モニック多項式

1を係数とする多項式

代数学において、モニック多項式とは、最高次係数（非ゼロ項の係数）が1となる非ゼロ一変数多項式（つまり、一変数の多項式）である。つまり、モニック多項式は^[1]のように書ける多項式である。

${\displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},}$

と ${\displaystyle n\geq 0.}$

用途

モニック多項式は、多くの簡約化が可能で、割り算や分母を回避できるため、代数学や数論で広く用いられています。いくつか例を挙げます。

すべての多項式は、一意のモニック多項式に関連付けられます。特に、多項式の一意の因数分解の性質は次のように述べられます。すべての多項式は、その主係数とモニック既約多項式の積との積として一意に因数分解できます。

ヴィエタの公式は、単項多項式の場合はより単純です。n次単項多項式の根のi番目の基本対称関数は、不定値の(n−i)乗の係数である、に等しくなります。 ${\displaystyle (-1)^{i}c_{n-i},}$ ${\displaystyle c_{n-i}}$

多項式の単項多項式によるユークリッド除算は係数の除算を導入しない。したがって、これは可換環に係数を持つ多項式に対して定義される。

代数的整数は、整数係数を持つ単項多項式の根として定義されます。

プロパティ

すべての非零一変数多項式（不定値を一つ持つ多項式）は次のように書ける。

${\displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots c_{1}x+c_{0},}$

ここで、多項式の係数であり、主係数は0ではない。定義により、このような多項式は、 ${\displaystyle c_{n},\ldots ,c_{0}}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle c_{n}=1.}$

一項多項式の積は一項多項式である。多項式の積が一項多項式となるのは、因子の最高係数の積が1に等しい場合のみである。

これは、可換環上の一変数多項式環のモノイド多項式が、多項式乗算の下でモノイドを形成することを意味します。

2 つのモニック多項式は、等しい場合にのみ関連付けられます。これは、多項式に非ゼロの定数を乗算すると、この定数を先頭の係数とする多項式が生成されるためです。

割り切れるかどうかは、モニック多項式に半順序性を誘導します。これは、前述の性質からほぼ直ちに導き出されます。

多項式方程式

を多項式方程式とします。ここでPはn次一変数多項式です。P のすべての係数をその主係数で割ると、同じ解を持つ新しい多項式方程式が得られます。 ${\displaystyle P(x)=0}$ ${\displaystyle c_{n},}$

例えば、次の式

${\displaystyle 2x^{2}+3x+1=0}$

はモニック方程式と同等である

${\displaystyle x^{2}+{\frac {3}{2}}x+{\frac {1}{2}}=0.}$

係数が指定されていない場合、または除算が分数にならない体（例えば有限体）に属する場合、このモニック方程式への簡約によって簡略化が実現されることがあります。一方、前の例で示したように、係数が整数の場合、関連するモニック多項式は一般に複雑になります。そのため、整数係数を扱う際には、モニック多項式ではなく原始多項式が用いられることが多いです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} ,}$

不可欠な要素

モニック多項式方程式は代数的整数の理論、より一般的には積分元の理論の基礎となります。

R を体 Fの部分環とする。これはRが整域であることを意味する。Fの元aがR上整であるとは、それがRに係数を持つ単項多項式の根であることを意味する。

整数に対して整列する複素数は代数的整数と呼ばれる。この用語は、整数がまさに有理数であり、かつ代数的整数でもあるという事実に由来する。これは有理根定理から導かれる。有理数は整数係数の多項式の根である場合、qは主係数の約数である。したがって、多項式がモニック多項式である場合、qとなり、その数は整数となる。逆に、整数pはモニック多項式の根である。 ${\textstyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle q=\pm 1,}$ ${\displaystyle x-p.}$

体Fの2つの元がFの部分環 R上で整列している場合、これらの元の和と積もR上で整列していることが証明できる。したがって、 R上で整列しているFの元は環を形成し、これをKにおけるRの整閉包と呼ぶ。整域がその分数体における整閉包に等しい場合、整閉域と呼ばれる。

これらの概念は代数的整数論において基本的な概念です。例えば、フェルマーの最終定理に関する3世紀以上にわたって書かれた数多くの誤った証明の多くは、代数的数体における代数的整数は一意に因数分解できると著者が誤って仮定していたために誤りでした。

多変数多項式

通常、多変数多項式には「モニック」という用語は用いられません。しかし、多変数多項式は、係数が他の変数の多項式である1変数多項式とみなされることがあります。したがって、モニックであるかどうかは、1つの「主」変数の選択に依存します。例えば、多項式は 次のようになります。

${\displaystyle p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8}$

は、 yの多項式を係数とするxの多項式として考えると、モニックです。

${\displaystyle p(x,y)=x^{2}+(2y^{2}+3)\,x+(-y^{2}+5y-8);}$

しかし、 xの多項式を係数とするyの多項式として考えると、モニックではありません。

${\displaystyle p(x,y)=(2x-1)\,y^{2}+5y+(x^{2}+3x-8).}$

グレブナー基底の文脈では、単項式順序は一般に固定されています。この場合、多項式が（単項式順序において）先頭の係数として1を持つとき、その多項式はモニックであると言えます。

あらゆる定義において、モニック多項式の積はモニックであり、係数が体に属する場合、すべての多項式は正確に 1 つのモニック多項式に関連付けられます。

引用

1. フレイリー、2003、p. 432、提案 11.29 に基づく。

参考文献

• ジョン B. フレーリー (2003)。抽象代数の最初のコース (第 7 版)。ピアソン教育。ISBN 9780201763904。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Monic_polynomial&oldid=1303316038"