Mean position of all the points in a shape
三角形の重心 数学 と 物理学 において 、 平面図形 または 立体図形の 重心 （幾何 学的中心 、 図形中心 とも呼ばれる）は、図形内のすべての点の 平均 位置 です。同じ定義は、 1 次元 ユークリッド空間 内の任意の物体にも適用されます 。 [1] n {\displaystyle n}
幾何学 では、 質量密度が 均一であると仮定することが多く 、その場合、 重心 または 質量中心は 重心と一致する。非公式には、形状の切り抜き部分（質量が均一に分布している）がピンの先端に完全にバランスよく載る点と理解される。 [2]
物理学では、重力 の変化 を考慮すると、 重心は 特定の重さ で 重み付けされた すべての点の 加重平均 として定義できます 。
地理学 では 、地球の表面の領域を海面まで放射状に投影した重心が、その地域の 地理的な中心 となります。
歴史 「重心」という用語は1814年に造語されました。 [3] これは、その点の純粋に幾何学的な側面を強調したい場合に、古い用語である「重心」や「 質量中心 」の代わりに使用されます。この用語は英語特有のもので、例えばフランス語ではほとんどの場合「 centre de gravité 」が使用され、他の言語でも同様の意味を持つ用語が使用されています。 [ 要出典 ]
重心は、その名の通り、力学において、おそらく建築活動に関連して生まれた概念です。この概念が初めて登場した時期は定かではありません。なぜなら、この概念は多くの人々に、それぞれ微妙な違いはあるものの、個々に思い浮かんだものと考えられるからです。とはいえ、図形の重心は古代において広く研究されていました。 ボッサットは、平面図形の重心を初めて発見したのは アルキメデス （紀元前287年～212年）であるとして いますが、アルキメデス自身は重心の定義をしていません。 [4] アルキメデスによる立体の重心に関する記述は失われています。 [5]
三角形の中線が一点（三角形の重心）で交わるという定理をアルキメデスが ユークリッドから直接学んだとは考えにくい。なぜなら、この命題は『 原論』 には記されていないからだ 。この命題が初めて明示的に述べられたのは、 アレクサンドリアのヘロン （おそらく紀元1世紀）によるもので、彼の 『力学』 に見られる。ちなみに、この命題が平面幾何学の教科書で一般的に用いられるようになったのは19世紀になってからである。 [ 要出典 ]
プロパティ 凸面 体の幾何学的重心は 常にその物体の内部にあります。非凸面体の重心は、図形自体の外側にある場合があります。 例えば、 指輪 や ボウルの重心は、その物体の中心空間にあります。
重心が定義されていれば、それは その 対称群内の すべての等長変換の不動点 となります。特に、物体の幾何学的重心は、そのすべての 対称 超平面 の交点にあります 。多くの図形（ 正多角形 、 正多面体 、 円柱 、 長方形 、 菱形 、 円 、 球 、 楕円 、楕円体 、超楕円体 、 超 楕円体など）の 重心は 、この原理のみで決定できます。
特に、 平行四辺形の重心は、2本の 対角線 の交点です。これは他の 四辺形 には当てはまりません 。
同じ理由で、並進対称性 を持つオブジェクトの重心は 定義されません（または囲む空間の外側にあります）。これは並進には固定点がないためです。
例 三角形の重心は、三角形の3つの中線 （各中線は頂点と反対側の中点を結ぶ） の交点である。 [6]
三角形の重心のその他の特性については、以下を参照してください。
決定
鉛直線法 下の図 (a) のような均一密度の 平面薄板 の重心は、 下げ振り とピンを使用して、均一密度で形状が同じ薄い物体の重心を見つけることによって実験的に決定できます。物体は、推定される重心から離れた一点に挿入されたピンによって保持され、ピンの周りを自由に回転できます。次に、下げ振りをピンから下ろします (図 b)。下げ振りの位置を表面上でトレースし、物体の重心から離れた任意の異なる点 (または複数の点) にピンを挿入してこの手順を繰り返します。これらの線の唯一の交点が重心になります (図 c)。物体の密度が均一であれば、この方法で作成されたすべての線は重心を含み、すべての線が正確に同じ場所で交差します。
この方法は（理論的には）凹面形状（重心が形状の外側にある場合あり）にも拡張でき、また、（やはり均一な密度の）固体（重心が物体の内側にある場合あり）にも仮想的に拡張できます。下げ振りの（仮想的な）位置は、形状に沿って描く以外の方法で記録する必要があります。
バランス調整方法 凸状の二次元形状の場合、その形状を小さな形状、例えば細い円筒の上部にバランスさせることで重心を求めることができます。重心は、二つの形状の接触範囲内（そして、形状がピンの上でバランスをとる点と正確に一致する位置）のどこかにあります。原理的には、徐々に細くなる円筒を用いることで、任意の精度で重心を求めることができます。しかし、実際には空気の流れによってこれは不可能です。しかし、複数のバランスから重なり合う範囲をマークすることで、かなりの精度を達成できます。
有限の点集合の 有限の点 集合 の重心は [1] であり、 この点は集合内の各点とそれ自身との間のユークリッド距離の二乗和を最小化する。 k {\displaystyle k} x 1 , x 2 , … , x k {\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} C = x 1 + x 2 + ⋯ + x k k . {\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}
幾何分解により 平面図形の重心は、 それを有限個のより単純な図形に分割し、各部分の 重心 と面積を計算し 、次に計算すること
によって計算できます。 X {\displaystyle X} X 1 , X 2 , … , X n , {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},} C i {\displaystyle C_{i}} A i {\displaystyle A_{i}}
C x = ∑ i C i x A i ∑ i A i , C y = ∑ i C i y A i ∑ i A i . {\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}
図の穴が パーツ間で重なったり、図の外側に広がったりしている場合は、すべて負の領域を使用して処理できます。 つまり、正負の符号を使用して 、特定の点を囲むすべてのパーツ の の符号の合計が、 に属する 場合は になり、そう でない場合は になるように対策を講じる必要が あります 。 X , {\displaystyle X,} A i . {\displaystyle A_{i}.} A i {\displaystyle A_{i}} A i {\displaystyle A_{i}} p {\displaystyle p} 1 {\displaystyle 1} p {\displaystyle p} X , {\displaystyle X,} 0 {\displaystyle 0}
たとえば、下の図 (a) は、正の面積を持つ正方形と三角形、および負の面積を持つ円形の穴 (b) に簡単に分割できます。
各部分の重心は、 単純図形の重心リスト (c)から見つけることができます。そして、図形の重心は3点の加重平均です。図形の左端からの重心の水平位置は、 重心の垂直位置も同様に求められます。 x = 5 × 10 2 + 13.33 × 1 2 10 2 − 3 × π ( 2.5 ) 2 10 2 + 1 2 10 2 − π ( 2.5 ) 2 ≈ 8.5 units . {\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi (2.5)^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi (2.5)^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}
同じ式は任意の3次元物体にも当てはまりますが、それぞれの 面積ではなく 体積が求められます。また、面積を各部分の -次元 寸法 に置き換えた 任意の次元の の部分集合にも当てはまります 。 A i {\displaystyle A_{i}} X i , {\displaystyle X_{i},} R d , {\displaystyle \mathbb {R} ^{d},} d , {\displaystyle d,} d {\displaystyle d}
の 部分集合の重心は ベクトルの式で計算することもできる。 X {\displaystyle X} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
C = ∫ x g ( x ) d x ∫ g ( x ) d x = ∫ X x d x ∫ X d x {\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}={\frac {\int _{X}x\ dx}{\int _{X}dx}}}
ここで 積分は 空間全体に渡って行われ 、 は の サブセットの 特性関数 であり 、それ 以外の場合は である。 [7] 分母は単に セットの 測度で あることに注意してください。セットの測度がゼロの 場合、またはいずれかの積分が発散する場合は、この式は適用できません。 R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} g {\displaystyle g} X {\displaystyle X} R n : g ( x ) = 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!:\ g(x)=1} x ∈ X {\displaystyle x\in X} g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} X . {\displaystyle X.} X {\displaystyle X}
あるいは、重心の座標上の公式は次のように定義される。
C k = ∫ z S k ( z ) d z ∫ g ( x ) d x , {\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\ dz}{\int g(x)\ dx}},}
ここでは の 番目の座標 であり 、 は と の等式で定義される 超平面 と の交点の測度である。ここ でも、分母は単に の測度である。 C k {\displaystyle C_{k}} k {\displaystyle k} C , {\displaystyle C,} S k ( z ) {\displaystyle S_{k}(z)} X {\displaystyle X} x k = z . {\displaystyle x_{k}=z.} X . {\displaystyle X.}
特に平面図形の場合、重心座標は
C x = ∫ x S y ( x ) d x A , C y = ∫ y S x ( y ) d y A , {\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\ dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\ dy}{A}},}
ここで 、図形の面積は 横軸 の垂直線と の交点の長さであり 、縦 軸 の水平線と の交点の長さである。 A {\displaystyle A} X , {\displaystyle X,} S y ( x ) {\displaystyle S_{\mathrm {y} }(x)} X {\displaystyle X} x , {\displaystyle x,} S x ( y ) {\displaystyle S_{\mathrm {x} }(y)} X {\displaystyle X} y . {\displaystyle y.}
境界のある領域の 区間上の 連続関数 のグラフとによって囲まれた領域の 重心 は [ 7] [8] で与えられる。 ( x ¯ , y ¯ ) {\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} f ( x ) ≥ g ( x ) {\displaystyle f(x)\geq g(x)} [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],} a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b}
x ¯ = 1 A ∫ a b x ( f ( x ) − g ( x ) ) d x , y ¯ = 1 A ∫ a b 1 2 ( f ( x ) + g ( x ) ) ( f ( x ) − g ( x ) ) d x , {\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}
ここで は領域の面積である（ で与えられる ）。 [9] [10] A {\displaystyle A} ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) d x {\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx}
インテグラル 積分 グラフ（ プラニメーター の類似物）は、滑らかな（または部分的に滑らかな）境界を持つ不規則な形状の物体の重心を求めるために使用できます。ここで用いられる数学的原理は、 グリーンの定理 の特殊なケースです 。 [11]
L字型の物体 これは、L 字型のオブジェクトの重心を決定する方法です。
図2に示すように、図形を2つの長方形に分割します。対角線を引いて、2つの長方形の重心を求めます。重心を結ぶ線を引きます。図形の重心はこの線上になければなりません。 A B . {\displaystyle AB.} 図3に示すように、この図形をさらに2つの長方形に分割します。対角線を引いて、これらの2つの長方形の重心を求めます。重心を結ぶ線を引きます。L字型の重心はこの線上になければなりません。 C D . {\displaystyle CD.} 図形の重心は に沿って位置する必要があり 、また に沿って位置するため 、これらの 2 つの線の交点にある必要があります。つまり、 点は L 字型のオブジェクトの内側または外側にある可能性があります。 A B {\displaystyle AB} C D , {\displaystyle CD,} O . {\displaystyle O.} O {\displaystyle O}
三角形の 三角形 の重心は、その 中線（各 頂点 と対辺の中点 を結ぶ線） の交点である。 [6] 重心は、各中線を各辺から対辺の頂点までの距離の 比 で割ったものとなる。つまり、重心 は各辺から対辺の頂点までの距離の比で位置する（右の図を参照）。 [12] [13] 重心の 直交座標は、3つの頂点の座標の 平均 である 。つまり、3つの頂点がとすると、 重心 （ここでは 三角形の幾何学 で 最も一般的には次のように表記される ）は、 2 : 1 , {\displaystyle 2:1,} 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} L = ( x L , y L ) , {\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),} M = ( x M , y M ) , {\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),} N = ( x N , y N ) , {\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),} C {\displaystyle C} G {\displaystyle G}
C = 1 3 ( L + M + N ) = ( 1 3 ( x L + x M + x N ) , 1 3 ( y L + y M + y N ) ) . {\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}
したがって、重心は 重心座標 ではにあります 。 1 3 : 1 3 : 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}
三線座標 では、重心は辺の長さ と頂点の角度 を用いて、以下のいずれかの方法で表現できる 。 [14] a , b , c {\displaystyle a,b,c} L , M , N {\displaystyle L,M,N}
C = 1 a : 1 b : 1 c = b c : c a : a b = csc L : csc M : csc N = cos L + cos M ⋅ cos N : cos M + cos N ⋅ cos L : cos N + cos L ⋅ cos M = sec L + sec M ⋅ sec N : sec M + sec N ⋅ sec L : sec N + sec L ⋅ sec M . {\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M\\[6pt]&=\sec L+\sec M\cdot \sec N:\sec M+\sec N\cdot \sec L:\sec N+\sec L\cdot \sec M.\end{aligned}}}
三角形が均一な一枚の板材でできている場合、あるいはすべての質量が3つの頂点に集中し、それらの頂点間で均等に分散している場合、重心は物理的な質量の中心でもあります。一方、質量が三角形の周囲に沿って均一な 線密度 で分布している場合、質量の中心は スピーカー中心 （ 中心三角形 の 内心 ）にあります。これは（一般に）三角形全体の幾何学的な重心とは一致しません。
三角形の面積は、 任意の辺の長さと、その辺から重心までの垂線距離の積である。 [15] 3 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}
三角形の重心は、 その 垂心と外心を結ぶ オイラー線 上にあり、外心は垂心より 外心 の方がちょうど2倍近くなります。 [16] [17] H {\displaystyle H} O , {\displaystyle O,}
C H ¯ = 2 C O ¯ . {\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}
さらに、 内心 と 9点中心 については、 I {\displaystyle I} N , {\displaystyle N,} C H ¯ = 4 C N ¯ , C O ¯ = 2 C N ¯ , I C ¯ < H C ¯ , I H ¯ < H C ¯ , I C ¯ < I O ¯ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}
が三角形の重心で あれ ば G {\displaystyle G} A B C , {\displaystyle ABC,}
( Area of △ A B G ) = ( Area of △ A C G ) = ( Area of △ B C G ) = 1 3 ( Area of △ A B C ) . {\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}
三角形の重心の等角共役点は、その 対称 点 です 。
重心を通る3本の中線はいずれも三角形の面積を半分に分割します。これは重心を通る他の線には当てはまりません。等面積分割から最も大きく外れるのが、重心を通る線が三角形の辺と平行な場合です。この場合、小さな三角形と 台形 が形成されます。この場合、台形の面積は 元の三角形の面積と同じになります。 [18] 5 9 {\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}
頂点と重心を 持つ三角形の平面上の任意の点をとします。 すると、3つの頂点からの の 二乗距離の合計は、頂点からの 重心の二乗距離の合計を、 と の間の二乗距離の3倍だけ超えます 。 [19] P {\displaystyle P} A , B , C {\displaystyle A,B,C} G . {\displaystyle G.} P {\displaystyle P} G {\displaystyle G} P {\displaystyle P} G {\displaystyle G}
P A 2 + P B 2 + P C 2 = G A 2 + G B 2 + G C 2 + 3 P G 2 . {\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}
三角形の辺の二乗の合計は、頂点からの重心の二乗の合計の3倍に等しい。 [19]
A B 2 + B C 2 + C A 2 = 3 ( G A 2 + G B 2 + G C 2 ) . {\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}
三角形の重心は、三角形の辺から一点までの有向距離の積が最大となる点である。 [20]
を三角形とし、を その 重心とし、を 線分の中点とする。 [21] 平面上の 任意の点について、 A B C {\displaystyle ABC} G {\displaystyle G} D , E , F {\displaystyle D,E,F} B C , C A , A B , {\displaystyle BC,CA,AB,} P {\displaystyle P} A B C , {\displaystyle ABC,}
P A + P B + P C ≤ 2 ( P D + P E + P F ) + 3 P G . {\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}
多角形の 頂点 によって定義される 非自己交差閉多 角形 の重心は、点 [22] で定義される。 n {\displaystyle n} ( x 0 , y 0 ) , {\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;} ( x 1 , y 1 ) , … , {\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;} ( x n − 1 , y n − 1 ) , {\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),} ( C x , C y ) , {\displaystyle (C_{x},C_{y}),}
C x = 1 6 A ∑ i = 0 n − 1 ( x i + x i + 1 ) ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) , {\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}
そして
C y = 1 6 A ∑ i = 0 n − 1 ( y i + y i + 1 ) ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) , {\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}
そして 多角形の符号付き面積は [22] 靴ひもの公式 で説明されるとおりである 。 A {\displaystyle A}
A = 1 2 ∑ i = 0 n − 1 ( x i y i + 1 − x i + 1 y i ) . {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}
これらの式では、頂点はポリゴンの周囲に沿って発生する順に番号が付けられると想定されています。さらに、頂点は 最後のケースと 同じ 意味であると想定されており、ループする必要があります (ポイントが時計回りの順に番号付けされている場合、上記のように計算された領域は 負になりますが、この場合でも重心座標は正しいです)。 ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{n},y_{n})} ( x 0 , y 0 ) , {\displaystyle (x_{0},y_{0}),} i + 1 {\displaystyle i+1} i = 0. {\displaystyle i=0.} A , {\displaystyle A,}
非三角形多角形の重心は、その 頂点集合 のみを考慮した場合、 頂点の 重心と同じではありません（有限の点集合の重心として。 参照: Polygon#Centroid ）。
円錐またはピラミッドの 円錐 または 角錐 の重心は、 頂点 と底面の重心を結ぶ線分上にあります 。円錐または角錐が中実の場合、重心は 底面から頂点までの距離です。底面のない殻（中空）だけの円錐または角錐の場合、重心は 底面から頂点までの距離です。 1 4 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}} 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}
四面体と n 次元単体 四 面体は 、3次元空間 で4つの三角形を 面 として持つオブジェクトです 。四面体の頂点と反対の面の重心を結ぶ線分は 中線 と呼ばれ、2つの向かい合う辺の中点を結ぶ線分は 二重中線 と呼ばれます。したがって、4つの中線と3つの二重中線があります。これらの7つの線分はすべて、四面体の 重心 で交わります。 [23] 中線は重心で次の比で割られます。 四面体の重心は、 モンジュ点 と外心（外接球の中心）の中点です。これら3つの点は、 三角形の オイラー線 に相似した四面体の オイラー線を定義します。 3 : 1. {\displaystyle 3:1.}
これらの結果は、任意の次元 単体 に 次のように一般化される。単体の頂点集合が である場合、 頂点を ベクトル と見なすと、重心は n {\displaystyle n} v 0 , … , v n , {\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}
C = 1 n + 1 ∑ i = 0 n v i . {\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}
質量が単体全体に均一に分布している場合、または 等しい質量として頂点に集中している場合、幾何学的重心は質量の中心と一致します。 n + 1 {\displaystyle n+1}
半球の 中実半球（つまり、球の半分）の重心は、球の中心と半球の極を結ぶ線分をその比で二分します （つまり、 中心から極への距離の半分に位置します）。中空半球（つまり、中空球の半分）の重心は、球の中心と半球の極を結ぶ線分を二分します。 3 : 5 {\displaystyle 3:5} 3 8 {\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}
参照
注記 ^ ab プロッターとモーリー (1970、p. 520) ^ プロッターとモーリー (1970、p. 521) ^ Googleブックス の ロンドン王立協会哲学論文集 ^ コート、ネイサン・アルトシラー (1960). 「重心に関する注記」. 数学教師 . 53 (1): 33– 35. doi :10.5951/MT.53.1.0033. JSTOR 27956057. ^ Knorr, W. (1978). 「アルキメデスの失われた固体の重心に関する論文」 . The Mathematical Intelligencer . 1 (2): 102– 109. doi :10.1007/BF03023072. ISSN 0343-6993. S2CID 122021219. ^ ab Altshiller-Court (1925, p. 66) ^ ab プロッターとモーリー (1970、p. 526) ^ プロッターとモーリー (1970、p. 527) ^ プロッターとモーリー (1970、p. 528) ^ ラーソン（1998年、458～460ページ） ^ サンウィン ^ アルトシラー・コート（1925年、65ページ） ^ ケイ（1969年、184ページ） ^ クラーク・キンバリング著『三角形百科事典』 「三角形の中心の百科事典」。2012年4月19日時点のオリジナルよりアーカイブ 。 2012年6月2日 閲覧。 ^ ジョンソン（2007年、173ページ） ^ アルトシラー・コート（1925年、101ページ） ^ ケイ (1969、18、189、225–226) ^ ボトムリー、ヘンリー. 「三角形の中央線と面積の二等分線」 . 2013年 9月27日 閲覧 。 ^ ab Altshiller-Court (1925, pp. 70–71) ^ キンバリング、クラーク (201). 「対称点、重心、その他の三角形の中心に関する三線距離不等式」. Forum Geometricorum . 10 : 135–139 . ^ ジェラルド・A・エドガー、ダニエル・H・ウルマン、ダグラス・B・ウェスト（2018）「問題と解答」アメリカ数学月刊誌、125:1、81-89、DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465 ^ バーク（1997） ^ Leung, Kam-tim; Suen, Suk-nam; 「ベクトル、行列、幾何学」、香港大学出版局、1994年、53-54頁
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外部リンク ワイスタイン、エリック・W. 「幾何学的重心」 。MathWorld 。 クラーク・キンバーリング著『三角形の中心百科事典』。重心はX(2)で示される。 結び目切断 時の重心の特性 三角形の重心とコンパスと定規を使った重心の構築を示すインタラクティブなアニメーション シンデレラの重力シミュレータを使用したインタラクティブな動的ジオメトリ スケッチである Dynamic Geometry Sketches で、三角形の中線と重心を実験的に見つけます。 
![{\displaystyle [a,b],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d493b840f8326ba81ff9d95b4edf1effd5f2842)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af0630d5f9b803ae509728be6ccfd920b84d5fa9)
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