カーネル（集合論）

Equivalence relation expressing that two elements have the same image under a function

集合論では、関数の核（または同値核^[1]）は、 ${\displaystyle f}$

• 関数の定義域における同値関係は、関数が知る限り同値であるという考え方を大まかに表現するものである^[2]。 ${\displaystyle f}$
• ドメインの対応するパーティション。

無関係な概念は、定義によりそのすべての要素の交差となる空でない集合族の核の概念です。この定義は、フィルター の理論でフィルターを自由または主として分類するために使用されます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}$$

意味

関数のカーネル

正式な定義として、 を2つの集合間の関数とする。と が等しい、つまり の同じ要素である場合、要素は同値である。 の核は、このように定義された同値関係である。^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ ${\displaystyle f\left(x_{1}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{2}\right)}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle f}$

集合族の核

その集合族の核 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$は^{[3] の} 核は とも表記される。空集合の核、通常は未定義のままである。族は $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \ker \varnothing ,}$固定されており、核が空でない場合、空でない交差^{となる。 [3]} 族は固定されていない場合、つまり核が空集合である場合は自由である^{。 [3]}

商

他の同値関係と同様に、カーネルをモッドアウトして商集合を形成することができ、商集合はパーティションです。 $${\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{-1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}$$

この商集合は関数 の共像と呼ばれ、（あるいは変種）と表記される。共像は自然に（集合論的な意味での全単射の意味で） の像と同型であり、具体的には、（ の元）におけるの同値類は（ の元）におけるに対応する。 ${\displaystyle X/=_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {coim} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} f;}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {coim} f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {im} f}$

デカルト積のサブセットとして

任意の二項関係と同様に、関数の核は直積のサブセットとして考えることができる。この形態では、核は次のように表記（または変形）され、記号的に定義される^。[2] ${\displaystyle X\times X.}$ ${\displaystyle \ker f}$ $${\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}$$

このサブセットの特性を研究することで、 ${\displaystyle f.}$

代数構造

およびが何らかの固定されたタイプの代数構造（群、環、ベクトル空間など）であり、関数が準同型である場合、は合同関係（つまり、代数構造と互換性のある同値関係）であり、の共像はの商です。^[2]共像との像間の一対一は、代数的な意味での同型です。これは、最初の同型定理の最も一般的な形式です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$

位相幾何学において

が2つの位相空間間の連続関数である場合、 の位相的性質は空間 と を明らかにすることができる。例えば、がハウスドルフ空間である場合、 は閉集合でなければならない。逆に、がハウスドルフ空間であり が閉集合である場合、商空間位相が与えられた場合の の共像もハウスドルフ空間でなければならない。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker f}$ ${\displaystyle f,}$

空間がコンパクトであるためには、有限交差性（FIP）を持つ閉部分集合のすべての族の核が空でなければならない。^{[4] [5]}言い換えれば、空間がコンパクトであるためには、FIPを持つ閉部分集合のすべての族が固定されている必要がある。

参照

• セットのフィルター - 「大きな」セットを表すサブセットのファミリー

参考文献

1. Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) 『Algebra』Chelsea Publishing Company、33ページ、ISBN 0821816462。
2. Bergman, Clifford (2011), Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, Pure and Applied Mathematics, vol. 301, CRC Press , pp.  14– 16, ISBN 9781439851296。
3. Dolecki & Mynard 2016、27–29、33–35頁。
4. ムンクレス、ジェームズ(2004).トポロジー. ニューデリー: プレンティス・ホール・オブ・インディア. p. 169. ISBN 978-81-203-2046-8。
5. 空間がコンパクトであるためには、fip を持つ任意の閉集合族がPlanetMathで空でない交差を持つ必要がある。

参考文献

• アウォディ、スティーブ(2010) [2006].カテゴリー理論. オックスフォード論理ガイド. 第49巻（第2版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-923718-0。
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.

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