循環（物理学）

Line integral of the fluid velocity around a closed curve

ベクトル場vの磁力線は、境界に沿って微小線要素d lを持つ開いた曲面の境界の周りを通り、その内部をdS を微小面要素、面の単位法線nで通ります。上:循環は、閉ループCの周りのvの線積分です。v をd lに沿って投影し、合計します。ここで、vは d lに垂直 (⊥) と平行 ( ‖ ) の成分に分割され、平行成分は閉ループに接線方向で循環に寄与しますが、垂直成分は寄与しません。下:循環は表面を通る渦度ω = ∇ × vのフラックスでもあり、 vの回転は、らせん状の矢印として経験的に表されます(文字どおりの表現ではありません)。 vのd lに沿った投影とvの回転は負の方向になる可能性があり、循環を減らすことに注意してください。

物理学において、循環とは、ベクトル場をその場に埋め込まれた閉曲線の周りの線積分とみなされます。流体力学では、循環場は流体の速度場です。電気力学では、循環場は電場または磁場です。

空気力学では、揚力の計算に応用されています。揚力の計算に循環法を初めて利用したのは、フレデリック・ランチェスター、^[1] ルートヴィヒ・プラントル、^[2] マルティン・クッタ、ニコライ・ジュコフスキーです。^[3]通常、 Γ（大文字のガンマ）で表記されます。

定義と特性

Vがベクトル場であり、d l が定義された曲線の小さな要素の微分長さを表すベクトルである場合、その微分長さの循環への寄与はdΓである。 $${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\left|\mathbf {V} \right|\left|\mathrm {d} \mathbf {l} \right|\cos \theta .}$$

ここで、θはベクトルVとd lの間の角度です。

閉曲線Cの 周りのベクトル場Vの循環Γは線積分である：^{[4] [5]} $${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}$$

保存ベクトル場において、この積分はすべての閉曲線に対してゼロとなる。これは、場内の任意の2点間の線積分は、その経路に依存しないことを意味する。また、ベクトル場はスカラー関数の勾配として表すことができ、これはポテンシャルと呼ばれる。^[5]

渦度と回転との関係

循環はベクトル場Vの回転と関連しており、より具体的には、その場が流体速度場である場合は渦度と関連している。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {V} .}$$

ストークスの定理によれば、表面Sを通る回転ベクトルまたは渦度ベクトルの流束は、その周囲の循環に等しい。^[5] $${\displaystyle \Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$$

ここで、閉積分経路∂S は、開面Sの境界または周長であり、その微小要素法線d S = n dSは右手の法則に従って配向されている。したがって、回転角と渦度は、局所的な微小ループを周回する単位面積あたりの循環である。

渦度領域を持つ流体のポテンシャル流れでは、渦度を囲むすべての閉曲線の循環値は同じになります。^[6]

用途

流体力学におけるクッタ・ジューコフスキーの定理

流体力学において、二次元流れ場における物体に作用する単位スパンあたりの揚力（L'）は、循環に正比例します。単位スパンあたりの揚力は、物体の周りの循環Γ、流体の密度、および自由流に対する物体の速度の積として表されます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v_{\infty }}$ $${\displaystyle L'=\rho v_{\infty }\Gamma }$$

これはクッタ・ジューコフスキーの定理として知られています。^[7]

この式は、翼の周囲に適用され、翼の作用によって循環が発生します。また、マグナス効果を受ける回転物体の周囲にも適用され、循環は機械的に誘起されます。翼の作用の場合、循環の大きさはクッタ条件によって決まります。^[7]

翼型周囲のすべての閉曲線上の循環は同じ値を持ち、翼幅単位長さあたりに発生する揚力と相関している。閉曲線が翼型を囲んでいる限り、曲線の選択は任意である。^[6]

循環は、計算流体力学において、翼やその他の物体にかかる力を計算するための中間変数としてよく使用されます。

電磁気学の基礎方程式

電気力学では、マクスウェル・ファラデーの電磁誘導の法則は2つの同値な形で表現できる。^[8]電場の回転は磁場の負の変化率に等しい、 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$

あるいは、ストークスの定理によれば、ループの周りの電場の循環は、ループが張る任意の表面を通る磁場の磁束の負の変化率に等しい。 $${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

アンペールの法則によれば、静磁場の循環はループに囲まれた全電流に比例する。 $${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\text{enc}}.}$$

時間の経過とともに変化する電界を持つシステムの場合、法則を修正してマクスウェル補正と呼ばれる項を含める必要があります。

参照

• マクスウェル方程式
• 空気力学におけるビオ・サバールの法則
• ケルビンの循環定理

参考文献

1. ランチェスター、フレデリック. W (1907).航空力学. ロンドン: アーチボルド・コンスタブル社.
2. プラントル、ルートヴィヒ (1922). 『現代流体力学の航空学への応用』(PDF) . 米国：国立航空諮問委員会.
3. アンダーソン、ジョン・D.（1984）、空気力学の基礎、セクション2.13、マグロウヒル
4. Robert W. Fox、Alan T. McDonald、Philip J. Pritchard (2003).流体力学入門（第6版）. Wiley . ISBN 978-0-471-20231-8。
5. 「ファインマン物理学講義 第2巻 第3章 ベクトル積分計算」feynmanlectures.caltech.edu . 2020年11月2日閲覧。
6. アンダーソン、ジョン・D. (1984)、「空気力学の基礎」、セクション3.16。マグロウヒル。ISBN 0-07-001656-9
7. AM キューテ; JD シェッツァー (1959)。空気力学の基礎(第 2 版)。ジョン・ワイリー＆サンズ。 §4.11。ISBN 978-0-471-50952-3。 {{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
8. 「ファインマン物理学講義 第2巻 第17章 誘導の法則」feynmanlectures.caltech.edu . 2020年11月2日閲覧。

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