影です。つまり、すべての投影光線は中心である固定点Oを通過します。レンズ面は、レンズOにおいて像面と平行な平面です。

円cのイメージは

1. 円、円cが特別な位置、例えば像面と平行な位置にある場合など（立体投影を参照）、
2. cがレンズ面と共通する点を持たない場合、楕円となる。
3. 放物線、cがレンズ面と共通の1点を持ち、
4. c がレンズ面と共通の2 つの点を持つ場合、双曲線になります。

（円平面が点Oを含む特殊な位置は省略します。）

これらの結果は、投影プロセスが 2 つのステップで見られることを認識すれば理解できます。1) 円 c と点Oが円錐を生成し、2) その円錐が画像平面によって切断されて画像が生成されます。

レンズ面によって円が切り取られた部分を目にすると、必ず双曲線が見えます。見える側の枝のほとんどが見えず、さらにもう一方の枝が全く見えないため、人間の視覚系では双曲線との関連性を認識することは事実上不可能です。

アプリケーション

日時計の赤緯線としての双曲線

水平な超音速航空機の衝撃波が平らな地面（黄色）に接触する領域は、地面が円錐の軸と平行に交差するため、双曲線の一部になります。

日時計

双曲線は多くの日時計で見られます。どの日でも、太陽は天球上を円を描いて回転し、日時計上の点に当たるその光線は光の円錐を描きます。この円錐と地面の水平面の交点が円錐曲線を形成します。人口の多いほとんどの緯度で、また一年のほとんどの時期に、この円錐曲線は双曲線です。実際には、棒の先端の影は 1 日を通して地面に双曲線を描きます (この軌跡は赤緯線と呼ばれます)。この双曲線の形は地理的な緯度と一年の時期によって変わります。これらの要因が地平線に対する太陽光線の円錐に影響を与えるからです。特定の場所におけるこのような双曲線の 1 年間の集合は、両刃の斧に似ていることから、ギリシャ人によってペレキノンと呼ばれていました。

マルチラテレーション

双曲線は、マルチラテレーション問題を解くための基礎です。マルチラテレーション問題とは、ある点から与えられた点までの距離の差、またはそれと同等に、ある点と与えられた点との間の同期信号の到着時間の差からその点の位置を特定する作業です。このような問題は、特に水上の航行において重要です。船舶は、LORANまたはGPS送信機からの信号の到着時間の差から、その位置を特定できます。逆に、ホーミング ビーコンまたは任意の送信機は、2 つの別々の受信局での信号の到着時間を比較することによって、その位置を特定できます。このような技術は、物体や人を追跡するために使用できます。特に、与えられた 2 点からの距離差が 2 aである点の可能な位置の集合は、その焦点が与えられた 2 点である、頂点間の距離が 2 aの双曲線です。

粒子が辿る経路

古典的なケプラー問題において、あらゆる粒子が辿る軌道は円錐曲線となる。特に、粒子の全エネルギーEがゼロより大きい場合（つまり、粒子が束縛されていない場合）、そのような粒子の軌道は双曲線となる。この性質は、高エネルギー粒子の散乱による原子および亜原子レベルの力の研究に役立つ。例えば、ラザフォードの実験では、金原子によるアルファ粒子の散乱を調べることで原子核の存在を実証した。短距離の原子核相互作用を無視すれば、原子核とアルファ粒子はクーロン反発力のみで相互作用し、これはケプラー問題の逆二乗則の要件を満たす。 ^[24]

コルテヴェク・ド・フリース方程式

双曲三角関数は、管内のソリトン波の運動を記述するコルテウェグ・ド・フリース方程式の 1 つの解として現れます。 ${\displaystyle \operatorname {sech} \,x}$

角の三等分

離心率2の双曲線（黄色の曲線）を使用して角度（AOB）を三等分する

ペルガのアポロニウスが初めて示したように、双曲線は任意の角度を三等分するのに使用できます。これは幾何学においてよく研究されている問題です。角度が与えられたら、まず頂点Oを中心とし、その角の辺と点Aおよび点Bで交差する円を描きます。次に、端点AおよびBを通る線分とその垂直二等分線を描きます。を準線、Bを焦点として、離心率e =2の双曲線を作成します。双曲線と円の交点（上側）をPとします。角POB は角AOBを三等分します。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

これを証明するには、線分OP を線分 BP について鏡映しし、点P' をPの像として求めます。鏡映により線分AP'は線分BPと同じ長さになりますが、双曲線の離心率により線分 PP' は線分 BP と同じ長さになります。[ 25 ] OA ^、OP ' 、 OP 、 OBはすべて同じ円の半径（つまり同じ長さ）なので、三角形OAP'、OPP'、OPBはすべて合同です。したがって、3× POB = AOBなので、角は三等分されています。^[26] ${\displaystyle \ell }$

効率的ポートフォリオフロンティア

ポートフォリオ理論では、平均分散効率の高いポートフォリオの軌跡（効率フロンティアと呼ばれる）は、ポートフォリオの収益の標準偏差を水平にプロットし、その期待値を垂直にプロットして描かれた双曲線の東向きの枝の上半分です。この理論によれば、すべての合理的な投資家はこの軌跡上のある点によって特徴付けられるポートフォリオを選択します。

生化学

生化学と薬理学において、ヒルの式とヒル・ラングミュアの式はそれぞれ、生物学的反応とタンパク質-リガンド複合体の形成をリガンド濃度の関数として記述する。これらはいずれも直角双曲線である。

二次曲線の平面切断としての双曲線

双曲線は次の二次曲線の平面切断として現れます。

• 楕円錐
• 双曲円筒
• 双曲放物面
• 一枚の双曲面
• 2枚の双曲面

• 
  楕円錐
• 
  双曲円筒
• 
  双曲放物面
• 
  一枚の双曲面
• 
  2枚の双曲面

参照

その他の円錐曲線

• 丸
• 楕円
• 放物線
• 退化した円錐曲線

その他の関連トピック

• 楕円座標は、楕円と双曲線の族に基づいた直交座標系です。
• 双曲線成長
• 双曲型偏微分方程式
• 双曲セクター
• 双曲面構造
• 双曲線軌道
• 双曲面
• マルチラテレーション
• 軸の回転
• 軸の移動
• 単位双曲線

注記

1. オークリー 1944年、17ページより。
2. ヒース、サー・トーマス・リトル（1896年）「第1章 円錐曲線の発見。メナエクムス」『ペルガのアポロニウス：円錐曲線に関する論文と序論、この主題に関する初期の歴史に関するエッセイを含む』ケンブリッジ大学出版局、pp.  xvii– xxx。
3. Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011), 『数学の歴史』Wiley, p. 73, ISBN 9780470630563これらの曲線に関連して「楕円」と「双曲線」という名前を導入したのは、おそらくアルキメデスの提案に従ったアポロニウスでした。
4. イヴス、ハワード（1963年）、幾何学概論（第1巻）、アリン＆ベーコン、  pp.30-31
5. プロッター&モーリー、1970年、308–310ページ。
6. プロッター & モーリー 1970、p. 310.
7. アポストル、トム M. Mnatsakanian、Mamikon A. (2012)、New Horizo​​ns in Geometry、The Dolciani Mathematical Expositions #47、The Mathematical Association of America、p. 251、ISBN 978-0-88385-354-2
8. このサークルのドイツ語の用語はLeitkreisであり、「ディレクターサークル」と翻訳できますが、この用語は英語の文献では異なる意味を持ちます (ディレクターサークルを参照)。
9. Frans van Schooten : Mathematische Oeffeningen、ライデン、1659 年、p. 327
10. E. ハートマン：講義ノート「平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門」93ページ
11. W. ベンツ: Vorlesungen über Geomerie der Algebren、 Springer (1973)
12. 講義ノート 平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門、S. 33、(PDF; 757 kB)
13. 講義ノート 平面円幾何学、メビウス平面、ラゲール平面、ミンコフスキー平面入門、S. 32、(PDF; 757 kB)
14. Fanchi, John R. (2006). 『科学者とエンジニアのための数学復習』John Wiley and Sons. 第3.2節、44～45ページ. ISBN 0-471-75715-2。
15. Korn, Granino A; Korn, Theresa M. (2000). 『科学者とエンジニアのための数学ハンドブック：定義、定理、公式の参照と復習』（第2版）. Dover Publ. p. 40.
16. Protter & Morrey 1970、pp.APP-29–APP-30。
17. Mitchell, Douglas W.、「双曲線とその漸近線の性質」、Mathematical Gazette 96、2012年7月、299–301。
18. JW Downs, Practical Conic Sections , Dover Publ., 2003 (原著 1993): p. 26.
19. ケイシー、ジョン（1885）「点、直線、円、円錐断面の解析幾何学に関する論文。最新の拡張の説明と多数の例を含む」
20. Coffman, RT; Ogilvy, CS (1963)、「円錐曲線の『反射特性』」、Mathematics Magazine、36 (1): 11– 12、doi :10.1080/0025570X.1963.11975375、JSTOR  2688124
    フランダース、ハーレー（1968）、「円錐曲線の光学特性」、アメリカ数学月刊誌、75（4）：399、doi：10.1080/00029890.1968.11970997、JSTOR  2313439

    Brozinsky, Michael K. (1984)、「楕円と双曲線の反射特性」、College Mathematics Journal、15 (2): 140– 42、doi :10.1080/00494925.1984.11972763（2025年7月1日現在休止）、JSTOR  2686519{{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)

21. “Hyperbola”. Mathafou.free.fr . 2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年8月26日閲覧。
22. 「双曲線の性質」。2017年2月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2011年6月22日閲覧。
23. Carlson, BC (2010)、「楕円積分」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
24. ハイルブロン、ジョン・L. (1968). 「α粒子とβ粒子の散乱とラザフォードの原子」.正確科学史アーカイブ. 4 (4): 247– 307. doi :10.1007/BF00411591. JSTOR  41133273.
25. PからPP'までの距離の2倍は準線焦点の性質によりBPに等しいので ${\displaystyle \ell }$
26. アレクサンドリアのパップス（西暦300年頃）によるもので、証明はKazarinoff 1970の62ページにあります。

参考文献

• カザリノフ、ニコラス・D.（1970）「定規と円」、ボストン：プリンドル、ウェーバー＆シュミット、ISBN 0-87150-113-9
• オークリー、コロラド州（1944年）、微積分学の概要、ニューヨーク：バーンズ＆ノーブル
• プロッター、マレー H. ;モリー、チャールズ B. ジュニア(1970)、『大学微積分学と解析幾何学』（第 2 版）、アディソン・ウェスレー社、LCCN  76087042

外部リンク

• 「双曲線」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• アポロニウスによる収束双曲線の導出
• 数学オーフェニンゲン、フランス・ファン・スホーテン、1659
• ワイスタイン、エリック・W.「双曲線」。MathWorld。

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