Element of an exterior algebra
スカラー、ベクトル、単純k ベクトル、 k ベクトル、および多重ベクトルの関係 。著者によって、「多重ベクトル」は同次ベクトルの場合もあれば、異なる k の値が混在している場合もあります。このグラフでは後者を採用しています。 多重線型代数 において 、 多重ベクトル（ クリフォード数 、 マルチター とも 呼ばれる ）[1]は、 ベクトル空間 V の 外積代数 Λ( V ) の元である 。この代数は 次数付き 、 結合的 、 交代的 であり、次の形式の 単純 k ベクトル [2] （ 分解可能 k ベクトル [3] または k ブレード とも呼ばれる） の 線型結合から構成される。
v 1 ∧ ⋯ ∧ v k , {\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},} はV にあり ます 。 v 1 , … , v k {\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}
k ベクトルとは 、 k 次 同次な 線型結合 （すべての項が 同じ kに対する k ブレードである）のことです。著者によっては、「多重ベクトル」は kベクトル、または外積代数の任意の要素（ k の値が異なっていても構わない k ブレードの任意の線型結合 ）のいずれかを指します。 [4]
微分幾何学 において 、 k ベクトルは通常、滑らかな多様体 の 接ベクトル空間 の外積代数のベクトルである 。つまり、 ある整数 k ≥ 0に対して、 k 個の接ベクトル の 外積 の線型結合をとることで得られる反対称 テンソル である。 微分 k 形式は、接空間の 双対 の外積代数における k ベクトルであり 、これは接空間の外積代数の双対でもある。
k = 0、1、2、3 の場合 、 kベクトルはそれぞれ スカラー 、 ベクトル 、 バイベクトル 、 トリベクトル と 呼ばれることが多く 、それぞれ 0形式、1形式、2形式、3形式 の双対です。 [ 5 ] [6]
外装製品 多重ベクトルを構成する際に用いられる外積（ウェッジ積とも呼ばれる）は、多重線型（各入力に対して線型）、結合性、交代性を持つ。これは、 ベクトル空間 V内のベクトル u 、 v 、 w とスカラー α 、 β に対して 、外積が以下の性質を持つことを意味する。
入力の線形: u ∧ ( α v + β w ) = α u ∧ v + β u ∧ w ; {\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ;} 連想: ( u ∧ v ) ∧ w = u ∧ ( v ∧ w ) ; {\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} );} 交互: u ∧ u = 0. {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0.} k 個のベクトルの外積 、または（単一の kに対して）それらの積の和は、 k 次多重ベクトル、または k ベクトルと呼ばれます。多重ベクトルの最大次数は、ベクトル空間 V の次元です 。
どちらかの入力が線形であり、かつ交代性を持つ場合、もう一方の入力も線形であることを意味する。外積の多重線形性により、多重ベクトルは V の基底ベクトルの外積の線形結合として表すことができる 。V の k 個の基底ベクトル の外積は、 k ベクトルの空間の各基底元を構成する標準的な方法であり 、その空間は次元 ( n k ） はn 次元ベクトル空間の外積代数である 。 [2]
面積と体積 n 次元空間における k個 の別々のベクトル の外積から得られる k ベクトルは、それらのベクトルが張る k 平行四辺形 の ( k −1)体積を定義する成分を持つ。これらの成分の平方の和の平方根は 、 k 平行四辺形の体積を定義する 。 [2] [7]
以下の例は、2次元の2元ベクトルが平行四辺形の面積を測定し、3次元の2元ベクトルの大きさも平行四辺形の面積を測定することを示しています。同様に、3次元の3元ベクトルは平行六面体の体積を測定します。
4 次元の 3 つのベクトルの大きさが、これらのベクトルが張る平行六面体の体積を測定するものであることは簡単に確認できます。
Rにおけるマルチベクトル 2 多重ベクトルの性質は、2次元ベクトル空間V = R 2 を考えることでわかる 。基底ベクトルを e 1 と e 2 とすると、 u と v は 次のように与えられる。
u = u 1 e 1 + u 2 e 2 , v = v 1 e 1 + v 2 e 2 , {\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2},} そして、多重ベクトル u∧v （ バイベクトルとも呼ばれる）は次のように計算される 。
u ∧ v = | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ) . {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\ (\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).} 縦棒は行列の行列式を表し、ベクトル u と vが張る平行四辺形の面積です。 u ∧ v の大きさは この平行四辺形の面積です。 V は2次元であるため、基底二ベクトル e 1 ∧ e 2 は Λ V の唯一の多重ベクトルであることに注意してください 。
多重ベクトルの大きさと、そのベクトルが張る面積または体積との関係は、あらゆる次元において重要な特徴です。さらに、この体積を計算する多重ベクトルの線型関数版は、微分形式として知られています。
Rにおけるマルチベクトル 3 多重ベクトルのさらなる特徴は、3次元ベクトル空間V = R 3 を考えることで明らかになる 。この場合、基底ベクトルを e 1 、 e 2 、 e 3 とすると、 u 、 v 、 w は次のように与えられる
。
u = u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 , v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 , w = w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {v} &=v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3},&\mathbf {w} &=w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}} そして、二ベクトル u∧v は 次のように計算される 。
u ∧ v = | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 2 ∧ e 3 ) + | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 3 ) + | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ) . {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right).} この二ベクトルの成分は外積の成分と同じです。この二ベクトルの大きさは、その成分の平方の和の平方根です。
これは、双ベクトルu ∧ v の大きさが、 3次元空間 Vにおけるベクトル u と v が張る平行四辺形の面積であることを示しています 。双ベクトルの成分は、3つの座標平面それぞれにおける平行四辺形の投影面積です。
Vは3次元なので、 Λ V には1つの基底3次元ベクトルが存在する ことに注意する 。3次元ベクトルを計算する。
u ∧ v ∧ w = | u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 | ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) . {\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} \ =\ {\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right).} 三重外積の導出
u ∧ v ∧ w = ( u ∧ v ) ∧ w = ( | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 2 ∧ e 3 ) + | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 3 ) + | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ) ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) + | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) + | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ ( w 1 e 1 + w 2 e 2 + w 3 e 3 ) = | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ w 1 e 1 + | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ w 2 e 2 + | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ w 3 e 3 e 2 ∧ e 2 = 0 ; e 3 ∧ e 3 = 0 + | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ w 1 e 1 + | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ w 2 e 2 + | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ w 3 e 3 e 1 ∧ e 1 = 0 ; e 3 ∧ e 3 = 0 + | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ w 1 e 1 + | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ w 2 e 2 + | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ w 3 e 3 e 1 ∧ e 1 = 0 ; e 2 ∧ e 2 = 0 = | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 2 ∧ e 3 ) ∧ w 1 e 1 + | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 3 ) ∧ w 2 e 2 + | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ) ∧ w 3 e 3 = − w 1 | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 2 ∧ e 1 ∧ e 3 ) − w 2 | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) + w 3 | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = w 1 | u 2 v 2 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) − w 2 | u 1 v 1 u 3 v 3 | ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) + w 3 | u 1 v 1 u 2 v 2 | ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = ( w 1 | u 2 v 2 u 3 v 3 | − w 2 | u 1 v 1 u 3 v 3 | + w 3 | u 1 v 1 u 2 v 2 | ) ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) = | u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 | ( e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} \\{}={}&\left({\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right)\right)\wedge \left(w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3}\right)\\{}={}&{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge \left(w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3}\right)\\&{}+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge \left(w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3}\right)\\&{}+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right)\wedge \left(w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3}\right)\\{}={}&{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge w_{1}\mathbf {e} _{1}+{\cancel {{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge w_{2}\mathbf {e} _{2}}}+{\cancel {{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge w_{3}\mathbf {e} _{3}}}&&\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0;\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{3}=0\\&{}+{\cancel {{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge w_{1}\mathbf {e} _{1}}}+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge w_{2}\mathbf {e} _{2}+{\cancel {{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge w_{3}\mathbf {e} _{3}}}&&\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=0;\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{3}=0\\&{}+{\cancel {{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right)\wedge w_{1}\mathbf {e} _{1}}}+{\cancel {{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right)\wedge w_{2}\mathbf {e} _{2}}}+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right)\wedge w_{3}\mathbf {e} _{3}&&\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=0;\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0\\{}={}&{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge w_{1}\mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\wedge w_{2}\mathbf {e} _{2}+{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\right)\wedge w_{3}\mathbf {e} _{3}\\{}={}&-w_{1}{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)-w_{2}{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+w_{3}{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\\{}={}&w_{1}{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)-w_{2}{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)+w_{3}{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\\{}={}&\left(w_{1}{\begin{vmatrix}u_{2}&v_{2}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}-w_{2}{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{3}&v_{3}\end{vmatrix}}+w_{3}{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}\\u_{2}&v_{2}\end{vmatrix}}\right)\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\\{}={}&{\begin{vmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u_{3}&v_{3}&w_{3}\end{vmatrix}}\left(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\right)\\\end{aligned}}}
これは、3 つのベクトル u ∧ v ∧ w の大きさが、3 つのベクトルu 、 v 、 w が張る平行六面体の体積であることを示しています 。
高次元空間では、成分の 3 ベクトルは平行六面体の体積を座標 3 空間に投影したもので、3 ベクトルの大きさは高次元空間に置かれた平行六面体の体積です。
グラスマン座標 この節では、射影空間 Pn 上 の多重ベクトルについて考察する。これは、 グラスマン座標 と呼ばれる点の同次座標に類似した性質を持つ直線、平面、超平面の便利な座標系を提供する 。 [8]
実射影空間 P n 上の点は、ベクトル空間R n +1 の原点を通る直線として定義されます 。例えば、射影平面 P 2は、 R 3 の原点を通る直線の集合です。したがって、 R n +1 上で定義された多重ベクトルは、 P n 上の多重ベクトルと見なすことができます 。
P n 上の多重ベクトルを見る便利な方法は、 P n の アフィン成分 でそれを調べることです。アフィン成分とは、 R n +1 の原点を通る直線 と、選択された超平面（例えば 、H: x n +1 = 1）との交点です。R 3 の 原点を通る直線は、 平面 E: z = 1と交差し、 z = 0 となる点（無限遠点） のみを除いた射影平面のアフィン版を定義します。
射影平面上の多重ベクトル P 2 射影平面 P 2 のアフィン成分 E: z = 1 上の点は、座標 x = ( x , y , 1) を持つ。2点 p = ( p 1 , p 2 , 1) と q = ( q 1 , q 2 , 1)の線型結合は、 p と q を 結ぶ直線で E と交わる R 3 上の平面を定義する 。多重ベクトル p ∧ q は 、 R 3 上 で次式で表される平行四辺形を定義する。
p ∧ q = ( p 2 − q 2 ) ( e 2 ∧ e 3 ) + ( p 1 − q 1 ) ( e 1 ∧ e 3 ) + ( p 1 q 2 − q 1 p 2 ) ( e 1 ∧ e 2 ) . {\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).} pを α p + β q に 置き換えると、 この多重ベクトルに定数倍されることに注意してください。したがって、 p ∧ q の成分は、 R 3 の原点を通る平面上の同次座標となります 。
p と q を通る直線上の 点の集合 x = ( x , y , 1 )は、 p ∧ q で定義される平面と 平面 E: z = 1 との交点である。これらの点は x ∧ p ∧ q = 0 を満たす 。すなわち、
x ∧ p ∧ q = ( x e 1 + y e 2 + e 3 ) ∧ ( ( p 2 − q 2 ) ( e 2 ∧ e 3 ) + ( p 1 − q 1 ) ( e 1 ∧ e 3 ) + ( p 1 q 2 − q 1 p 2 ) ( e 1 ∧ e 2 ) ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \ =\ (x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})\wedge {\big (}(p_{2}-q_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}){\big )}=0,} これは直線の方程式に簡略化される。
λ : x ( p 2 − q 2 ) + y ( p 1 − q 1 ) + ( p 1 q 2 − q 1 p 2 ) = 0. {\displaystyle \lambda :x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0.} この式は、 α と β の実数値に対して
点 x = α p + β qによって満たされます。
直線 λを定義する p ∧ q の3つの成分は、直線の グラスマン座標 と呼ばれます 。3つの同次座標は点と直線の両方を定義するため、点の幾何学は射影平面における直線の幾何学と双対であると言われています。これは 双対性の原理 と呼ばれます。
射影3次元空間上の多重ベクトル P 3 三次元射影空間 P 3 は R 4 の原点を通るすべての直線から構成される 。三次元超平面 H: w = 1を、点 x = ( x , y , z , 1) で定義される射影空間のアフィン成分とする 。多重ベクトル p ∧ q ∧ r は R 4 において、次式で表さ れる平行六面体を定義する。
p ∧ q ∧ r = | p 2 q 2 r 2 p 3 q 3 r 3 1 1 1 | e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 + | p 1 q 1 r 1 p 3 q 3 r 3 1 1 1 | e 1 ∧ e 3 ∧ e 4 + | p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 1 1 1 | e 1 ∧ e 2 ∧ e 4 + | p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 p 3 q 3 r 3 | e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 . {\displaystyle \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} ={\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}.} pを α p + β q + γ r に置き換える と 、この多重ベクトルに定数倍されることに注意してください。したがって、 p ∧ q ∧ r の成分は、 R 4 の原点を通る3次元空間の同次座標となります 。
アフィン成分H: w = 1 の 平面は 、 Hとp∧q∧r で 定義される3次元空間の交差における 点 x = ( x , y , z , 1) の 集合である。これらの点 は x∧p∧q∧r = 0 を 満たす 。 すなわち 、
x ∧ p ∧ q ∧ r = ( x e 1 + y e 2 + z e 3 + e 4 ) ∧ p ∧ q ∧ r = 0 , {\displaystyle \mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =(x\mathbf {e} _{1}+y\mathbf {e} _{2}+z\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge \mathbf {p} \wedge \mathbf {q} \wedge \mathbf {r} =0,} これは平面の方程式に簡略化される。
λ : x | p 2 q 2 r 2 p 3 q 3 r 3 1 1 1 | + y | p 1 q 1 r 1 p 3 q 3 r 3 1 1 1 | + z | p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 1 1 1 | + | p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 p 3 q 3 r 3 | = 0. {\displaystyle \lambda :x{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+y{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}+z{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\1&1&1\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}&r_{1}\\p_{2}&q_{2}&r_{2}\\p_{3}&q_{3}&r_{3}\end{vmatrix}}=0.} この式は、 α 、 β 、 γ の実数値に対して、点 x = α p + β q + γ r によって満たされます 。
平面λを定義する p∧q∧r の 4 つの成分は 、 平面のグラスマン座標 と呼ばれます。4つの同次座標 は射影空間における点と平面 の 両方を定義するため、点の幾何学は平面の幾何学と双対です。
2点の結線としての直線： 射影空間において、 2点 p と q を通る直線 λは 、アフィン空間 H: w = 1と R 4 の 平面 x = α p + β q との交点として見ることができる。多重ベクトル p ∧ q は直線λの同次座標を与える。
λ : p ∧ q = ( p 1 e 1 + p 2 e 2 + p 3 e 3 + e 4 ) ∧ ( q 1 e 1 + q 2 e 2 + q 3 e 3 + e 4 ) , = | p 1 q 1 1 1 | e 1 ∧ e 4 + | p 2 q 2 1 1 | e 2 ∧ e 4 + | p 3 q 3 1 1 | e 3 ∧ e 4 + | p 2 q 2 p 3 q 3 | e 2 ∧ e 3 + | p 3 q 3 p 1 q 1 | e 3 ∧ e 1 + | p 1 q 1 p 2 q 2 | e 1 ∧ e 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda :\mathbf {p} \wedge \mathbf {q} &=(p_{1}\mathbf {e} _{1}+p_{2}\mathbf {e} _{2}+p_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4})\wedge (q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3}+\mathbf {e} _{4}),\\&={\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\1&1\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}\\&+{\begin{vmatrix}p_{2}&q_{2}\\p_{3}&q_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}p_{3}&q_{3}\\p_{1}&q_{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}p_{1}&q_{1}\\p_{2}&q_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}} これらは直線の プルッカー座標 として知られていますが、グラスマン座標の例でもあります。
2つの平面の交点としての直線： 射影空間における 直線 μは、3級多重ベクトルによって定義される2つの平面 π と ρ の交点を形成する点 x の集合として定義することもできる 。したがって、点 x は線形方程式の解である。
μ : x ∧ π = 0 , x ∧ ρ = 0. {\displaystyle \mu :\mathbf {x} \wedge \pi =0,\mathbf {x} \wedge \rho =0.} 直線 μ のプラッカー座標を得るためには、多重ベクトル π と ρを 、上線で示される右補ベクトルを用いて、それらの双対点座標に写像する 。[9]
e 1 = e 2 ∧ e 3 ∧ e 4 ¯ , e 2 = e 3 ∧ e 1 ∧ e 4 ¯ , e 3 = e 1 ∧ e 2 ∧ e 4 ¯ , e 4 = e 1 ∧ e 2 ∧ e 3 ¯ , {\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\overline {\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{2}={\overline {\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{3}={\overline {\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}}},\quad \mathbf {e} _{4}={\overline {\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}}},} それから
π ¯ = π 1 e 1 + π 2 e 2 + π 3 e 3 + π 4 e 4 , ρ ¯ = ρ 1 e 1 + ρ 2 e 2 + ρ 3 e 3 + ρ 4 e 4 . {\displaystyle {\overline {\pi }}=\pi _{1}\mathbf {e} _{1}+\pi _{2}\mathbf {e} _{2}+\pi _{3}\mathbf {e} _{3}+\pi _{4}\mathbf {e} _{4},\quad {\overline {\rho }}=\rho _{1}\mathbf {e} _{1}+\rho _{2}\mathbf {e} _{2}+\rho _{3}\mathbf {e} _{3}+\rho _{4}\mathbf {e} _{4}.} したがって、直線 μ のPlücker座標は次のように与えられる。
μ : π ¯ ∧ ρ ¯ _ = | π 1 ρ 1 π 4 ρ 4 | e 2 ∧ e 3 + | π 2 ρ 2 π 4 ρ 4 | e 3 ∧ e 1 + | π 3 ρ 3 π 4 ρ 4 | e 1 ∧ e 2 + | π 2 ρ 2 π 3 ρ 3 | e 1 ∧ e 4 + | π 3 ρ 3 π 1 ρ 1 | e 2 ∧ e 4 + | π 1 ρ 1 π 2 ρ 2 | e 3 ∧ e 4 , {\displaystyle {\begin{aligned}\mu :{\underline {{\overline {\pi }}\wedge {\overline {\rho }}}}&={\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{4}&\rho _{4}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&+{\begin{vmatrix}\pi _{2}&\rho _{2}\\\pi _{3}&\rho _{3}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{3}&\rho _{3}\\\pi _{1}&\rho _{1}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{4}+{\begin{vmatrix}\pi _{1}&\rho _{1}\\\pi _{2}&\rho _{2}\end{vmatrix}}\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{4},\end{aligned}}} ここで下線は左補集合を表す。右補集合の楔積の左補集合は反楔積と呼ばれ、下向きの楔で表され、次のように書くことができる。 μ = π ∨ ρ . {\displaystyle \mu =\pi \vee \rho .}
クリフォード製品 WKクリフォードは、ベクトル空間上で定義された 内積 と多重ベクトルを組み合わせて 、通常の複素数とハミルトンの 四元数 を含む超複素数の一般的な構成を得た。 [10] [11]
2つのベクトルu と v の間のクリフォード積は 外積と同様に双線型かつ結合的であり、さらに多重ベクトル uv が クリフォード の関係によって 内積 u⋅vに結合されているという性質も持つ。
u v + v u = 2 u ⋅ v . {\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathbf {u} =2\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} .} クリフォードの関係式は、直交するベクトルに対しては反交換性を保つ。これは、 R n における互いに直交する単位ベクトル e i , i = 1, ..., n からわかる。 クリフォードの関係式は、
e i e j + e j e i = 2 e i ⋅ e j = δ i , j , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{i,j},} これは基底ベクトルが互いに反交換であることを示す。
e i e j = − e j e i , i ≠ j = 1 , … , n . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i},\quad i\neq j=1,\ldots ,n.} 外積とは対照的に、ベクトルとそれ自身とのクリフォード積はゼロではない。これを確認するには、積を計算してみよう。
e i e i + e i e i = 2 e i ⋅ e i = 2 , {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=2\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}=2,} その結果
e i e i = 1 , i = 1 , … , n . {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{i}=1,\quad i=1,\ldots ,n.} クリフォード積を用いて構成される多重ベクトルの集合は、 クリフォード代数 として知られる結合代数を生成する。異なる性質を持つ内積を用いることで、異なるクリフォード代数を構成することができる。 [12] [13]
幾何代数 kブレード という用語は、 クリフォード代数から幾何学微積分 （1984） [14] で使用されました。
多重ベクトルは、幾何代数として知られる物理学の数学的定式化において中心的な役割を果たしている。 デイヴィッド・ヘステネス によれば、
[非スカラー] k ベクトルは 、0ベクトル（スカラー）とは対照的に「方向性」を持つことを強調するために、 kブレード または単に ブレードと呼ばれることもあります。 [15] 2003年、 C. DoranとA. Lasenbyは、スカラーとベクトルの集合の外積として表される多重ベクトルを表す用語として「 ブレード」を用いた。ここで「任意の多重ベクトルはブレードの和として表すことができる」という記述により、スカラーは暗黙的に0-ブレードとして定義されている。 [16]
幾何代数学 では、多重ベクトルは、 スカラー 、 ベクトル 、2次元ベクトル の和など、 異なる等級の k ブレードの和として定義されます。 [17] k 次元成分のみの和は k ベクトル [18] または 同次 多重ベクトルと呼ばれます 。 [19]
空間内で最も高次の要素は 擬スカラー と呼ばれます。
与えられた元がk 次元同次である場合 、それは k ベクトルであるが、必ずしも k ブレードである必要はない。そのような元は、 k ベクトルの外積として表せる場合、 k ブレードである。4次元ベクトル空間によって生成される幾何代数は、この点を例で示している。XY平面から1つを取り、ZW平面からもう1つを取り出した任意の2つのブレードの和は、2ブレードではない2次元ベクトルを形成する。2次元または3次元ベクトル空間によって生成される幾何代数では、すべての2ブレードの和は、単一の2ブレードとして表される。
例
実外積代数における n 次元元の幾何学的解釈。n = 0 （符号付き点）、1（有向線分またはベクトル）、2（有向平面要素）、3（有向体積）。nベクトルの外積は、任意の n 次元 形状（例えば 、n 次元 平行四辺形 、 n 次元 楕円体 ）として視覚化できる 。その大きさ（ 超体積）と 向き は、 n 次元 境界上の大きさと内部がどちら側にあるかによって定義される。 [ 20 ] [21] 0 ベクトルはスカラーです。 1-ベクトルはベクトルです。 2ベクトルは2 ベクトル です。 ( n − 1)ベクトルは 擬似ベクトル である。 n ベクトルは 擬似スカラー です。 体積形式 がある場合（ 内積 や向き が与えられている場合など）、擬似ベクトルや擬似スカラーはベクトルやスカラーと同一視できます。これは ベクトル計算 では日常的なことですが、体積形式がない場合、任意の選択を行わなければこれを行うことはできません。
物理空間の代数 （(3+1)-時空のモデルとして使用される 3 次元ユークリッド空間の幾何学的代数） では、スカラーとベクトルの和は パラベクトル と呼ばれ、時空内の点を表します（ベクトルは空間、スカラーは時間）。
双ベクトル 双 ベクトルは、 接空間 とそれ自身との 反対称 テンソル積 の要素です 。
幾何代数学 において も、 双ベクトルは 2つのベクトルの 楔積 から得られる2次元元（2元ベクトル）であり、 ベクトルが 有向 線分であるの と同様に、幾何学的には 有向領域である。a と b が2つのベクトルで ある
とき 、双ベクトル a∧b は
ノルム は面積であり 、 ‖ a ∧ b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖ sin ( ϕ a , b ) {\displaystyle \left\|\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\,\left\|\mathbf {b} \right\|\,\sin(\phi _{a,b})} 方向: その領域が存在する平面、つまり、 a と b が線形独立である限り、それらによって決定される平面。 元のベクトルが乗算される順序によって決定される方向 (2 つのうち)。 二重ベクトルは擬似ベクトル に接続され 、幾何代数で回転を表すために使用されます。
双ベクトルはベクトル空間 Λ 2 V （ただし Vは 次元 V = n の有限次元ベクトル空間）の元なので、このベクトル空間上の 内積を 次のように定義するのは理にかなっている 。まず、任意の元 F ∈ Λ 2 V をΛ 2 V の基底 ( e i ∧ e j ) 1 ≤ i < j ≤ n を用いて次のように
書き表す。
F = F a b e a ∧ e b ( 1 ≤ a < b ≤ n ) , {\displaystyle F=F^{ab}\mathbf {e} _{a}\wedge \mathbf {e} _{b}\quad (1\leq a<b\leq n),} ここでは アインシュタインの総和規則 が使用されています。
ここで、写像 G : Λ 2 V × Λ 2 V → R を定義し、
G ( F , H ) := G a b c d F a b H c d , {\displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd},} 数字の集合です 。 G a b c d {\displaystyle G_{abcd}}
アプリケーション 双ベクトルは、例えば 電磁場の分類 など、物理学において多くの重要な役割を果たします。
参照
参考文献 ^ John Snygg (2012), Cliffordの幾何学代数を用いた微分幾何学への新しいアプローチ , Birkhäuser, p. 5 §2.12 ^ abc Harley Flanders (1989)[1963] 微分形式とその物理科学への応用、§ 2.1 p ベクトル の空間、5～7ページ、 Dover Books ^ ウェンデル・フレミング (1977) [1965] 『多変数関数』 第7.5節「多重ベクトル」、295ページ、 ISBN 978-1-4684-9461-7 ^ エリー・カルタン「 スピノルの理論」 16 ページでは、同次ベクトル、特に単純なベクトルのみを考慮し、それらを「多重ベクトル」（総称して）または p ベクトル（具体的に）と呼んでいます。 ^ William M Pezzaglia Jr. (1992). 「マクスウェル方程式の特性超面のクリフォード代数導出」Julian Ławrynowicz編 『数学的構造の変形 II 』Springer、131 頁 以降 。ISBN 0-7923-2576-1 したがって、 3次元では、 擬似 ベクトル を2ベクトル 、 擬似スカラー を3ベクトル の交互項として関連付けます。 ^ Baylis (1994). 物理科学における理論的手法：Mapleを用いた問題解決入門 V. Birkhäuser. p. 234, 脚注参照. ISBN 0-8176-3715-X 。 ^ GE Shilov, Linear Algebra 、(RA Silverman 訳)、Dover Publications、1977年。 ^ WVD HodgeとD. Pedoe著『代数幾何学の方法』第1巻、ケンブリッジ大学出版局、1947年 ^ エリック・レンジェル (2024) 射影幾何代数の解明 、§ 2.2 補数、44–46ページ、 ISBN 979-8-9853582-5-4 。 ^ WK Clifford, 「双四元数の予備的スケッチ」 Proc. London Math. Soc. Vol. 4 (1873) pp. 381–395 ^ WK Clifford, Mathematical Papers 、(編. R. Tucker)、ロンドン: Macmillan、1882年。 ^ JM McCarthy, 理論運動学入門、pp.62-5、MIT Press 1990。 ^ O. BottemaとB. Roth著『理論運動学』North Holland Publ. Co., 1979 ^ David Hestenes & Garret Sobczyk (1984) Clifford Algebra to Geometric Calculus 、p. 4、D. Reidel ISBN 90-277-1673-0 ^ David Hestenes (1999)[1986] New Foundations for Classical Mechanics、34ページ、 D. Reidel ISBN 90-277-2090-8 ^ C. DoranとA. Lasenby (2003) 物理学者のための幾何学代数 、87ページ、 ケンブリッジ大学出版局 ISBN 9780511807497 ^ Marcos A. Rodrigues (2000). 「§1.2 幾何代数：概要」. パターン認識と分類のための不変量 . World Scientific. 3 ページ 以降. ISBN 981-02-4278-6 。 ^ R Wareham、J Cameron、 J Lasenby (2005). 「コンピュータビジョンとグラフィックスにおける共形幾何代数の応用」 Hongbo Li、 Peter J. Olver 、Gerald Sommer (編) 『コンピュータ代数と幾何代数とその応用 』 Springer、p. 330. ISBN 3-540-26296-2 。 ^ エドゥアルド・バイロ＝コロッチャノ (2004)。 「クリフォード幾何代数: コンピューター ビジョン、ロボット工学、学習のための有望なフレームワーク」。アルベルト・サンフェリューの場合。ホセ・フランシスコ・マルティネス・トリニダード。ヘスス・アリエル・カラスコ・オチョア（編）。 パターン認識、画像分析、応用の進歩 。スプリンガー。 p. 25.ISBN 3-540-23527-2 。 ^ R. ペンローズ (2007). 『現実への道』 ヴィンテージブックス. ISBN 978-0-679-77631-4 。 ^ JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力 』 WH Freeman & Co. p. 83. ISBN 0-7167-0344-0 。
