視覚的な二分法

視覚連星の例: VLT/GRAVITY によって撮影されたオリオン座シータ 1 星の C1 (下) と C2 (上)。

視連星系^[1]は、2つの星に分解できます。これらの星は、ケプラーの第三法則により、数年から数千年の範囲の周期を持つと推定されています。視連星は、通常、明るさの異なる2つの星で構成されます。このため、明るい方の星を主星、暗い方の星を伴星と呼びます。主星が伴星に比べて明るすぎると、グレアが発生して2つの構成要素を分解することが困難になる場合があります。^[2]ただし、明るい方の星の観測により、その星が質量の中心の周りで揺れていることが示された場合は、系を分解できます。^[3]一般的に、視連星は、中心が1秒角以上離れている場合、望遠鏡で2つの星に分解できますが、最新の専門的な望遠鏡、干渉計、または宇宙ベースの機器を使用すると、より近い距離の星を分解できます。

視認連星系の場合、観測データは、主星に対する伴星の見かけの天球上の角度（秒角）と位置角（北から東に測った角度、度）を特定する必要があります。一定期間にわたって観測を続けると、視認連星系の見かけの相対軌道が天球上に表示されます。視認連星系の研究により、恒星の質量、密度、表面温度、光度、自転速度といった有用な特性が明らかになります。^[4]

距離

視差連星系を構成する各恒星の質量を求めるには、まず恒星系までの距離を決定する必要があります。これにより、天文学者は2つの恒星の公転周期と距離を推定できるからです。三角視差は恒星の質量を直接計算する方法を提供します。これは視差連星系には適用されませんが、力学的視差と呼ばれる間接的な方法の基礎となります。^[5]

三角視差

この距離計算法を用いるには、地球の太陽周回軌道の両側で、恒星の2つの測定を行います。この測定では、より遠くにある背景の恒星に対する恒星の位置がずれて見えます。視差値は、平均位置からの各方向の変位量とみなされ、これは1天文単位離れた観測からの角度変位に相当します。パーセク単位の距離は、次の式で求められます。 $d$

d={\frac {1}{\tan(p)}}

視差は秒角単位で測定されます。[ ^6] $p$

動的視差

この方法は連星系にのみ用いられます。連星系の質量は太陽の2倍と仮定されます。ケプラーの法則を適用し、恒星間の距離を決定します。この距離が求まれば、天空に張られた弧から距離を求めることができ、一時的な距離測定値が得られます。この測定値と両恒星の見かけの等級から光度を求め、さらに質量と光度の関係を用いて各恒星の質量を算出します。これらの質量を用いて分離距離を再計算し、このプロセスを複数回繰り返すことで、5%程度の精度が得られます。より高度な計算では、恒星の質量の経時的な減少を考慮します。^[5]

分光視差

分光視差は、連星系までの距離を決定する際によく用いられるもう一つの方法です。視差は測定されず、「距離を推定する」という表現が用いられているに過ぎません。この方法では、恒星の光度はスペクトルから推定されます。特定の種類の遠方の恒星のスペクトルは、同じ種類の近くの恒星のスペクトルと同じであると仮定することが重要です。次に、恒星の寿命に基づいて、ヘルツシュプルング・ラッセル図上の位置が割り当てられます。恒星の光度は、近くの恒星のスペクトルと比較することで推定できます。そして、次の逆二乗則によって距離が決定されます。

b={\frac {L}{4\pi d^{2}}}

ここでは見かけの明るさ、は光度です。 $b$ $L$

太陽を参考にして次のように書くことができます

{\frac {L}{L_{\odot }}}={\bigg (}{\frac {d_{\odot }^{2}}{b}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {d^{2}}{b_{\odot }}}{\bigg )}

ここで、下付き文字は太陽に関連付けられたパラメータを表します。 $\odot$

を整理すると距離の概算値が得られる。^[7] $d^{2}$

d^{2}={\bigg (}{\frac {L}{L_{\odot }}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {b_{\odot }}{b}}{\bigg )}

ケプラーの法則

互いに周回する二つの恒星とその重心は、ケプラーの法則に従わなければならない。これは、軌道が二つの焦点のいずれかに重心を持つ楕円形であること（ケプラーの第一法則）と、恒星と重心を結ぶ線が等面積を等時間間隔で描くという法則（ケプラーの第二法則）を満たすことを意味する。また、軌道運動はケプラーの第三法則も満たさなければならない。^[8]

ケプラーの第三法則は次のように述べられる。「惑星の公転周期の2乗は、その軌道長半径の3乗に正比例する。」数学的には、これは次のように翻訳される。

T^{2}\propto a^{3}

ここでは惑星の公転周期、は軌道の長半径である。^[8] $T$ $a$

ニュートンの一般化

連星系を考えてみましょう。これは、質量がとの2つの天体がそれぞれの重心の周りを公転している状態です。は位置ベクトルと軌道速度を持ち、は重心に対する相対的な位置ベクトルと軌道速度を持ちます。2つの星の間の距離はで表され、一定であると仮定します。重力は両方の星の中心を結ぶ線に沿って作用するため、2つの星はそれぞれの重心の周りで等しい周期を持ち、したがって互いの距離は一定であると仮定できます。^[9] $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{1}$ $r_{1}$ $v_{1}$ $m_{2}$ $r_{2}$ $v_{2}$ $r$

ケプラーの第 3 法則のニュートン版に到達するには、まずニュートンの第 2 法則を考慮する必要があります。これは、「物体に作用する正味の力は、物体の質量と結果として生じる加速度に比例する」というものです。

F_{net}=\sum \,F_{i}=ma

ここでは質量の物体に作用する正味の力であり、は物体の加速度である。^[10] $F_{net}$ $m$ $a$

ニュートンの第二法則に求心加速度の定義を適用すると、

F={\frac {mv^{2}}{r}}

^[11]

そして、軌道速度が次のように与えられるという事実を用いて、

v={\frac {2\pi r}{T}}

^[11]

それぞれの星に働く力は次のように表すことができます

F_{1}={\frac {4\pi ^{2}m_{1}r_{1}}{T^{2}}}

そして

F_{2}={\frac {4\pi ^{2}m_{2}r_{2}}{T^{2}}}

ニュートンの第3法則「すべての作用には、等しく反対の反作用がある」を適用すると、

F_{12}=-F_{21}

^[10]

それぞれの星にかかる力を互いに等しく設定することができます。

{\frac {4\pi ^{2}m_{1}r_{1}}{T^{2}}}={\frac {4\pi ^{2}m_{2}r_{2}}{T^{2}}}

これは次のように要約される。

r_{1}m_{1}=r_{2}m_{2}

質量が等しくないと仮定すると、この式は、小さい方の質量が大きい方の質量よりも質量中心から遠いことを示しています。

2つの物体の分離は $r$

r=r_{1}+r_{2}

とは反対方向から始まり、質量の中心で結合する直線を形成します。 $r_{1}$ $r_{2}$

この式を星に働く力を表す方程式の一つに代入し、を整理すると、一方の星の位置と、両方の星の質量、そして星と星の間の距離を関係付ける式が得られます。同様に、についてもこの式を解くことができます。すると、 $r_{1}$ $r_{2}$

r_{1}={\frac {m_{2}a}{(m_{1}+m_{2})}}

この式を星の1つにかかる力の式に代入し、それをニュートンの万有引力の法則（つまり、^[10]）に等しく設定し、周期の2乗を解くと、必要な結果が得られます。 $F=Gm_{1}m_{2}/a^{2}$

T^{2}={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{G(m_{1}+m_{2})}}

^[10]

これはケプラーの第三法則のニュートン版です。が非標準単位系でない限り、質量が太陽質量、公転周期が年、軌道長半径が天文単位系（例えば地球の軌道パラメータ）で測定されている場合は、この式は成立しません。ただし、例えばSI単位系が全体にわたって使用されている場合は成立します。 $G$

恒星の質量の決定

ここでは連星系が特に重要である。連星系は互いの周りを公転しているため、互いの軌道と質量の中心を観測することによって連星系の重力による相互作用を調べることができる。ケプラーの第 3 法則を適用する前に、連星系の軌道の傾斜角を考慮する必要がある。地球上の観測者から見ると、軌道面は通常傾いている。0° の場合、軌道面は一致して見え、90° の場合は、面が真上にあるように見える。この傾斜により、楕円の真の軌道は天球上に楕円の見かけの軌道を投影する。ケプラーの第 3 法則は依然として有効だが、比例定数は楕円の見かけの軌道に応じて変化する。^[12]軌道の傾斜角は、主星と見かけの焦点との距離を測定することによって決定できる。この情報が分かれば、真の離心率と真の長半径を計算することができる。なぜなら、傾斜角が0°より大きいと仮定すると、見かけの軌道は真の軌道よりも短くなるためであり、この影響は単純な幾何学を用いて補正することができる。

a={\frac {a''}{p''}}

は真の長半径で、は視差です。 $a''$ $p''$

真の軌道が分かれば、ケプラーの第三法則を適用できる。これを観測可能な量を用いて書き直すと、

(m_{1}+m_{2})T^{2}={\frac {4\pi ^{2}(a''/p'')^{3}}{G}}

この式から、連星系に含まれる質量の合計が得られます。先ほど導出した式を思い出してください。

r_{1}m_{1}=r_{2}m_{2}

どこ

r_{1}+r_{2}=r

半径の比を解くことができ、したがって2つの質量の比も解くことができる。

{\frac {a_{1}''}{a_{2}''}}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}

そして

{\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}

個々の恒星の質量はこれらの比率から求められ、また各恒星とシステムの質量中心との距離を知ることで求められる。 ^[4]

質量と光度の関係

星の光度を知るには、放射エネルギーの流れ、つまり放射フラックスを観測する必要があります。観測された光度と質量をグラフ化すると、質量と光度の関係が得られます。この関係は1924年にアーサー・エディントンによって発見されました。

{\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{\alpha }

ここで、Lは恒星の光度、Mは恒星の質量である。L _⊙とM ⊙_は太陽の光度と質量である。^[13]主系列星では、一般的にa = 3.5という値を用いる。^[14]この式と通常のa = 3.5という値は、質量が2 M _⊙ < M < 20 M _⊙の主系列星にのみ適用され、赤色巨星や白色矮星には適用されない。これらの星は質量が異なるため、この式は異なる定数で適用される。異なる質量範囲における質量光度関係の適切な形は次のようになる。 $\alpha$

{\frac {L}{L_{\odot }}}\approx .23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}\qquad (M<.43M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}\qquad \qquad (.43M_{\odot }<M<2M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 1.5\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}\qquad (2M_{\odot }<M<20M_{\odot })

{\frac {L}{L_{\odot }}}\varpropto {\frac {M}{M_{\odot }}}\qquad (M>20M_{\odot })

星の明るさが大きければ大きいほど、質量も大きくなります。星の絶対等級、つまり明るさは、星までの距離と見かけの等級がわかれば求められます。星の放射等級は、太陽の質量を単位とした質量に対してプロットされます。これは観測によって決定され、プロットから星の質量が読み取られます。巨星と主系列星はこれに一致する傾向がありますが、超巨星と白色矮星は一致しません。質量と光度の関係は非常に有用です。なぜなら、連星、特に肉眼で見える連星の観測により、多くの星の質量がこの方法で発見されたため、天文学者は星の進化、特にその誕生の過程について知見を得ることができたからです。^[5]^[13]^[15]

スペクトル分類

一般的に、二元系には3つのクラスがあります。これらは、2つの成分の色を考慮することで判別できます。

「1. 赤色または赤みがかった主星と、青みがかった副星で構成される星系で、通常は 1 等級以上暗い星系です...2. 等級と色の差がどちらも小さい星系です...3. 暗い方の星の方が 2 つのうちより赤い星系です...」

クラス1連星の光度はクラス3連星の光度よりも大きい。連星の色差と固有運動の減少との間には相関関係がある。1921年、リック天文台のフレデリック・C・レナードは次のように記している。「1. 矮星の副星のスペクトルは一般に主星のスペクトルよりも赤みがかっている。一方、巨星の暗い成分のスペクトルは明るい成分のスペクトルよりも青みがかっているのが一般的である。どちらの場合も、スペクトル型の絶対的な差は通常、成分間の差と関係しているようである…2. いくつかの例外はあるものの、二重星の成分のスペクトルは互いに非常によく関連しており、星のヘルツシュプルング・ラッセル配置に一致する…」

連星の視覚的な特徴として興味深いのは、主系列星の一方または両方が主系列星の上または下に位置する場合です。主系列星よりも明るい恒星は、非常に若く、重力によって収縮しているか、進化の主系列後期にあります。連星の研究は、単独の恒星とは異なり、どちらの理由によるのかを特定できるため、この点で有用です。主系列星が重力収縮している場合、伴星は主系列星よりも遠く離れているはずです。これは、質量の大きい恒星が質量の小さい恒星よりもはるかに速く主系列星になるからです。^[16]

参考文献

^ Argyle, RW (2012), 「視覚二重星の観測と測定」、パトリック・ムーア実践天文学シリーズ、Springer Science & Business Media、pp. 71– 75、ISBN 978-1461439455
^ The Binary Stars、ロバート・グラント・エイトキン、ニューヨーク：ドーバー、1964年、41ページ。
^ 「連星系と恒星パラメータ」（PDF） . 2013年11月4日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2013年11月2日閲覧。
^ Michael Zeilik著、Stephan A. Gregory、Elske VP Smith共著(1998). 『天文学と天体物理学入門』Brooks/Cole. ISBN 978-0030062285。
^ abc Mullaney, James (2005).二重星と多重星とその観測方法. Springer. p. 27. ISBN 1-85233-751-6質量-光度関係距離バイナリ。
^ マーティン・ハーウィット（2000年4月20日）『天体物理学の概念』シュプリンガー、ISBN 0-387-94943-7。
^ 欧州宇宙機関、恒星の距離
^ ab レナード・サスキンド＆ジョージ・フラボフスキー (2013). 『理論的最小値：物理学を始めるために知っておくべきこと』ペンギン・グループ. ISBN 978-1846147982。
^ “連星の物理学”. 2013年10月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年10月15日閲覧。
^ abcd Bradley W. Carroll & Dale A. Ostlie (2013). 『現代天体物理学入門』ピアソン. ISBN 978-1292022932。
^ ab Hugh D. Young (2010). University Physics . Bertrams . ISBN 978-0321501301。
^ 「ケプラーの法則、連星、恒星質量」（PDF）2013年11月4日閲覧。
^ ab サラリス, マウリツィオ; サンティ・カッシシ (2005). 恒星と恒星集団の進化.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 138– 140. ISBN 0-470-09220-3。
^ 「質量と光度の関係」Hyperphysics . 2009年8月23日閲覧。
^ Duric, Nebojsa (2004). Advanced astrophysics. Cambridge University Press . p. 19. ISBN 978-0-521-52571-8。
^ William P. Bidelman、「主系列より上の主系列を持つ視覚連星のスペクトル分類」、カリフォルニア大学リック天文台、2013年11月24日閲覧

[1] Argyle, RW (2012), 「視覚二重星の観測と測定」、パトリック・ムーア実践天文学シリーズ、Springer Science & Business Media、pp. 71– 75、ISBN 978-1461439455

[2] The Binary Stars、ロバート・グラント・エイトキン、ニューヨーク：ドーバー、1964年、41ページ。

[3] 「連星系と恒星パラメータ」（PDF） . 2013年11月4日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2013年11月2日閲覧。

[Binary-4] Michael Zeilik著、Stephan A. Gregory、Elske VP Smith共著(1998). 『天文学と天体物理学入門』Brooks/Cole. ISBN 978-0030062285。

[double-5] Mullaney, James (2005).二重星と多重星とその観測方法. Springer. p. 27. ISBN 1-85233-751-6質量-光度関係距離バイナリ。

[6] マーティン・ハーウィット（2000年4月20日）『天体物理学の概念』シュプリンガー、ISBN 0-387-94943-7。

[7] 欧州宇宙機関、恒星の距離

[Theory-8] レナード・サスキンド＆ジョージ・フラボフスキー (2013). 『理論的最小値：物理学を始めるために知っておくべきこと』ペンギン・グループ. ISBN 978-1846147982。

[9] “連星の物理学”. 2013年10月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年10月15日閲覧。

[Astro-10] Bradley W. Carroll & Dale A. Ostlie (2013). 『現代天体物理学入門』ピアソン. ISBN 978-1292022932。

[phy-11] Hugh D. Young (2010). University Physics . Bertrams . ISBN 978-0321501301。

[12] 「ケプラーの法則、連星、恒星質量」（PDF）2013年11月4日閲覧。

[evolutionofstars-13] サラリス, マウリツィオ; サンティ・カッシシ (2005). 恒星と恒星集団の進化.ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 138– 140. ISBN 0-470-09220-3。

[14] 「質量と光度の関係」Hyperphysics . 2009年8月23日閲覧。

[advanced-15] Duric, Nebojsa (2004). Advanced astrophysics. Cambridge University Press . p. 19. ISBN 978-0-521-52571-8。

[16] William P. Bidelman、「主系列より上の主系列を持つ視覚連星のスペクトル分類」、カリフォルニア大学リック天文台、2013年11月24日閲覧