半径の4倍または(4/3)倍の円を別の円の内側に転がすことによって生成される曲線
アステロイド 小惑星のハイポサイクロイド構造。 小惑星 x 2 ⁄ 3 + y 2 ⁄ 3 = r 2 ⁄ 3 は、 方程式 ( x ⁄ a ) 2 + ( y ⁄ b ) 2 = r 2 （ a + b = 1 ）の 楕円 族の 共通 エンベロープ です。 垂直の壁を滑り降りる梯子の包絡線（右上の象限にある色付きの線）とその反射（他の象限）は、小惑星です。中点は円を描き、その他の点は前の図と同様に楕円を描きます。SVGファイルでは、梯子にマウスポインターを合わせるとハイライト表示されます。 楕円の縮閉線としての小惑星 数学 において 、ア ステロイドとは ルーレット曲線 の一種で 、 4つの 尖端を持つ内 サイクロイド のことである。具体的には、 半径 の4倍の固定円内を 円上の点が 転がる 軌跡 である。 [1] 二重生成により、半径の4/3倍の固定円内を円上の点が転がる軌跡でもある。また、 各軸上に端点を保ちながら移動する固定長の線分の 包絡線としても定義できる。したがって、これは アルキメデスのトランメル における動く棒の 包絡線 である。
現代名はギリシャ語で「星 」を意味する言葉に由来する 。 1838年に ヨーゼフ・ヨハン・フォン・リトロウによって「アストロイス」という形で提唱された。 [2] [3]この曲線には、 テトラカスピド （現在も使用されている）、 キューボサイクロイド 、 パラサイクル など、様々な名前が付けられてきた 。楕円の縮閉線とほぼ同じ形状である。
方程式 固定円の半径が a の場合、方程式は [4] で与えられます。
これは小惑星も 超楕円で あることを意味します。 × 2 / 3 + y 2 / 3 ＝ 1つの 2 / 3 。 {\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}
媒介変数方程式 は × ＝ 1つの コス 3 t ＝ 1つの 4 （ 3 コス （ t ） + コス （ 3 t ） ） 、 y ＝ 1つの 罪 3 t ＝ 1つの 4 （ 3 罪 （ t ） − 罪 （ 3 t ） ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}
原点に関する ペダル 方程式は r 2 ＝ 1つの 2 − 3 p 2 、 {\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}
ヒュー ウェル方程式 は 、 チェザロ方程式 は s ＝ 3 1つの 4 コス 2 φ 、 {\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,} R 2 + 4 s 2 ＝ 9 1つの 2 4 。 {\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}
極 方程式 は [5] r ＝ 1つの （ コス 2 / 3 θ + 罪 2 / 3 θ ） 3 / 2 。 {\displaystyle r={\frac {a}{\left(\cos^{2/3}\theta +\sin^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}.}}
アステロイドは 種数 0の 平面代数曲線 の実軌跡である。その方程式は [6]である。 （ × 2 + y 2 − 1つの 2 ） 3 + 27 1つの 2 × 2 y 2 ＝ 0。 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}
したがって、小惑星は 6 次実代数曲線です。
多項式方程式の導出 多項式方程式は初等代数学によってライプニッツ方程式から導出できる。 × 2 / 3 + y 2 / 3 ＝ 1つの 2 / 3 。 {\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}
両側を立方体にします。 × 6 / 3 + 3 × 4 / 3 y 2 / 3 + 3 × 2 / 3 y 4 / 3 + y 6 / 3 ＝ 1つの 6 / 3 × 2 + 3 × 2 / 3 y 2 / 3 （ × 2 / 3 + y 2 / 3 ） + y 2 ＝ 1つの 2 × 2 + y 2 − 1つの 2 ＝ − 3 × 2 / 3 y 2 / 3 （ × 2 / 3 + y 2 / 3 ） {\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}
両辺をもう一度立方体にします。 （ × 2 + y 2 − 1つの 2 ） 3 ＝ − 27 × 2 y 2 （ × 2 / 3 + y 2 / 3 ） 3 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}}
しかし、 × 2 / 3 + y 2 / 3 ＝ 1つの 2 / 3 {\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}
すると、 （ × 2 / 3 + y 2 / 3 ） 3 ＝ 1つの 2 。 {\displaystyle \left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}=a^{2}.}
したがって: または （ × 2 + y 2 − 1つの 2 ） 3 ＝ − 27 × 2 y 2 1つの 2 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}} （ × 2 + y 2 − 1つの 2 ） 3 + 27 × 2 y 2 1つの 2 ＝ 0。 {\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.}
メトリックのプロパティ 囲まれた区域 [7] 3 8 π 1つの 2 {\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}} 曲線の長さ 6 1つの {\displaystyle 6a} x 軸を中心とした囲まれた領域の回転面の体積 。 32 105 π 1つの 3 {\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}} x 軸 周りの回転面積 12 5 π 1つの 2 {\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}} 外接円の半径 1つの {\displaystyle a} 内接円の半径 1つの / 2 {\displaystyle a/2}
プロパティ 小惑星は、実平面（恒星上の点）に4つのカスプ特異点を持ちます。さらに無限遠点に2つの複素カスプ特異点と4つの複素二重点があり、合計10の特異点があります。
小惑星の双対曲線は、次の式を持つ十字曲線です。 小惑星 の 縮 閉線 は、小惑星の 2 倍の大きさ です 。 × 2 y 2 ＝ × 2 + y 2 。 {\textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}
小惑星は各方向に1本の接線しか持たないため、 ハリネズミ の例となります。 [8]
参照
参考文献 ^ イェーツ ^ JJ 対リトロウ (1838)。 「§99. アストロワに死す」。 数学を学ぶ 。ウィーン。 p. 299. ^ ロリア、ジーノ (1902)。特別な代数と超越的なエベネ・クルヴェン。理論とゲシヒテ。ライプツィヒ。 224ページ。 {{cite book }}: CS1 メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません ( リンク ) ^ Yates、セクション ^ ワイスタイン、エリック・W. 「アストロイド」. マスワールド 。 ^ この式の導出は http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf の 3 ページに記載されています。 ^ Yates、セクション ^ 西村隆志;酒見優（2011）。 「内側からの眺め」。 北海道数学雑誌 。 40 (3): 361–373 。 土井 : 10.14492/hokmj/1319595861 。 MR 2883496。 J. デニス・ローレンス (1972). 『特殊平面曲線カタログ 』 ドーバー出版. pp. 4–5, 34– 35, 173– 174. ISBN 0-486-60288-5 。 ウェルズ・D (1991). 『ペンギン辞典 不思議で興味深い幾何学 』 ニューヨーク: ペンギンブックス. pp. 10– 11. ISBN 0-14-011813-6 。 RC Yates (1952). 「Astroid」. 曲線とその特性に関するハンドブック . ミシガン州アナーバー: JW Edwards. pp. 1 ff.
外部リンク ウィキメディア・コモンズには、 Astroid に関連するメディアがあります 。
![{\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1de9e465b10ce90fd11a5a9f0280d38b7e42855)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e4eba6f43f8232684b00797f45f50324982a38)
