フィールドノルム

Concept in field theory mathematics

数学において、（体の）ノルムは、体論で定義される特定のマッピングであり、より大きな体の要素を部分体にマッピングします。

正式な定義

K を体とし、L をK の有限 拡大（したがって代数拡大）とします。

このとき、体LはK上の有限次元 ベクトル空間になります。

Lの元αを乗算すると、

${\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L}$

${\displaystyle m_{\alpha }(x)=\alpha x}$、

このベクトル空間からそれ自身へのK線形変換です。

ノルムN L _{/ K} ( α )は、この線形変換の_行列式として定義されます。 ^[1]

L / Kがガロア拡大である場合、 α ∈ Lのノルムをαのすべてのガロア共役の積として計算できます。

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\!\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\!\!\sigma (\alpha ),}$

ここで、Gal( L / K )はL / Kのガロア群を表す。^[2]（積の項には重複がある場合があることに注意。）

一般体拡大L / KとLの非ゼロαについて、σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α )をK上のαの最小多項式の根（重複度とともにリストされ、 L の何らかの拡大体に存在する根）とすると、

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )={\biggl (}\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha ){\biggr )}^{[L:K(\alpha )]}}$。

L / Kが分離可能な場合、各根は積の中に 1 回だけ現れます (ただし、指数、次数[ L : K ( α ) ] は 1 より大きい場合があります)。

例

二次体拡張

ノルムの基本的な例の 1 つは、が平方自由整数である二次体拡張から得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a}$

そして、要素上の乗算写像は ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

要素はベクトルで表すことができる ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

-ベクトル空間として直和分解が存在するためである。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

の行列は​ ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

そしてノルムは です。これはこの行列の行列式だからです。 ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$

Q(√2)のノルム

数体 を考えてみましょう。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

上のガロア群は位数を持ち、を に送る元によって生成される。したがって、 のノルムは次のようになる。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}$

体ノルムはガロア群がなくても得ることができます。

の -基底を固定して、次のようにします。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$。

次に、その数を掛け算して送信します ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

1からと ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$に。 ${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

つまり、「」を掛ける行列式は、ベクトルを送る行列の行列式である。 ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$（最初の基底要素、すなわち1に対応）から、 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$（第２基底要素、すなわち に対応）から、 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}$

すなわち：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}$

この行列の行列式は -1 です。

p-th root フィールド拡張

別の簡単な例のクラスは、固定された奇数の素数に対して、の素因数分解に- 乗が含まれない形式の体拡張から得られます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

要素の乗算写像は ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

マトリックスを与える

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

行列式はノルムを与える

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

実数上の複素数

複素数から実数への体ノルムは

x + iy

に

x ² + y ²、

のガロア群は2つの元を持つので、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• アイデンティティ要素と
• 複雑な活用、

そして積をとると、( x + iy )( x − iy ) = x ² + y ²となります。

有限体

L = GF( q ⁿ )を有限体 K = GF( q )の有限拡大とする。

L / Kはガロア拡大なので、 αがLに含まれる場合、 αのノルムはαのすべてのガロア共役の積、すなわち^{[3]となる。}

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

この設定では、追加のプロパティがあります。^[4]

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

規範の性質

ノルム関数のいくつかの性質は任意の有限拡張に対して成り立つ。^{[5] [6]}

群準同型

ノルムN _{L / K}  : L * → K * は、Lの乗法群からKの乗法群への群準同型であり、

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

さらに、次の場合: ${\displaystyle a\in K}$

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L,}$そして

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

フィールド拡張による構成

さらに、このノルムはフィールドのタワーでも適切に動作します。

MがLの有限拡張である場合、 MからKへのノルムはMからLへのノルムとLからKへのノルムの合成である。すなわち、

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

規範の削減

任意の体拡大における元のノルムは、体拡大の次数が既知であれば、より簡単な計算に還元することができる。これは

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^[6]

例えば、体拡大 においてのノルムは ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

体の拡大の次数は であるためです。 ${\displaystyle L/K(\alpha )}$ ${\displaystyle 2}$

ユニットの検出

代数体の整数環の場合、元が単位となるのは の場合のみです。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$

例えば

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

どこ

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$。

したがって、整数環に含まれる任意の数体はそれを単位として持ちます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$

その他の特性

代数的整数のノルムは、特性多項式の定数項と等しい（符号を除けば）ため、やはり整数です。

代数的整数論では、イデアルのノルムも定義されます。これは、I が O K の非零イデアルである場合、数体 K の整数環 N ( I )がの_留数類の数、つまりこの有限環 の濃度となるように定義されます。したがって、このイデアルノルムは常に正の整数になります。 ${\displaystyle O_{K}/I}$

Iが主イデアル αO _Kのとき、N ( I )は代数的整数αのQに対するノルムの絶対値に等しくなります。

参照

• フィールドトレース
• 理想的な規範
• 標準形

注記

1. ロットマン 2002, p. 940
2. ロットマン 2002, p. 943
3. Lidl & Niederreiter 1997、p. 57
4. マレン＆パナリオ 2013、p. 21
5. ローマン 2006、151ページ
6. Oggier. 代数的数論入門(PDF) . p. 15. 2014年10月23日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2020年3月28日閲覧。

参考文献

• リドル、ルドルフ;ニーダーライター、ハラルド(1997) [1983]、「有限体」、数学とその応用百科事典、第20巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39231-4、Zbl  0866.11069
• マレン、ゲイリー・L.; パナリオ、ダニエル (2013)、『有限体ハンドブック』、CRC Press、ISBN 978-1-4398-7378-6
• ローマン、スティーブン（2006）、場の理論、Graduate Texts in Mathematics、第158巻（第2版）、Springer、第8章、ISBN 978-0-387-27677-9、Zbl  1172.12001
• ロットマン、ジョセフ・J.（2002）、Advanced Modern Algebra、Prentice Hall、ISBN 978-0-13-087868-7

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