セクション（繊維束）

Right inverse of a fiber bundle map

束の切断。切断により、基本空間を の部分空間と同一視することができます ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (B)}$ ${\displaystyle E}$

上のベクトル場。接ベクトル束の切断はベクトル場である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

断面 を持つ基底上のベクトル束。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s}$

位相幾何学の数学分野において、ファイバー束の切断面（または横断面）^[1]は、射影関数の連続右逆関数である。言い換えれば、が基底空間 上のファイバー束である場合、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

その繊維束の断面は連続写像であり、

${\displaystyle \sigma \colon B\to E}$

となる

${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$すべての に対して ${\displaystyle x\in B}$

セクションとは、グラフであることの意味を抽象的に特徴づけたものです。関数のグラフは、 と の直積に値を取る関数と同一視できます ${\displaystyle g\colon B\to Y}$ ${\displaystyle E=B\times Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \sigma \colon B\to E,\quad \sigma (x)=(x,g(x))\in E.}$

を第1因子への射影とします。グラフとは、となる任意の関数です。 ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \pi (x,y)=x}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$

ファイバー束の言語を用いると、この切断の概念は、が必ずしも直積ではない場合にも一般化できます。 がファイバー束である場合、切断は各ファイバーにおける点の選択です。この条件は、単に、ある点における切断が の上にある必要があることを意味します。(図を参照) ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ${\displaystyle \sigma (x)}$ ${\displaystyle \pi (\sigma (x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

例えば、がベクトル束であるとき、 の切断はベクトル空間の各点 上の要素です。特に、滑らかな多様体上のベクトル場は、の各点における接ベクトルの選択です。これはの接束の切断です。同様に、上の1-形式は余接束の切断です。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

切断、特に主束とベクトル束の切断は、微分幾何学においても非常に重要なツールである。この設定では、基底空間は滑らかな多様体であり、上の滑らかなファイバー束（すなわち、は滑らかな多様体であり、は滑らかな写像）であると仮定される。この場合、と表記される開集合 上の の滑らかな切断の空間を考える。幾何学的解析においては、中間的な正則性を持つ切断の空間（例えば、切断、またはホルダー条件やソボレフ空間の意味で正則性を持つ切断）を考えることも有用である。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U,E)}$ ${\displaystyle C^{k}}$

ローカルセクションとグローバルセクション

ファイバー束は一般にこのような大域的切断を持たないため（例えば、メビウス束から零切断を除去することで得られるファイバー上のファイバー束を考えてみましょう）、切断を局所的にのみ定義することも有用です。ファイバー束の局所切断は、 がの開集合であり、内のすべての に対してである連続写像です。が の局所自明化であり、がから への同相写像（はファイバー）である場合、 からへの連続写像と全単射に対応して上に局所切断が常に存在します。（局所）切断は上の層を形成し、これを の切断層と呼びます。 ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle s\colon U\to E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi (s(x))=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U\times F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$

上のファイバー束の連続切断の空間は と表記されることもありますが、 の大域切断の空間はまたは と表記されることが多いです。 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C(U,E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Gamma (B,E)}$

グローバルセクションへの拡張

切断はホモトピー理論と代数位相幾何学において研究され、その主な目標の一つは大域切断の存在または非存在を説明することである。障害は空間が過度に「ねじれている」ため大域切断の存在を否定する。より正確には、障害は空間の「ねじれ」のために局所切断を大域切断に拡張する可能性を「妨げる」。 障害は特定の特性類、すなわちコホモロジー類によって示される。 例えば、主束が大域切断を持つ必要十分条件は、それが自明である場合である。 一方、ベクトル束は常に大域切断、すなわち零切断を持つ。 しかし、オイラー類が零である場合にのみ、どこにも消滅しない切断を許容する。

一般化

局所切断の拡張における障害は、次のように一般化できます。位相空間を取り、その対象が開部分集合であり、射が包含である圏を形成します。このように、圏を用いて位相空間を一般化します。「局所切断」の概念を、アーベル群の層を用いて一般化します。アーベル群は、各対象にアーベル群（局所切断に類似）を割り当てます

ここで重要な違いがあります。直感的に言えば、局所切断は位相空間の開部分集合上の「ベクトル場」のようなものです。つまり、各点には固定されたベクトル空間の元が割り当てられます。しかし、層はベクトル空間（あるいはより一般的にはアーベル群）を「連続的に変化」させることができます。

このプロセス全体は、実際には各層に大域切断を割り当てる大域切断関数です。そして、層コホモロジーにより、アーベル群を「連続的に変化」させながら、同様の拡大問題を考えることができます。特性類理論は、拡大に対する障害の考え方を一般化します。

参照

• セクション（圏論）
• ファイブレーション
• ゲージ理論（数学）
• 主束
• 引き戻し束
• ベクトル束

注釈

1. Husemöller、Dale (1994)、ファイバーバンドル、Springer Verlag、p. 12、ISBN 0-387-94087-1

参考文献

• ノーマン・スティーンロッド著、『ファイバー束の位相学』、プリンストン大学出版局（1951年）。ISBN 0-691-00548-6。
• デイヴィッド・ブリーカー著『ゲージ理論と変分原理』、アディソン・ウェスレー出版、マサチューセッツ州レディング（1981年）。ISBN 0-201-10096-7。
• Husemöller、Dale (1994)、Fibre Bundles、Springer Verlag、ISBN 0-387-94087-1

外部リンク

• ファイバーバンドル、PlanetMath
• Weisstein, Eric W.「ファイバーバンドル」。MathWorld

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