逆関係

Reversal of the order of elements of a binary relation

数学において、二項関係の逆とは、関係において要素の順序が入れ替わったときに生じる関係のことです。例えば、「～の子」関係の逆は、「～の親」関係です。正式な用語で言えば、とが集合であり、がからへの関係である場合、は、もしそうであるべきである関係として定義されます。集合構築記法では、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle L\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle L^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle yL^{\operatorname {T} }x}$ ${\displaystyle xLy.}$

${\displaystyle L^{\operatorname {T} }=\{(y,x)\in Y\times X:(x,y)\in L\}.}$

関係は論理行列で表すことができ、逆関係の論理行列は元の関係の転置となるため、逆関係^{[1] [2] [3] [4]は}転置関係とも呼ばれる。^[5]また、元の関係の反対または双対、 ^[6]元の関係の逆、[ ^{7] [8] [9] [10]}または関係の逆数^[11]とも呼ばれる。 ${\displaystyle L^{\circ }}$ ${\displaystyle L.}$

逆関係の他の表記としては、または^{[引用が必要]などがある。} ${\displaystyle L^{\operatorname {C} },L^{-1},{\breve {L}},L^{\circ },}$ ${\displaystyle L^{\vee }.}$

この表記法は逆関数の表記法に類似しています。多くの関数には逆関数はありませんが、すべての関係には一意の逆関数があります。関係を逆関係に写す単項演算は反転であるため、集合上の二項関係に反転を持つ半群の構造を誘導します。または、より一般的には、以下に詳述するように、関係のカテゴリにダガーカテゴリを誘導します。単項演算として、逆をとること（変換または転置と呼ばれることもあります）^[要出典]は、関係の計算の順序に関連する演算と交換可能であり、つまり、和集合、積集合、補集合と交換可能です。

例

通常の（おそらく厳密または部分的な）順序関係の場合、逆は単純に「反対の」順序であると期待される。例えば、 ${\displaystyle {\leq ^{\operatorname {T} }}={\geq },\quad {<^{\operatorname {T} }}={>}.}$

関係は次のような論理行列で表すことができる。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$

逆関係はその転置行列によって表される。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.}$$

親族関係の逆は次のように名付けられます。「 」は「 」の子であり、「 」は「 」の親です。「 」は「 」の甥または姪であり、「 」は「 」の叔父または叔母です。「 」は「 」の兄弟である、という関係は対称関係であるため、それ自身の逆です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

プロパティ

集合上の二項自己関係のモノイド（関係上の二項演算は関係の合成である）において、逆関係は群論からの逆関係の定義を満たさない。つまり、が上の任意の関係である場合、一般には上の恒等関係とは等しくない。逆関係は、反転を伴う半群の（より弱い）公理を満たす。そして^[12] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle L\circ L^{\operatorname {T} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(L^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=L}$ ${\displaystyle (L\circ R)^{\operatorname {T} }=R^{\operatorname {T} }\circ L^{\operatorname {T} }.}$

一般に、異なる集合間の関係（モノイドではなくカテゴリ、つまり関係Relのカテゴリを形成する）を考えることができるため、この文脈では、逆関係は ダガーカテゴリ（つまり、反転カテゴリ）の公理に従います。 ^[12]その逆と等しい関係は対称関係です。ダガーカテゴリの言語では、それは自己随伴です。

さらに、集合上の自己関係の半群もまた、（関係を集合として包含する）半順序構造であり、実際には合流的量子である。同様に、異種関係の圏Relも順序圏である。^[12]

関係の計算において、変換（逆関係をとる単項演算）は、他の二項演算である和集合や積集合と可換である。また、変換は補集合の単項演算や、最大値と最小値の取り方とも可換である。さらに、変換は包含による関係の順序付けとも両立する。^[5]

関係が反射的、非反射的、対称的、反対称的、非対称的、推移的、連結的、三分的、半順序、全順序、厳密な弱順序、全前順序（弱順序）、または同値関係である場合、その逆も同様です。

逆数

が恒等関係を表す場合、関係には次の逆関係が存在する可能性がある。は ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

右反転可能

という関係が存在する場合 ${\displaystyle X,}$を満たす右逆数 ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle R\circ X=I.}$

左反転可能

という 関係が存在する場合 ${\displaystyle Y,}$ を満たす左逆数 ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle Y\circ R=I.}$

反転可能

右反転可能かつ左反転可能な場合。

可逆同次関係の場合、すべての右逆と左逆は一致する。この唯一の集合はその ${\displaystyle R,}$逆であり、 で表されるこの場合、が成立する。^{[5] : 79} ${\displaystyle R^{-1}.}$ ${\displaystyle R^{-1}=R^{\operatorname {T} }}$

関数の逆関係

関数が逆関数となるのは、その逆関係が関数である場合のみであり、その場合、逆関係は逆関数です。

関数の逆関係は、 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}\subseteq Y\times X}$ ${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X:y=f(x)\}.}$

これは必ずしも関数ではありません。必要な条件の一つは、 が単射であること、つまり が 多価であることです。この条件は が部分関数であるための十分条件であり、が（全）関数となるのはが全射である場合に限ることも明らかです。その場合、が全単射である場合、は の逆関数と呼ぶことができます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f.}$

例えば、関数は逆関数を持つ。 ${\displaystyle f(x)=2x+2}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1.}$

しかし、関数は多値であるため、関数ではない逆の関係を持ちます。 ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle g^{-1}(x)=\pm {\sqrt {x}},}$

関係性を伴う構成

関係の合成を使用すると、関係をその逆と合成することができます。

宇宙の冪集合上の部分集合関係については、その逆との両方の組み合わせが上の普遍関係である: ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$

${\displaystyle (\subseteq )\circ (\supseteq )={\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)\quad {\text{and}}\quad (\supseteq )\circ (\subseteq )={\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U).}$

実際、任意の ${\displaystyle A,C\subseteq U}$

${\displaystyle A{\big (}(\subseteq )\circ (\supseteq ){\big )}C\iff \exists B\subseteq U:\ A\subseteq B\land C\subseteq B}$

これは をとることによって成り立ちます。同様に、 ${\displaystyle B=A\cup C}$

${\displaystyle A{\big (}(\supseteq )\circ (\subseteq ){\big )}C\iff \exists B\subseteq U:\ B\subseteq A\land B\subseteq C,}$

これは をとることによって成立します。 ${\displaystyle B=A\cap C}$

ここで集合の所属関係とその逆を考えてみましょう。集合の場合、 ${\displaystyle \in \;\subseteq \ U\times {\mathcal {P}}(U)}$ ${\displaystyle \ni \;\subseteq \ {\mathcal {P}}(U)\times U}$ ${\displaystyle A,B\subseteq U}$

${\displaystyle A\,(\ni \circ \in )\,B\iff \exists z\in U:\ z\in A\land z\in B\iff A\cap B\neq \emptyset ,}$

上の「空でない交差」関係も同様である。逆に、要素 については、 ${\displaystyle \ni \circ \in }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$ ${\displaystyle x,y\in U}$

${\displaystyle x\,(\in \circ \ni )\,y\iff \exists A\subseteq U:\ x\in A\land y\in A,}$

これは常に成り立ちます（例えば、 の場合）。したがって、上の普遍的な関係式です。 ${\displaystyle A=\{x,y\}}$ ${\displaystyle \in \circ \ni =U\times U}$ ${\displaystyle U}$

合成は関係を種類によって分類するために使用される。関係Qについて、Qの値域における恒等関係がQ ^T Qを含む場合、Q は一価であると呼ばれる。 Qの定義域における恒等関係がQ Q ^Tに含まれる場合、Q は全であると呼ばれる。Q が一価かつ全である場合、それは関数である。Q ^Tが一価である場合、Qは単射であると呼ばれる。 Q ^{T が}全である場合、Qは全射であると呼ばれる。^[13]

Qが単価である場合、Q Q ^TはQの定義域における同値関係です。推移関係#関連するプロパティを参照してください。

参照

• 双対性（順序理論）  – 順序理論という数学の分野における用語
• 転置グラフ – エッジが反転した有向グラフ

参考文献

1. Ernst Schröder、(1895)、 Algebra der Logik (Exakte Logik) Dritter Band、Algebra und Logik der Relative、ライプツィヒ: BG Teubner via Internet Archive Seite 3 Konversion
2. バートランド・ラッセル（1903）『数学原理』97ページ、インターネットアーカイブより
3. CI Lewis (1918) A Survey of Symbolic Logic、273ページ、インターネットアーカイブより
4. シュミット、ガンター（2010年）『リレーショナル数学』ケンブリッジ大学出版局、39頁。ISBN 978-0-521-76268-7。
5. ギュンター・シュミット、トーマス・シュトレーライン (1993). 『関係とグラフ：コンピュータ科学者のための離散数学』シュプリンガー・ベルリン・ハイデルベルク. pp. 9–10. ISBN 978-3-642-77970-1。
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9. Rosen, Kenneth H. (2017).離散数学および組合せ数学ハンドブック. Rosen, Kenneth H., Shier, Douglas R., Goddard, Wayne. (第2版). フロリダ州ボカラトン. p. 43. ISBN 978-1-315-15648-4. OCLC  994604351.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
10. ジェラルド・オレガン (2016):離散数学ガイド: 歴史、理論、論理、応用へのわかりやすい入門 ISBN 9783319445618
11. Peter J. Freyd & Andre Scedrov (1990) カテゴリ、アレゴリー、79 ページ、北オランダISBN 0-444-70368-3
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13. グンター・シュミット＆マイケル・ウィンター（2018）リレーショナル・トポロジー、シュプリンガー数学講義ノート#2208、8ページ、ISBN 978-3-319-74450-6

• ハルモス、ポール R. (1974)、『単純集合理論』、スプリンガー、p. 40、ISBN 978-0-387-90092-6

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