代数幾何学において、 スキームの次元は 代数多様体の次元 の一般化である 。 スキーム理論は 相対的な観点を 重視しており 、それに応じて スキームの射 の 相対的な次元 も重要である。
意味 定義により、スキーム Xの次元は、基礎となる 位相空間 の次元、 すなわち、既約 閉集合 の連鎖の 長さ ℓの上限である。
∅ ≠ V 0 ⊊ V 1 ⊊ ⋯ ⊊ V ℓ ⊂ X . {\displaystyle \emptyset \neq V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.} [1] 特に、 が アフィン スキーム である場合 、そのようなチェーンは 素イデアルのチェーン (包含が逆) に対応するため、 X の次元は A の Krull 次元 とまったく同じになります 。 X = Spec A {\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}
Y が スキーム X の既約閉部分集合である場合、 X における Y の余次元は 既約閉部分集合の連鎖の
長さ ℓ の上限です。
Y = V 0 ⊊ V 1 ⊊ ⋯ ⊊ V ℓ ⊂ X . {\displaystyle Y=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{\ell }\subset X.} [2] X の既約部分集合が X の 既約成分 となるのは、 X におけるその余次元が 0 である場合に限ります 。がアフィンである場合、 Yの X における 余次元は、 Y を X において 定義する素イデアルの高さと正確に一致します 。 X = Spec A {\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}
例 体上の有限次元 ベクトル空間 V を 体上のスキームとして見ると、 [注 1]スキーム V の次元は V のベクトル空間次元と同じになります 。 体k とすると 、体 k は次元2を持ちます（ 超平面を 既約成分として 含むため）。x が X の閉点である場合 、 x が H に属する ときは 2 、x が に属するときは 1 です 。したがって、 閉点 x は 変化します。 X = Spec k [ x , y , z ] / ( x y , x z ) {\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,xz)} H = { x = 0 } ⊂ A 3 {\displaystyle H=\{x=0\}\subset \mathbb {A} ^{3}} codim ( x , X ) {\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)} X − H {\displaystyle X-H} codim ( x , X ) {\displaystyle \operatorname {codim} (x,X)} を代数的前多様体、 すなわち体 上の 有限型の 積分スキームとする 。このとき、 の次元は 上 の 函数体 の 超越次数 である 。 [3] また、 が の空でない開部分集合である場合 、 となる 。 [4] X {\displaystyle X} k {\displaystyle k} X {\displaystyle X} k ( X ) {\displaystyle k(X)} X {\displaystyle X} k {\displaystyle k} U {\displaystyle U} X {\displaystyle X} dim U = dim X {\displaystyle \dim U=\dim X} R を 離散付値環 とし 、 その上のアフィン直線を とする。 を射影とする。 は2点から成り、それぞれ 最大イデアル と閉点、零イデアルと開点 に対応する 。この場合、ファイバーは それぞれ閉と開である。 は次元1である のに対し 、 [注 2] は次元を持ち 、 は において稠密である 。したがって、開集合の閉包の次元は、開集合の次元よりも厳密に大きくなる可能性がある。 X = A R 1 = Spec ( R [ t ] ) {\displaystyle X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])} π : X → Spec R {\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} R} Spec ( R ) = { s , η } {\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{s,\eta \}} s {\displaystyle s} η {\displaystyle \eta } π − 1 ( s ) , π − 1 ( η ) {\displaystyle \pi ^{-1}(s),\pi ^{-1}(\eta )} π − 1 ( η ) {\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )} X {\displaystyle X} 2 = 1 + dim R {\displaystyle 2=1+\dim R} π − 1 ( η ) {\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )} X {\displaystyle X} 同じ例を続けると、 R の極大イデアル と 生成元を仮定します。 は高さ2と高さ1の極大イデアルを持ちます。つまり、 と の核です 。最初のイデアルは R の 分数体 より 最大です 。また、 クルルの主イデアル定理 より は高さ1で 、 より高さ2です 。したがって、 m R {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}} ω R {\displaystyle \omega _{R}} R [ t ] {\displaystyle R[t]} p 1 = ( ω R t − 1 ) {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}=(\omega _{R}t-1)} p 2 = {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}=} R [ t ] → R / m R , f ↦ f ( 0 ) mod m R {\displaystyle R[t]\to R/{\mathfrak {m}}_{R},f\mapsto f(0){\bmod {\mathfrak {m}}}_{R}} p 1 {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}} R [ t ] / ( ω R t − 1 ) = R [ ω R − 1 ] = {\displaystyle R[t]/(\omega _{R}t-1)=R[\omega _{R}^{-1}]=} p 1 {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}} p 2 {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{2}} m R [ t ] ⊊ p 2 {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}[t]\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}} codim ( p 1 , X ) = 1 , codim ( p 2 , X ) = 2 , {\displaystyle \operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{1},X)=1,\,\operatorname {codim} ({\mathfrak {p}}_{2},X)=2,} 一方、 X は既約です。
等次元スキーム 等 次元スキーム （または、 純次元スキーム ）は、 その 既約成分が 同じ 次元である スキーム です（次元がすべて明確に定義されていると暗黙的に仮定します）。
例 すべての既約スキームは等次元である。 [5]
アフィン空間 において 、直線とその直線上にない点との和は等次元では ない 。一般に、あるスキームの2つの閉部分スキームが、どちらも他方を含まず、かつ次元が等しくない場合、それらの和は等次元ではない。
ある体 kに対して Spec k 上でスキームが 滑らか (たとえば、 étale ) で ある場合 、すべての 連結 成分 (つまり、実際には既約成分) は等次元です。
相対的な次元 を2つの スキーム と間の 局所的に 有限型 の射とする 。 ある点に おける の相対次元は ファイバー の 次元 で ある 。もしすべての空でないファイバー （[ 説明が必要 ]） が純粋に同じ次元 である場合、 は 相対次元 である と言える 。 [6] f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} f {\displaystyle f} y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} n {\displaystyle n} f {\displaystyle f} n {\displaystyle n}
参照
注記 ^ V の 双対ベクトル空間 の 対称代数 の Spec は 、 上のスキーム構造です 。 V {\displaystyle V} ^ 実際、定義により、は および の ファイバー積であり 、したがって の Spec です 。 π − 1 ( η ) {\displaystyle \pi ^{-1}(\eta )} π : X → Spec ( R ) {\displaystyle \pi :X\to \operatorname {Spec} (R)} η = Spec ( k ( η ) ) → Spec R {\displaystyle \eta =\operatorname {Spec} (k(\eta ))\to \operatorname {Spec} R} R [ t ] ⊗ R k ( η ) = k ( η ) [ t ] {\displaystyle R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]} ^ Hartshorne 1977、第1章、系1.6の直後。 ^ Hartshorne 1977、第II章、例3.2.6の直後。 ^ Hartshorne 1977, 第2章、演習3.20. (b) ^ Hartshorne 1977, 第2章、演習3.20. (e) ^ ダンダス、ビョルン・イアン;ヤーレン、ビョルン。マーク・レバイン。ペンシルベニア州オストヴェール。レンディグス、オリバー。 Voevodsky、Vladimir (2007)、モーティヴィック ホモトピー理論: ノルウェー、ノルフィヨルドのサマースクールでの講義、2002 年 8 月、Springer、p. 101、 ISBN 9783540458975 。 ^ Adeel, Ahmed Kahn (2013年3月). 「Ncatlabにおける相対次元」. Ncatlab . 2022年 6月8日 閲覧 。
参考文献
外部リンク Stacks Project の著者。「28 のスキームの特性/28.10 次元」。 Stacks Project の著者。「29.29 与えられた相対次元のモルフィズム」。 
![{\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z]/(xy,xz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94cfc638c39015b06c4b2a14268a11abbb0718e1)
![{\displaystyle X=\mathbb {A} _{R}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8606cbbcbcbccd56d1974a11695ca27c2020d863)
![{\displaystyle R[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ef3abdc745032b4d0ff06ee85ee220b1978da7)
![{\displaystyle R[t]\to R/{\mathfrak {m}}_{R},f\mapsto f(0){\bmod {\mathfrak {m}}}_{R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047651b8d7f82c0dda0d3be7c25b9bffb3d223e7)
![{\displaystyle R[t]/(\omega _{R}t-1)=R[\omega _{R}^{-1}]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f392013dce60097a3af5e42cf7b041088950cc93)
![{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{R}[t]\subsetneq {\mathfrak {p}}_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529da29872f7fcef317f69a7be3d7a1d2eff9717)
![{\displaystyle R[t]\otimes _{R}k(\eta )=k(\eta )[t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff5a3d8e59696500189f09e0ce5c33f4714123a)
