基礎クラス

数学において、基本類（きほんそう）は、ホモロジー群の生成元に対応する、n次元の連結な向き付け可能なコンパクト多様体に関連付けられたホモロジー類 [ M ]である。基本類は、多様体の適切な三角分割におけるトップ次元単体の向き付けと考えることができる。 $H_{n}(M,\partial M;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z}$

意味

閉じた、方向付け可能な

M がn次元の連結な向き付け可能な閉多様体であるとき、トップホモロジー群は無限巡回:であり、向き付けは生成元、つまり同型の選択である。生成元は基本類と呼ばれる。 $H_{n}(M;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} \to H_{n}(M;\mathbf {Z} )$

Mが切断されている場合（ただし、依然として向き付け可能）、基本クラスは、接続された各コンポーネントの基本クラスの直和です（各コンポーネントの向きに対応します）。

ド・ラームコホモロジーとの関連で、これはM 上の積分を表す。つまり、滑らかな多様体Mに対して、 n形式ω は次のように基本類と対になる。

\langle \omega ,[M]\rangle =\int _{M}\omega \ ,

これはM上の ω の積分であり、 ω のコホモロジー類のみに依存します。

スティフェル・ホイットニー級

Mが向き付け可能でない場合、となり、したがって整数の内部に存在する基本クラスMを定義することはできません。しかし、すべての閉多様体は-向き付け可能であり、（M が連結である場合）です。したがって、すべての閉多様体は-向き付け可能であり（単に向き付け可能であるだけでなく、向きの選択に曖昧さはありません）、-基本クラスを持ちます。 $H_{n}(M;\mathbf {Z} )\ncong \mathbf {Z}$ $\mathbf {Z} _{2}$ $H_{n}(M;\mathbf {Z} _{2})=\mathbf {Z} _{2}$ $\mathbf {Z} _{2}$ $\mathbf {Z} _{2}$

この-基本クラスは、 Stiefel–Whitney クラスの定義に使用されます。 $\mathbf {Z} _{2}$

境界あり

M が境界を持つコンパクトな有向多様体である場合、トップ相対ホモロジー群は再び無限巡回であり、したがって基本クラスの概念は境界を持つ多様体の場合に拡張できます。 $H_{n}(M,\partial M)\cong \mathbf {Z}$

ポアンカレ双対性

ポアンカレ双対定理は、n次元有向閉多様体のホモロジー群とコホモロジー群を関連付ける。Rが可換環で、Mが基本類[M]を持つn次元R有向閉多様体である場合、すべてのkに対して、写像

H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R)

与えられた

\alpha \mapsto [M]\frown \alpha

同型である。^[1]

境界を持つ多様体の基本類の概念を用いることで、ポアンカレ双対性をその場合にも拡張することができる（レフシェッツ双対性を参照）。実際、基本類とのキャップ積はより強い双対性を与え、とを持つ -次元多様体であると仮定すると、同型が存在するという結果を与える。^[1] $H^{q}(M,A;R)\cong H_{n-q}(M,B;R)$ $A,B$ $(n-1)$ $\partial A=\partial B=A\cap B$ $\partial M=A\cup B$

ツイスト・ポアンカレ双対性も参照

アプリケーション

リー群の旗多様体のブルハット分解において、基本類は最上位次元のシューベルトセル、つまりコクセター群の最長要素に対応する。

参照

参考文献

^ ab ハッチャー、アレン(2002). 代数的位相幾何学（第1版）. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. pp. 241– 254. ISBN 9780521795401. MR 1867354。

出典

ハッチャー、アレン（2002年）『代数的位相幾何学』（第1版）ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521795401. MR 1867354。

外部リンク

マニフォールドアトラスの基礎クラス。
数学百科事典の基本クラスに関する記事。

[:0-1] ハッチャー、アレン(2002). 代数的位相幾何学（第1版）. ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局. pp. 241– 254. ISBN 9780521795401. MR 1867354。