係数

数学において、係数とは、多項式、級数、またはその他のタイプの式のある項に含まれる乗法的な因数です。係数は単位のない数値の場合もあり、その場合には数値因数と呼ばれます。^[1]また、測定単位を持つ定数の場合もあり、その場合には定数乗数と呼ばれます。^[1]一般に、係数は任意の式（ $a$ 、 $b$ 、 $c$ などの変数を含む）です。^[2]^[1]変数と定数の組み合わせが必ずしも積に含まれない場合は、パラメータと呼ばれることがあります。^[1] たとえば、多項式には係数2、-1、3があり、多項式内の変数のべき乗には係数パラメータ、、があります。 $2x^{2}-x+3$ $x$ $ax^{2}+bx+c$ $a$ $b$ $c$

あ定数係数（定数項または単に定数とも呼ばれる）は、式の中で変数の0 乗に暗黙的に関連付けられるか、または他の変数には関連付けられていない量です、 3 =c⋅x⁰c主係数と呼ばれます。たとえば、上記の例の式では、主係数はそれぞれ 2 とa。

微分方程式の文脈では、これらの方程式は、1つまたは複数の未知関数とその導関数の多項式で表すことができることがよくあります。このような場合、微分方程式の係数はこの多項式の係数であり、これらは定数でない関数である可能性があります。係数は、定数関数のときに定数係数と呼ばれます。混乱を避けるため、この文脈では、未知の関数またはその導関数に付属していない係数は、一般に定数係数ではなく定数項と呼ばれます。特に、定数係数を持つ線型微分方程式では、定数係数項は一般に定数関数とはみなされません。

用語と定義

数学において、係数とは、多項式、級数、または任意の式のいずれかの項における乗法的な因数です。例えば、変数とを持つ多項式では、最初の2つの項の係数はそれぞれ7と-3です。3番目の項 1.5 は定数係数です。最後の項の係数は1であり、明示的には表記されません。 $7x^{2}-3xy+1.5+y,$ $x$ $y$

多くのシナリオでは、係数は数値（前の例の各項の場合）ですが、問題のパラメータ、またはこれらのパラメータの任意の式である可能性があります。このような場合、変数を表す記号とパラメータを表す記号を明確に区別する必要があります。ルネ・デカルトに従って、変数は $x$ 、 $y$ 、...、パラメータは $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、... と表記されることがよくありますが、常にそうであるとは限りません。たとえば、上記の式で $yをパラメータと見なすと、$ $x$ の係数は $-3 y$ となり、定数係数（ $x$ に関して）は $1.5 + y$ となります。

と書く場合、一般的に $x が$ 唯一の変数であり、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ がパラメータであると想定されます。したがって、この場合、定数係数は $cです。$ $ax^{2}+bx+c,$

一変数 $x$ の任意の多項式は、何らかの非負整数（係数）に対してと表すことができます。これには、係数 0 を持つ項が存在する可能性も含まれます。例えば、ではの係数は0 であり、項は明示的には現れません。となる最大のに対して（もしあれば）、は多項式の主係数と呼ばれます。例えば、多項式の主係数は 4 です。これは、単項式順序に関する多変数多項式に一般化できます。「グレブナー基底 § 主項、係数、単項式」を参照してください。 $a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}$ $k$ $a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}$ $x^{3}-2x+1$ $x^{2}$ $0x^{2}$ $i$ $a_{i}\neq 0$ $a_{i}$ $4x^{5}+x^{3}+2x^{2}$

線形代数

線型代数学では、連立一次方程式はしばしば係数行列によって表されます。例えば、連立方程式の係数行列はです。係数行列は、ガウスの消去法やクラメールの定理などのアルゴリズムで連立方程式の解を求めるために使用されます。 ${\begin{cases}2x+3y=0\\5x-4y=0\end{cases}},$ ${\begin{pmatrix}2&3\\5&-4\end{pmatrix}}.$

行列の行の先頭要素（場合によっては先頭係数 [ 要出典 ] ）とは、その行で最初に現れる非ゼロ要素のことです。例えば、行列の1行^目の先頭係数は1、2行目の先頭係数は2、3行目の先頭係数は4ですが、最終行には先頭係数はありません。 ${\begin{pmatrix}1&2&0&6\\0&2&9&4\\0&0&0&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}},$

係数は初等代数学ではしばしば定数として扱われますが、文脈が広がるにつれて変数として扱われることもあります。例えば、基底を持つベクトル空間におけるベクトルの座標は、式における基底ベクトルの係数です。 $(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$ $v$ $\lbrace e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n}\rbrace$ $v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+\dotsb +x_{n}e_{n}.$

参照

参考文献

^ abcd "ISO 80000-1:2009".国際標準化機構. 2019年9月15日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. 「係数」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月15日閲覧。

さらに読む

Sabah Al-hadadとCH Scott (1979) 『College Algebra with Applications』、42ページ、Winthrop Publishers、ケンブリッジ、マサチューセッツ州ISBN 0-87626-140-3。
ゴードン・フラー、ウォルター・L・ウィルソン、ヘンリー・C・ミラー（1982年）『大学代数学』第5版、24ページ、ブルックス/コール出版、カリフォルニア州モントレーISBN 0-534-01138-1。

[80000-1:2009-1] "ISO 80000-1:2009".国際標準化機構. 2019年9月15日閲覧。

[2] Weisstein, Eric W. 「係数」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月15日閲覧。