マルチェンコ方程式

数理物理学、より具体的には 1 次元の逆散乱問題において、イスラエル・ゲルファンド、ボリス・レヴィタン、ウラジミール・マルチェンコにちなんで名付けられたマルチェンコ方程式(またはゲルファンド-レヴィタン-マルチェンコ方程式、GLM 方程式)は、散乱関係のフーリエ変換を計算することによって導出されます。

K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0

ここで、は対称核であり、散乱データから計算される。マルチェンコ方程式を解くことで、ポテンシャルを読み取ることができる変換演算子の核が得られる。この方程式は、ポヴツナー・レヴィタン表現を用いて、ゲルファント・レヴィタン積分方程式から導出される。 $g(r,r^{\prime })\,$ $g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,$ $K(r,r^{\prime })$

散乱理論への応用

シュレーディンガー演算子のポテンシャルに対して散乱データがあると仮定します。ここで、連続散乱からの反射係数は関数として与えられ、実パラメータは離散境界スペクトルから得られます。^[1] $u(x)$ $L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)$ $(r(k),\{\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}\})$ $r(k)$ $r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C}$ $\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0$

次に、非ゼロ定数を定義し、GLM方程式を解くことで、次の式を使用してポテンシャルを回復することができます。 $F(x)=\sum _{n=1}^{N}\beta _{n}e^{-\chi _{n}x}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }r(k)e^{ikx}dk,$ $\beta _{n}$ $K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }K(x,z)F(z+y)dz=0$ $K$ $u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).$

参照

ラックスペア

注記

^ Dunajski 2009、30～31頁。

参考文献

ドゥナイスキー、マチェイ (2009)。ソリトン、インスタントン、ツイスター。オックスフォード;ニューヨーク: OUP オックスフォード。ISBN 978-0-19-857063-9. OCLC 320199531。
Marchenko, VA (2011). Sturm–Liouville Operators and Applications (第2版). プロビデンス:アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-5316-0. MR 2798059。
ケイ、アーヴィン・W. (1955). 逆散乱問題. ニューヨーク：ニューヨーク大学クーラント数学研究所. OCLC 1046812324.
レビンソン、ノーマン (1953). 「位相シフトと散乱ポテンシャルの間の明確な関係」.フィジカル・レビュー. 89 (4): 755– 757.書誌コード:1953PhRv...89..755L. doi :10.1103/PhysRev.89.755. ISSN 0031-899X.

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[FOOTNOTEDunajski200930–31-1] Dunajski 2009、30～31頁。