自然密度

数論において、自然密度（漸近密度、算術密度とも呼ばれる）は、自然数の集合の部分集合がどれだけ「大きい」かを示す尺度である。これは主に、 $nが$ 大きくなるにつれて区間 $[1,$ $n$ $]$ をくまなく探索した際に、目的の部分集合の要素に遭遇する確率に依存する。

たとえば、すべての完全平方はすでに正であるにもかかわらず、そのほかに多くの正の整数が存在するため、正の整数のほうが完全平方の数より多いと直感的に思えるかもしれません。しかし、正の整数の集合は実際には完全平方の集合より大きくはありません。どちらの集合も無限かつ可算であるため、1対1で対応させることができます。それでも、自然数を調べていくと、平方数はますます少なくなります。自然密度の概念により、この直感は多くの自然数の部分集合に対して正確になりますが、すべてではありません（シュニレルマン密度を参照してください。これは自然密度に似ていますが、のすべての部分集合に対して定義されています）。 $\mathbb {N}$

区間 $[1, n]から整数をランダムに選択した場合、それが$ $A$ に属する確率は、 $Aの$ $[1, n]$ に含まれる要素の数と $[1, n]$ に含まれる要素の総数の比です。この確率が $n が$ 無限大に近づくにつれてある極限に達する場合、この極限は $A$ の漸近密度と呼ばれます。この概念は、集合 $A$ から数字を選択する確率の一種として理解できます。実際、漸近密度（およびその他の種類の密度）は確率数論で研究されています。

意味

正の整数の部分集合 $A$ が自然密度 $αを持つとすると、$ $1$ から $n$ までのすべての自然数の中での $A$ の要素の割合は、 $n が$ 無限大に近づくにつれて $α$ に収束します。

$より明確に言えば、任意の自然数n$ に対して、計数関数 $a (n)を$ $Aの$ $n$ 以下の要素の数と定義すると、 $A$ の自然密度が $α$ であることは^[1]

a (n)/ n \to α

として

n \to \infty

。

定義から、集合 $A$ が自然密度 $α$ を持つ場合、 $0 \leq α \leq 1 と$ なることがわかります。

上側漸近密度と下側漸近密度

を自然数集合のサブセットとします。任意のについて、を共通部分と定義し、がより小さいかそれに等しい要素の数であるとします。 $A$ $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.$ $n\in \mathbb {N}$ $A(n)$ $A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A,$ $a(n)=|A(n)|$ $A$ $n$

の上漸近密度 (「上密度」とも呼ばれる) を次のように定義します。ここで、 lim sup は上限値です。 ${\overline {d}}(A)$ $A$ ${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

同様に、の下漸近密度 （「下密度」とも呼ばれる）をで定義します。ここで、 lim inf はの極限です。のとき、は漸近密度を持つと言えます。この場合、はこの共通の値に等しくなります。 ${\underline {d}}(A)$ $A$ ${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$ $A$ $d(A)$ ${\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)$ $d(A)$

この定義は次のように言い換えることができる。「この限界が存在する場合」^[2] $d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}$

これらの定義は、次のように表現することもできます^{（[要出典]）} 。の部分集合が与えられたとき、それを自然数で添え字付けされた増加列として書きます。そして、極限が存在する場合、となります。 $A$ $\mathbb {N}$ $A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}.$ ${\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},$ ${\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$ $d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}$

密度のやや弱い概念は、集合の上バナッハ密度 である。これは次のように定義される^[^{引用が必要}^] $d^{*}(A)$ $A\subseteq \mathbb {N} .$ $d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}.$

プロパティと例

正の整数の有限集合 Fに対して、d ( F ) = 0 です。
ある集合Aに対してd ( A ) が存在し、A ^{c が}に関するその補集合を表す場合、d ( A ^c ) = 1 − d ( A ) となります。 $\mathbb {N}$
- 系:が有限の場合（の場合も含む）、 $F\subset \mathbb {N}$ $F=\emptyset$ $d(\mathbb {N} \setminus F)=1.$
とが存在する場合、 $d(A),d(B),$ $d(A\cup B)$ $\max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.$
がすべての正方形の集合である場合、 d ( A ) = 0 となります。 $A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}$
が偶数全体の集合であるとき、 d ( A ) = 0.5となる。同様に、任意の等差数列に対して、 $A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}$ $A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}$ $d(A)={\tfrac {1}{a}}.$
すべての素数の集合Pについては、素数定理からd ( P ) = 0となります。
すべての平方自由整数の集合の密度はです。より一般的には、任意の自然数nに対するすべてのn乗自由数の集合の密度はです。ここではリーマンゼータ関数です。 ${\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.$ ${\tfrac {1}{\zeta (n)}},$ $\zeta (n)$
過剰数の集合は非ゼロの密度を持つ。^[3] マルク・デレグリーズは1998年に過剰数の集合の密度が0.2474から0.2480の間であることを示した。^[4]
2進展開で奇数の桁数を含む数の集合は漸近密度を持たない集合の例である。なぜなら、この集合の上側の密度はであるのに対し、下側の密度はであるからである。 $A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}$ ${\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},$ ${\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.$
同様に、1で始まる小数展開の数の集合には自然密度がありません。つまり、下限密度は1/9で上限密度は5/9です。 ^[1]（ベンフォードの法則を参照）。
における等分布列を考え、単調な集合族を定義します。すると、定義により、すべてのに対してとなります。 $\{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $[0,1]$ $\{A_{x}\}_{x\in [0,1]}$ $A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha _{n}<x\}.$ $d(A_{x})=x$ $x$
Sが正の上密度の集合である場合、セメレディの定理によれば、Sには任意の大きさの有限等差数列が含まれるとされ、フュルステンベルグ・サルケジの定理によれば、 Sの 2 つの要素の差は平方数であるとされます。

その他の密度関数

自然数の部分集合上の他の密度関数も同様に定義できる。例えば、集合Aの対数密度は、（もし存在するならば）極限として定義される。 $\mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}.$

上限と下限の対数密度も同様に定義されます。

被加数にを使うという直感は、調和級数が（オイラー・マスケローニ定数）に漸近的に近づくという事実から来ています。したがって、この定義により、自然数の対数密度がとなることが保証されます。 ${\tfrac {1}{n}}$ $\log n+\gamma$ $\gamma =0.577\ldots$ $1$

ダベンポート・エルデシュの定理によれば、整数列の倍数集合に対して、自然密度が存在する場合、それは対数密度に等しいとされる。^[5]

参照

注記

^ ab テネンバウム (1995) p.261
^ ネイサンソン (2000) 256–257ページ
^ ホール、リチャード・R.;テネンバウム、ジェラルド(1988).約数. ケンブリッジ数学論文集. 第90巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. p. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001。
^ Deléglise, Marc (1998). 「過剰整数の密度の境界」.実験数学. 7 (2): 137– 143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi :10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127.
^ ホール、リチャード・R.（1996）、倍数集合、ケンブリッジ数学論集、第118巻、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、定理0.2、p.5、doi：10.1017 / CBO9780511566011、ISBN 978-0-521-40424-2、MR 1414678

参考文献

ネイサンソン、メルヴィン・B. (2000).数論における初等的方法. 数学大学院テキスト. 第195巻.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002。
ニーヴン、アイヴァン (1951). 「数列の漸近密度」.アメリカ数学会報. 57 (6): 420– 434. doi : 10.1090/s0002-9904-1951-09543-9 . MR 0044561. Zbl 0044.03603.
Steuding, Jörn (2002). 「確率的数論」(PDF) . 2011年12月22日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2014年11月16日閲覧。
テネンバウム、ジェラルド (1995).解析的および確率的数論入門. ケンブリッジ高等数学研究. 第46巻.ケンブリッジ大学出版局. Zbl 0831.11001.

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[Ten261-1] テネンバウム (1995) p.261

[2] ネイサンソン (2000) 256–257ページ

[HT95-3] ホール、リチャード・R.;テネンバウム、ジェラルド(1988).約数. ケンブリッジ数学論文集. 第90巻. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. p. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001。

[Del1998-4] Deléglise, Marc (1998). 「過剰整数の密度の境界」.実験数学. 7 (2): 137– 143. CiteSeerX 10.1.1.36.8272 . doi :10.1080/10586458.1998.10504363. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127.

[5] ホール、リチャード・R.（1996）、倍数集合、ケンブリッジ数学論集、第118巻、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、定理0.2、p.5、doi：10.1017 / CBO9780511566011、ISBN 978-0-521-40424-2、MR 1414678