モノドロミー

数学において、モノドロミーとは、数学解析学、代数位相幾何学、代数幾何学、微分幾何学における対象が特異点を「周回」する際にどのように振舞うかを研究する学問である。その名が示すように、モノドロミーの根本的な意味は「単独で周回する」ことに由来する。これは被覆写像とその分岐への退化と密接に関連している。モノドロミー現象が生じるのは、特異点を囲む経路を「周回」する際に、定義しようとする関数が単値ではなくなるという点である。モノドロミーの不成立は、モノドロミー群を定義することで測定できる。モノドロミー群とは、一次元において「周回」する際に何が起こるかを符号化する、データに作用する変換群である。モノドロミーの欠如は、ポリドロミーと呼ばれることもある。^[1]

意味

を基点を持つ連結かつ局所単連結な基底位相空間とし、を被覆とする。その基底ファイバーを定義する。 $X$ $x$ $p:{\tilde {X}}\to X$ $F=p^{-1}(x)$

を基点とする任意のループは、被覆写像を通して持ち上げることができます。任意の点は、と設定することにより、異なる持ち上げに対応します。を端点で表しますが、これは一般にとは異なります。 $\gamma :[0,1]\to X$ $x$ ${\tilde {x}}\in F$ ${\tilde {\gamma }}$ ${\tilde {x}}={\tilde {\gamma }}(0)$ $\gamma \cdot {\tilde {x}}$ ${\tilde {\gamma }}(1)$ ${\tilde {x}}$

基本群の同じ元を表す任意の2つが与えられれば、それらは同じ作用を定義します。したがって、と明確に書くことができます。ここで、はとホモトピー同値なループのクラスです。 $\gamma ,\gamma '$ $\pi _{1}(X,x)$ $\gamma \cdot {\tilde {x}}=\gamma '\cdot {\tilde {x}}$ $[\gamma ]\cdot {\tilde {x}}$ $[\gamma ]\in \pi _{1}(X,x)$ $\gamma$

この構成は、によって定義される、基本群のベースファイバーへの明確に定義された左群作用を与える。これはへのモノドロミー作用である。の安定化因子はであり、つまり、ループの揚力であるが依然としてループであるとき、かつその場合に限り、元が固定される。 $\pi _{1}(X,x)$ $F_{x}$ ${\tilde {x}}\mapsto [\gamma ]\cdot {\tilde {x}}$ $F_{x}$ ${\tilde {x}}$ $p_{*}\left(\pi _{1}\left({\tilde {X}},{\tilde {x}}\right)\right)$ $[\gamma ]$ ${\tilde {x}}\in F$ ${\tilde {\gamma }}$ $\gamma$

一般に、モノドロミー作用には2種類あります。曲率のような作用では、はわずかに変形しますが、連続的に元の状態に戻ることができます。また、離散的な作用では、は不連続に変形しますが、元の状態に戻ることはできません。 $F_{x}$ $F_{x}$

$\operatorname {Hom} (F_{x})$ はの同相写像群である。はの恒等写像に同位なの部分群である。つまり、はの成分であり、恒等写像に経路連結である。誘導写像の像は位相モノドロミー群である。これはのへの作用の「不連続」部分を記述する。 $F_{x}$ $\operatorname {Is} (F_{x})$ $\operatorname {Hom} (F_{x})$ $\operatorname {Hom} (F_{x})$ $\operatorname {Is} \left(F_{x}\right)=\left\{f\in \operatorname {Hom} \left(F_{x}\right)\mid \exists H:F_{x}\times [0,1]\rightarrow F_{x},H_{0}=\mathrm {id} ,H_{1}=f,H_{t}{\text{ all homeomorphisms }}\right\}.$ $\pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Hom} (F_{x})/\operatorname {Is} (F_{x})$ $\pi _{1}(X,x)$ $F_{x}$

代数的位相幾何学ではよくあるように、代数的バージョンが存在する。のホモロジー上の自己同型群への準同型は 代数的モノドロミーである。この準同型の像は（代数的）モノドロミー群である。 $\pi _{1}(X,x)\to \operatorname {Aut} (H_{*}(F_{x}))$ $F_{x}$

例

これらの考え方は、複素解析において初めて明示されました。解析接続の過程において、穴あき複素平面のある開集合における解析関数は、異なる値で再びに接続することができます。例えば、 $F(z)$ $E$ $\mathbb {C} \backslash \{0\}$ $E$

{\begin{aligned}F(z)&=\log(z)\\E&=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}.\end{aligned}}

そして、円周を反時計回りに解析接続する

|z|=1

ではなく、 $F(z)$

F(z)+2\pi i.

この場合、モノドロミー群は無限巡回群であり、被覆空間は穿孔複素平面の普遍被覆である。この被覆は、媒介変数方程式をに制限した螺旋として視覚化できる。被覆写像は垂直射影であり、ある意味では螺旋を明白な方法で折り畳んで穿孔平面を得るものである。 $(x,y,z)=(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,\theta )$ $\rho >0$

複素領域における微分方程式

重要な応用の一つは微分方程式であり、単一の解から解析接続によってさらに線型独立な解が得られる場合がある。複素平面上の開連結集合で定義された線型微分方程式はモノドロミー群を持つ。これは（より正確には）基本群の線型表現であり、内のループを巡るすべての解析接続をまとめたものである。表現が与えられたときに（正則な特異点を持つ）方程式を構築する逆問題であるリーマン・ヒルベルト問題はリーマン・ヒルベルト問題である。 $S$ $S$ $S$

正則（特にフックス）線形システムの場合、モノドロミー群の生成元として、システムの極の1つだけを反時計回りに迂回するループに対応する演算子が通常選択される。基点を時計回りに迂回するときに、添え字がからに増加するように選択される場合、生成元間の関係はのみである。ドリーニュ・シンプソン問題は、次の実現問題である。における共役類のどの組に対して、上記の関係を満たすこれらの類からの既約行列組が存在するか？この問題はピエール・ドリーニュによって定式化され、カルロス・シンプソンが初めてその解決に向けた結果を得た。フックスシステムの留数に関する問題の加法バージョンは、ウラジミール・コストフによって定式化され、研究された。この問題は、以外の行列群についても同様に他の著者によって考察されてきた。^[2] $M_{j}$ $j$ $1$ $p+1$ $M_{1}\cdots M_{p+1}=\operatorname {id}$ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ $M_{j}$ $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$

位相的および幾何学的側面

被覆写像の場合、これをファイブレーションの特殊なケースとして捉え、ホモトピーリフティング特性を用いて、ベース空間（ここでは単純化のためパス連結と仮定）上のパスを、被覆へと持ち上げられるにつれて「たどり」ます。におけるを基点とするループをたどり、これをより上まで持ち上げてから開始すると、より上のある場所で再び終了します。となる可能性は十分にあり、これをコード化するために、のすべての集合上の置換群としての基本群の作用を、この文脈におけるモノドロミー群として考えます。 $X$ $C$ $x$ $X$ $c$ $x$ $c^{*}$ $x$ $c\neq c^{*}$ $\pi _{1}(X,x)$ $c$

微分幾何学において、平行移動が同様の役割を果たします。滑らかな多様体上の主バンドルにおいて、接続はの上側のファイバーから隣接するファイバーへの「水平」移動を可能にします。を基底とするループに適用した場合の効果は、におけるファイバーの並進のホロノミー群を定義することです。の構造群がである場合、それはの積バンドルからの偏差を測定するの部分群です。 $B$ $M$ $m$ $M$ $m$ $m$ $B$ $G$ $G$ $B$ $M\times G$

モノドロミー群と葉理

基本群と同様に、基点の選択を省略し、モノドロミー群を定義することが可能です。ここでは、ファイブレーションの基底空間におけるパスの（ホモトピー類の）リフトを考えます。結果は、基底空間上の群の構造を持ちます。利点は、の連結性条件を省略できることです。 $X$ $p:{\tilde {X}}\to X$ $X$ $X$

さらに、この構成は葉脈にも一般化できます。の（おそらく特異な）葉脈を考えてみましょう。すると、の葉にあるすべてのパスについて、端点を通る局所横断面上の誘導微分同相写像を考えることができます。単連結チャート内では、端点の周りの微分同相写像の芽まで考えると、この微分同相写像は一意になり、特に異なる横断面間では標準的になります。このように、この微分同相写像は単連結チャート内の（固定された端点間の）パスとは独立になり、したがってホモトピーに対して不変です。 $(M,{\mathcal {F}})$ $M$ ${\mathcal {F}}$

ガロア理論による定義

を体上の変数の有理関数の体、すなわち多項式環の分数体を表すものとする。の元は有限体拡大を決定する。 $\mathbb {F} (x)$ $x$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {F} [x]$ $y=f(x)$ $\mathbb {F} (x)$ $[\mathbb {F} (x):\mathbb {F} (y)]$

この拡大は一般にはガロアではないが、ガロア閉包を持つ。この拡大に伴うガロア群はのモノドロミー群と呼ばれる。 $L(f)$ $[L(f):\mathbb {F} (y)]$ $f$

リーマン面の場合、理論が介入し、上記の幾何学的解釈が可能になります。拡大が既にガロアである場合、関連するモノドロミー群はデッキ変換群と呼ばれることもあります。 $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ $[\mathbb {C} (x):\mathbb {C} (y)]$

これは、リーマンの存在定理につながるガロア被覆空間理論と関係があります。

参照

注記

^ ケーニッヒ、ヴォルフガング;シュプレケルス、ユルゲン (2015)。 Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – 彼の人生と仕事の側面 (ドイツ語)。スプリンガー・フェルラーク。ページ 200–201。ISBN 9783658106195. 2017年10月5日閲覧。
^ VP Kostov (2004)、「ドリーニュ・シンプソン問題 — 概要」、J. Algebra、281 (1): 83– 108、arXiv : math/0206298、doi :10.1016/j.jalgebra.2004.07.013、MR 2091962、S2CID 119634752 およびその中の参照。

参考文献

VI Danilov (2001) [1994]、「モノドロミー」、数学百科事典、EMS Press
「群群とモノドロミー群」、O. Mucuk、B. Kılıçarslan、T. ¸Sahan、N. Alemdar、トポロジーとその応用 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
R.ブラウン「トポロジーと群体」（2006年）。
PJヒギンズ「カテゴリーと群体」ヴァン・ノストランド（1971年）TAC再版
H. Żołądek、「The Monodromy Group」、Birkhäuser Basel 2006;土井: 10.1007/3-7643-7536-1

[König2015-1] ケーニッヒ、ヴォルフガング;シュプレケルス、ユルゲン (2015)。 Karl Weierstraß (1815–1897): Aspekte seines Lebens und Werkes – 彼の人生と仕事の側面 (ドイツ語)。スプリンガー・フェルラーク。ページ 200–201。ISBN 9783658106195. 2017年10月5日閲覧。

[2] VP Kostov (2004)、「ドリーニュ・シンプソン問題 — 概要」、J. Algebra、281 (1): 83– 108、arXiv : math/0206298、doi :10.1016/j.jalgebra.2004.07.013、MR 2091962、S2CID 119634752 およびその中の参照。