ハミルトン場の理論

理論物理学において、ハミルトン場の理論は古典ハミルトン力学の場の理論的類似物です。ラグランジアン場の理論と並んで、古典場の理論における形式論の一つです。 また、量子場の理論にも応用されています

定義

離散粒子系のハミルトニアンは、それらの一般化座標と共役運動量、そして場合によっては時間の関数です。連続体や場の場合、ハミルトニアン力学は適していませんが、多数の質点を考慮し、連続極限、つまり無限個の粒子が連続体または場を形成することを考慮することで拡張できます。各質点には1つ以上の自由度があるため、場の定式化は無限の自由度を持ちます

1つのスカラー場

ハミルトン密度は場の連続的な類似物であり、場、共役な「運動量」場、そして場合によっては空間座標と時間座標そのものの関数である。1つのスカラー場φ ( x , t )に対して、ハミルトン密度はラグランジアン密度から次のように定義される^{[注 1 ]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ,\pi ,\mathbf {x} ,t)={\dot {\phi }}\pi -{\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,.}$

ここで、∇ は「デル」または「ナブラ」演算子、xは空間内の点の位置ベクトル、 tは時間です。ラグランジュ密度は、系内の場、それらの空間および時間微分、そして場合によっては空間および時間座標そのものの関数です。これは、一般化座標で記述される離散粒子系のラグランジュ関数の場の類似物です。

ハミルトン力学では、すべての一般化座標が対応する一般化運動量を持つため、場φ ( x , t )は共役運動量場π ( x , t )を持ち、これは場の時間微分に関するラグランジアン密度の偏微分として定義される。

${\displaystyle \pi ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,\quad {\dot {\phi }}\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}\,,}$

ここで、オーバードット^{[ nb 2 ]}は全時間微分d / dtではなく、部分時間微分∂/∂ tを表します。

多くのスカラー場

多くの場φ _i ( x , t )とその共役場π _i ( x , t )に対して、ハミルトン密度はそれらすべての関数です

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t)=\sum _{i}{\dot {\phi _{i}}}\pi _{i}-{\mathcal {L}}(\phi _{1},\phi _{2},\ldots \nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\partial \phi _{1}/\partial t,\partial \phi _{2}/\partial t,\ldots ,\mathbf {x} ,t)\,.}$

ここで、各共役場はその場に関して定義され、

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\phi }}_{i}}}\,.}$

一般に、任意の数のフィールドに対して、ハミルトニアン密度の 体積積分は、3つの空間次元におけるハミルトニアンを与えます。

${\displaystyle H=\int {\mathcal {H}}\ d^{3}x\,.}$

ハミルトニアン密度は、単位空間体積あたりのハミルトニアンです。対応する次元は[エネルギー][長さ] ⁻³で、SI単位ではジュール毎立方メートル、J m ⁻³です。

テンソル場とスピノル場

上記の式と定義はベクトル場、そしてより一般的にはテンソル場とスピノル場に拡張できます。物理学では、テンソル場はボソンを、スピノル場はフェルミオンを記述します。

運動方程式

場の 運動方程式は離散粒子のハミルトン方程式に類似している。任意の数の場に対して、

ハミルトン場の方程式

${\displaystyle {\dot {\phi }}_{i}=+{\frac {\delta {H}}{\delta \pi _{i}}}\,,\quad {\dot {\pi }}_{i}=-{\frac {\delta {H}}{\delta \phi _{i}}}\,,}$

ここでも、上点は偏時間微分、場に関する 変分微分は

${\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta \phi _{i}}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \phi _{i}}}-\nabla \cdot {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial (\nabla \phi _{i})}}\,,}$

·単純な偏微分ではなく、ドット積を使用する必要があります。

位相空間

場φ _iと共役場π _{i は、}場が無限の自由度を持つため、 無限次元の位相空間を形成します

ポアソン括弧

場φ _iとπ _i、それらの空間微分、および空間座標と時間座標に依存する2つの関数について、

${\displaystyle A=\int d^{3}x{\mathcal {A}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

${\displaystyle B=\int d^{3}x{\mathcal {B}}\left(\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\nabla \phi _{1},\nabla \phi _{2},\ldots ,\nabla \pi _{1},\nabla \pi _{2},\ldots ,\mathbf {x} ,t\right)\,,}$

そして積分が行われる体積の境界上で場がゼロとなる場合、場の理論的なポアソン括弧は次のように定義される（量子力学の反交換子と混同しないように）。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \{A,B\}_{\phi ,\pi }=\int d^{3}x\sum _{i}\left({\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \pi _{i}}}-{\frac {\delta {\mathcal {B}}}{\delta \phi _{i}}}{\frac {\delta {\mathcal {A}}}{\delta \pi _{i}}}\right)\,,}$

変分微分はどこにあるか ${\displaystyle \delta {\mathcal {F}}/\delta f}$

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {F}}}{\delta f}}={\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial f}}-\sum _{i}\nabla _{i}{\frac {\partial {\mathcal {F}}}{\partial (\nabla _{i}f)}}\,.}$

表面上のフィールドが消失するという同じ条件下では、 Aの時間発展について次の結果が成り立ちます（Bについても同様）。

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

これは、 Aの全時間微分、部分積分、および上記のポアソン括弧を使用することで見つけることができます。

明示的な時間独立性

ラグランジアン密度とハミルトン密度が明示的に時間独立である場合（ただし、場とその導関数を介して暗黙的な時間依存性を持つ場合もある）、以下の結果は真である

運動エネルギー密度と位置エネルギー密度

ハミルトン密度は全エネルギー密度であり、運動エネルギー密度（）と位置エネルギー密度（）の和である。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {T}}+{\mathcal {V}}\,.}$

連続方程式

上記のハミルトン密度の定義の偏時間微分を取り、暗黙的な微分のための連鎖律と共役運動量場の定義を用いると、連続方程式が 得られます

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =0}$

ここでハミルトニアン密度はエネルギー密度として解釈でき、

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\nabla \phi )}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

エネルギー流束、つまり単位時間当たり、単位表面積当たりのエネルギーの流れ。

相対論的場の理論

共変ハミルトン場の理論は、ハミルトン場の理論の 相対論的定式化です

ハミルトン場の理論は、通常、古典場の理論に適用された場合、無限次元位相空間上の瞬間ハミルトン形式の形をとり、正準座標はある瞬間における場の関数である、シンプレクティックハミルトン形式を意味する。[ ^{2 ]この}ハミルトン形式は、例えば量子ゲージ理論などの場の量子化に適用される。共変ハミルトン場の理論では、 正準運動量p ^μ _{i は}すべての世界座標x ^μに関する場の微分に対応する。^{[ 3 ]}共変ハミルトン方程式は、超正則ラグランジアンの場合のオイラー–ラグランジュ方程式と同等である。共変ハミルトン場の理論は、ハミルトン–ドドンダー、^{[ 4 ]}ポリシンプレクティック、^{[ 5 ]}マルチシンプレクティック^{[ 6 ]}、およびkシンプレクティック^{[ 7 ]}の各変種で展開される。共変ハミルトン場の理論の位相空間は、有限次元のポリシンプレクティックまたはマルチシンプレクティック多様体です。

ハミルトン非自律力学は、時間軸、すなわち実数直線上のファイバー束上の共変ハミルトン場理論として定式化されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

参照

• 解析力学
• ド・ドンダー＝ワイル理論
• 4元ベクトル
• 正準量子化
• ハミルトン流体力学
• 共変古典場理論
• ポリシンプレクティック多様体
• 非自律力学

注釈

1. ラグランジアン密度におけるすべての微分と座標を次のように略記することは、標準的な記法の乱用です

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi ,x_{\mu })}$

   μ は、 0（時間座標）、1、2、3（空間座標）の値をとるインデックスです。したがって、厳密には1つの微分または座標のみが含まれます。一般に、すべての空間微分と時間微分はラグランジュ密度に現れます。例えば、直交座標では、ラグランジュ密度は完全な形を持ちます。

   ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)}$

   ここでも同じことを書きますが、∇ を使用してすべての空間微分をベクトルとして省略します。
2. これはこの文脈における標準的な表記法であり、ほとんどの文献では偏微分であるとは明示的に述べられていません。一般に、関数の全時間微分と偏時間微分は同じではありません。

引用

1. Greiner & Reinhardt 1996、第2章
2. Gotay, M., 古典場の理論と変分法のための多重シンプレクティック枠組み。II. 空間＋時間分解、『力学、解析学、幾何学：ラグランジュの200年後』（ノースホランド、1991年）。
3. Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , 「Advanced Classical Field Theory」、World Scientific、2009年、 ISBN 978-981-283-895-7.
4. Krupkova, O., ハミルトニアン場の理論, J. Geom. Phys. 43 (2002) 93
5. Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , 場の理論のための共変ハミルトン方程式, J. Phys. A32 (1999) 6629; arXiv : hep-th/9904062 .
6. Echeverria-Enriquez, A., Munos-Lecanda, M., Roman-Roy, ​​N., 多重シンプレクティックハミルトニアン一次場の理論の幾何学, J. Math. Phys. 41 (2002) 7402.
7. Rey, A., Roman-Roy, ​​N. Saldago, M., 古典場の理論におけるGuntherの形式主義（ k-シンプレクティック形式主義）：Skinner-Ruskアプローチと進化演算子、J. Math. Phys. 46 (2005) 052901。

参考文献

• Badin, G.; Crisciani, F. (2018).流体および地球物理学的流体力学の変分定式化 - 力学、対称性、および保存則 - . Springer. p. 218. Bibcode : 2018vffg.book.....B . doi : 10.1007/978-3-319-59695-2 . ISBN 978-3-319-59694-5. S2CID  125902566 .
• ゴールドスタイン、ハーバート(1980).「第12章 連続系と場」.古典力学（第2版）. サンフランシスコ、カリフォルニア州: アディソン・ウェスレー. pp.  562– 565. ISBN 0201029189.
• グライナー、W.；ラインハルト、J.（1996）『場の量子化』、シュプリンガー、ISBN 3-540-59179-6
• フェッター、AL; ワレッカ、JD (1980).粒子と連続体の理論力学. ドーバー. pp.  258– 259. ISBN 978-0-486-43261-8.

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