フェルマー点

ユークリッド幾何学において、三角形のフェルマー点（トリチェリ点、フェルマー・トリチェリ点とも呼ばれる）は、三角形の3つの頂点それぞれからその点までの距離の和が最小となる点である^{[1] 。これは、3つの頂点の幾何}学的中線と同義である。この問題はフェルマーがエヴァンジェリスタ・トリチェリに宛てた私信の中で初めて提起し、トリチェリがそれを解いたことから、フェルマー点と名付けられた。

フェルマー点は、3 点の幾何中央値問題とシュタイナー木問題の解決策を提供します。

工事

最大角が120°以下の三角形のフェルマー点は、単純にその第一等角中心またはX(13)であり、^[2]次のように構築されます。

与えられた三角形の任意に選んだ 2 辺のそれぞれに正三角形を作成します。
新しい頂点から元の三角形の反対側の頂点まで線を引きます。
2本の直線はフェルマー点で交差します。

別の方法は次のとおりです。

任意に選んだ 2 辺のそれぞれに、問題の辺を底辺とし、底辺の角度が 30 度で、各二等辺三角形の 3 番目の頂点が元の三角形の外側に位置する二等辺三角形を作成します。
それぞれの二等辺三角形に対して、その二等辺三角形の新しい頂点を中心とし、半径がその二等辺三角形の新しい 2 辺のそれぞれに等しい円を描きます。
元の三角形の内側にある 2 つの円の交点がフェルマー点です。

三角形の角度が 120° を超える場合、フェルマー点は鈍角の頂点に位置します。

以下の「ケース1」は三角形の角度が120°を超えることを意味します。「ケース2」は三角形のどの角度も120°を超えないことを意味します。

X(13)の位置

$図2は、任意の三角形△$ $ABC$ の辺に接する正三角形 $△ ARB 、△ AQC 、△ CPB$ を示しています。図2の3直線 $RC、BQ、APは$ すべて点 $F$ で交差し、互いに60°の角度で交わることを、同心円上の点の性質を用いて証明します。

三角形 $△ RAC 、 △ BAQ は$ $、2番目の三角形が1番目の三角形をA$ を中心に60°回転させたものであるため、合同である。したがって、 $∠$ $ARF$ $= ∠$ $ABF$ 、 $∠$ $AQF$ $= ∠$ $ACF$ となる。円周角定理を線分 $AF$ に適用すると、点 $ARBF は$ 同心円状（円周上に位置する）となる。同様に、点 $AFCQ$ も同心円状である。

$∠ ARB = 60°$ なので、円周角定理を用いると $∠ AFB = 120°$ となります。同様に、 $∠$ $AFC$ $= 120°$ となります。

したがって、 $∠ BFC = 120°$ です。したがって、 $∠ BFC + ∠ BPC = 180° です$ 。円周角定理を用いると、点 $BPCF は$ 同心円状であることがわかります。円周角定理を線分 $BP$ に適用すると、 $∠ BFP = ∠ BCP = 60° と$ $なり$ ます。∠ BFP + ∠ BFA = 180° であるため $、点 F は$ 線分 $AP$ 上にあります $。$ したがって、直線 $RC、BQ、APは$ 共線（一点で交差）です。QED

$この証明はケース2にのみ適用されます。なぜなら、 ∠ BAC > 120°$ の場合、点 $Aは$ $△ BPC$ の外接円の内側に位置し、 $点 A$ と点 $F$ の相対的な位置が入れ替わるからです。しかし、ケース1にも適用できるよう簡単に修正できます。この場合、∠ $AFB = ∠ AFC = 60°となり、$ $∠ BFC = ∠ AFB + ∠ AFC = 120°$ となり、 $BPCF は$ 共円であるため、 $∠ BFP = ∠ BCP = 60° = ∠ BFA$ となります。したがって、 $A は$ $FP$ 上にあります。

図2の円の中心を結ぶ線は、線分 $AP 、 BQ 、 CR$ に垂直です。例えば、 $△ ARBを$ $含む円の中心と△ AQC$ を含む円の中心を結ぶ線は、線分 $AP$ に垂直です。したがって、円の中心を結ぶ線も60°の角度で交差します。したがって、円の中心は正三角形を形成します。これはナポレオンの定理として知られています。

フェルマー点の位置

伝統的な幾何学

任意のユークリッド三角形 $△ ABC$ と任意の点 $P$ が与えられたとき、この節の目的は、すべてのに対してとなる点 $P$ $0$ を特定することです。そのような点が存在する場合、それはフェルマー点となります。以下では、 $Δ は三角形内の点を表し、その境界$ $Ω$ を含むものとみなします。 $d(P)=|PA|+|PB|+|PC|.$ $d(P_{0})<d(P)$ $P\neq P_{0}.$

使用される重要な結果はドッグレッグルールです。これは、三角形と多角形が 1 辺を共有し、三角形の残りの部分が多角形の内側にある場合、三角形の周囲は多角形よりも短くなることを主張します。

AB

が共通辺である場合、

AC

を延長して多角形を点

Xで切断します。

三角不等式より、多角形の周囲長は次のようになります。

{\text{perimeter}}>|AB|+|AX|+|XB|=|AB|+|AC|+|CX|+|XB|\geq |AB|+|AC|+|BC|.

$P を$ $Δ$ の外側の任意の点とする。各頂点をその遠隔領域、すなわち（延長された）反対側の辺の向こう側の半平面に関連付ける。これらの3つの領域は $Δ$ 自体を除く平面全体を覆い、 $P は$ 明らかにそのうちの1つまたは2つに位置する。P が2つの領域（例えば B 領域と C 領域の交点）に位置する場合、 $ドッグ$ レッグ $ルール$ により $、$ P は次のように設定される。一方、P が1つの領域（例えば A 領域）に位置する場合、 $P$ ' は $AP$ と $BC$ $の$ 交点 $で$ ある。したがって、 $Δ の$ 外側にあるすべての点 $Pに対して、$ $Ω$ 内に点 $P'$ が存在し、 $P'=A$ $d(P')=d(A)<d(P)$ $d(P')<d(P)$ $d(P')<d(P).$

ケース1.三角形の角度は120°以上です。

$一般性を失うことなく、 A$ における角度は≥ 120° であると仮定します。正三角形 $△ AFB$ $を作成し、 Δ$ 内の任意の点 $P$ ( $A$ 自体を除く)に対して、三角形 $△$ $AQP が$ 正三角形で図示の向きになるように $Q を作成します。すると、三角形$ $△$ $ABP$ $は、三角形△$ $AFQ$ $をA$ について60° 回転させたものなので、これら 2 つの三角形は合同であり、次の式が成り立ち、パス $CPQF$ の長さに等しくなります。 $Pは$ $△$ $ABC$ 内にあるように制約されるため、ドッグレッグ規則により、このパスの長さはを超えます。したがって、すべてに対してとなります。ここで、 $P が$ $Δ の$ 外側の範囲になるようにします。上から、となる点が存在し、したがって、 $Δ$ の外側のすべての $P$ に対してとなります。したがって、すべてに対してとなり、 $Aが$ $Δ$ のフェルマー点であることを意味します。 $d(P)=|CP|+|PQ|+|QF|$ $|AC|+|AF|=d(A).$ $d(A)<d(P)$ $P\in \Delta ,P\neq A.$ $P'\in \Omega$ $d(P')<d(P)$ $d(A)\leq d(P')$ $d(A)<d(P)$ $d(A)<d(P)$ $P\neq A$

ケース2. 三角形には120°以上の角度がありません。

正三角形 $△ BCD$ を描き、 $Δ$ 内の任意の点を $P$ とし、正三角形 $△$ $CPQ$ を描きます。すると $、 △$ $CQD$ $は△$ $CPB$ $をC$ を中心に60° 回転させたものなので、

d(P)=|PA|+|PB|+|PC|=|AP|+|PQ|+|QD|

これは、求められる距離の合計が、区分線形に沿った A から D への経路 $APQDの長さに等しいことを示しています。ここで、$ $P を$ $△ ABC$ の等角中心として選択すると、経路 $APQD は$ 直線上にあり、したがって最小であることを示します。これを行うには、正三角形 $△ ABF$ を作成します。 $P 0 を$ $AD$ と $CF が$ 交差する点とします。作成により、この点は $△ ABC$ の最初の等角中心 (上記参照) になります。 $P$ の場合と同じ演習を $P 0$ で実行し、点 $Q$ $0$ を見つけます。角度制限により、 $P$ $0 は$ $△$ $ABC の$ 内側にあります。 $P$ $0 は$ 等角中心であるため、 $∠$ $AP$ $0$ $C$ $= 120°$ です。作成により、 $∠$ $CP$ $0$ $Q$ $0$ $= 60°$ となり、したがって $A$ 、 $P$ $0$ 、および $Q$ $0は$ $Aから$ $D$ への線上に並びます。（また、 $△$ $BCF$ $は△$ $BDA$ $をB を$ 中心に60° 回転させたものなので、 $Q$ $0$ $は$ $AD$ 上のどこかにあるはずです）。∠ CDB = 60° なので、 $Q$ $0$ $は$ $P$ $0$ $と$ D $の$ 間にあります。経路 $AP$ $0$ $Q$ $0$ $D は$ 直線上にあるので、さらに、の場合、 $P$ と $Q$ のどちらも $AD$ 上にはないため、次の式が成り立ちます。ここで、 $P が$ $Δ$ の外側の範囲にあることを許可します。上記の式から、となる点が存在し、 $Δ$ の外側にあるすべての $P$ についてとなります。つまり、 $P$ $0$ $はΔ$ のフェルマー点です。言い換えれば、フェルマー点は最初の等角中心と一致します。 $d(P_{0})=|AD|.$ $P\neq P_{0}$ $d(P_{0})=|AD|<d(P).$ $P'\in \Omega$ $d(P')<d(P)$ $d(P_{0})\leq d(P')$ $d(P_{0})<d(P)$

ベクトル解析

$平面上の任意の5点をO、A、B、C、X$ とする。ベクトルをそれぞれ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ $、$ $x$ で表し、 $Oから$ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ に沿った単位ベクトルを $i$ $、$ $j$ $、$ $k$ とする。 ${\overrightarrow {OA}},\ {\overrightarrow {OB}},\ {\overrightarrow {OC}},\ {\overrightarrow {OX}}$

{\begin{aligned}|\mathbf {a} |&=\mathbf {a\cdot i} =(\mathbf {a} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,i} +\mathbf {x\cdot i} \leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot i} ,\\|\mathbf {b} |&=\mathbf {b\cdot j} =(\mathbf {b} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,j} +\mathbf {x\cdot j} \leq |\mathbf {b} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot j} ,\\|\mathbf {c} |&=\mathbf {c\cdot k} =(\mathbf {c} -\mathbf {x} )\mathbf {\,\cdot \,k} +\mathbf {x\cdot k} \leq |\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} .\end{aligned}}

$a 、 b 、 c$ を加えると

|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |+\mathbf {x} \cdot (\mathbf {i} +\mathbf {j} +\mathbf {k} ).

$a 、 b 、 cが$ 120°の角度で $O$ で交わる場合、 $i + j + k = 0$ なので、

|\mathbf {a} |+|\mathbf {b} |+|\mathbf {c} |\leq |\mathbf {a} -\mathbf {x} |+|\mathbf {b} -\mathbf {x} |+|\mathbf {c} -\mathbf {x} |

$すべてのx$ に対して。言い換えれば、

|OA|+|OB|+|OC|\leq |XA|+|XB|+|XC|

したがって $Oは$ $△ ABC$ のフェルマー点である。

この議論は、三角形の角が $∠ C > 120°の場合に成り立ちません。なぜなら、$ $a$ $、$ $b$ $、$ $c$ が 120° の角度で交わる点 $O$ が存在しないからです。しかし、 $k$ $= - ($ $i$ $+$ $j$ $)を再定義し、$ $c$ $=$ $0$ となるように $O を$ $C$ に置くことで簡単に修正できます。単位ベクトル $i$ $、$ $j$ 間の角が $∠$ $C$ であり、120° を超えるため、 $|$ $k$ $| \leq 1 と$ なることに注意してください。

|\mathbf {0} |\leq |\mathbf {0} -\mathbf {x} |+\mathbf {x\cdot k} ,

3番目の不等式は依然として成立しますが、他の2つの不等式は変化しません。証明は上記と同様に（3つの不等式を加算し、 $i + j + k = 0$ $を用いて）続けられ、 O$ （この場合は $C ）は$ $△ ABC$ のフェルマー点であるという同じ結論に達します。

ラグランジュ乗数

三角形内の点、つまり三角形の頂点までの距離の合計が最小となる点を見つける別の方法は、数学的最適化手法の 1 つ、具体的にはラグランジュ乗数法と余弦定理を使用することです。

三角形内の点から頂点まで直線を引き、それぞれ $X 、 Y 、 Z$ とする。これらの直線の長さをそれぞれ $x 、 y 、 z$ とする。Xと $Y$ $の$ 間の角度を $α$ 、 $Y$ と $Z$ の間の角度を $β$ とする。すると、 $X$ と $Z$ の間の角度は $π - α - β$ となる。ラグランジュ乗数法を用いて、ラグランジュ関数 $L$ の最小値を求める。これは次のように表される。

L=x+y+z+\lambda _{1}(x^{2}+y^{2}-2xy\cos(\alpha )-a^{2})+\lambda _{2}(y^{2}+z^{2}-2yz\cos(\beta )-b^{2})+\lambda _{3}(z^{2}+x^{2}-2zx\cos(\alpha +\beta )-c^{2})

ここで $、a、b、c$ は三角形の辺の長さです。

5つの偏微分をそれぞれゼロとし、 $λ$ $1$ $、$ $λ$ $2$ $、$ $λ$ $3$ を消去すると、最終的に $sin$ $α$ $= sin$ $β$ 、 $sin($ $α$ $+$ $β$ $) = - sin$ $β$ となり、 $α$ $=$ $β$ $= 120° と$ なります。しかし、この消去法は長くて面倒な作業であり、最終的な結果はケース2のみをカバーします。 ${\tfrac {\partial L}{\partial x}},{\tfrac {\partial L}{\partial y}},{\tfrac {\partial L}{\partial z}},{\tfrac {\partial L}{\partial \alpha }},{\tfrac {\partial L}{\partial \beta }}$

プロパティ

三角形の最大角が120°以下のとき、X (13)はフェルマー点である。
X (13)の三角形の辺によって囲まれる角度はすべて120°（ケース2）、または60°、60°、120°（ケース1）に等しい。
３つの作図された正三角形の外接円はX（13）で一致する。
第一等角中心Xの三線座標（13）: ^[3]

{\begin{aligned}&\csc \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}

第二等角中心Xの三線座標（14）: ^[4]

{\begin{aligned}&\csc \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right)\\&=\sec \left(A+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(B+{\tfrac {\pi }{6}}\right):\sec \left(C+{\tfrac {\pi }{6}}\right).\end{aligned}}

フェルマー点の三線座標:

1-u+uvw\sec \left(A-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-v+uvw\sec \left(B-{\tfrac {\pi }{6}}\right):1-w+uvw\sec \left(C-{\tfrac {\pi }{6}}\right)

ここで

、u、v、w

はそれぞれブール変数

（ A <120°）、（ B <120°）、（ C <120°）

を表します。

X (13)の等角共役は最初の等力点X (15)である: [ ^5]

\sin \left(A+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B+{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C+{\tfrac {\pi }{3}}\right).

X（14）の等角共役は2番目の等力点X（16）である：[ ^6]

\sin \left(A-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(B-{\tfrac {\pi }{3}}\right):\sin \left(C-{\tfrac {\pi }{3}}\right).

次の三角形は正三角形です。
- Xの反脚三角形（13）
- Xの反脚三角形（14）
- ペダル三角形X（15）
- ペダル三角形X（16）
- サーキュムセウスのX三角形（15）
- サーキュムセウスのX三角形（16）
直線X (13) X (15)と直線X (14) X (16)はオイラー直線に平行である。3本の直線はオイラー無限遠点X (30)で交わる。
点X (13)、X (14)、外心、および9点中心はレスター円上にあります。
直線X（13）X （14）は、 X（2）とX （4）の中点でオイラー直線と交わる。^[7]
フェルマー点は、その中心に穴があけられた開いた直交重心円上に存在し、その中の任意の点になり得る。^[8]

エイリアス

等角中心 X (13) とX (14) は、それぞれ第一フェルマー点と第二フェルマー点とも呼ばれます。正フェルマー点と負フェルマー点とも呼ばれます。しかし、これらの異なる名称は混乱を招く可能性があるため、使用を避けるのが賢明でしょう。問題は、多くの文献でフェルマー点と第一フェルマー点の区別が曖昧になっていることです。実際には、上記のケース2においてのみ、両者は同じです。

歴史

この問題は、フェルマーがエヴァンジェリスタ・トリチェリへの挑戦状として提起した。トリチェリはフェルマーと同様の方法でこの問題を解いたが、3つの正三角形の外接円の交点を用いた。彼の弟子であるヴィヴィアーニは1659年にその解法を発表した。^[9]

参照

幾何学的中線またはフェルマー・ウェーバー点。3 つ以上の指定された点までの距離の合計が最小になる点。
レスターの定理
三角形の中心
ナポレオンポイント
ウェーバー問題

参考文献

^ 結び目を切る - フェルマー点と一般化
^ キンバリング、クラーク(1994). 「三角形の平面における中心点と中心線」.数学マガジン. 67 (3): 163– 187. doi :10.1080/0025570X.1994.11996210. JSTOR 2690608. MR 1573021.X _13、174ページを参照。
^ 三角形の中心百科事典のエントリX(13) 2012年4月19日アーカイブ、Wayback Machine
^ 三角形の中心百科事典のエントリX(14) 2012年4月19日アーカイブ、Wayback Machine
^ 三角形の中心百科事典のエントリX(15) 2012年4月19日アーカイブ、Wayback Machine
^ 三角形の中心百科事典のエントリX(16) 2012年4月19日アーカイブ、Wayback Machine
^ キンバリング、クラーク、「三角形の中心の百科事典」。
^ Christopher J. BradleyとGeoff C. Smith、「三角形の中心の位置」、Forum Geometricorum 6 (2006)、57--70。http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html 2016年3月4日アーカイブ、Wayback Machineより
^ Weisstein, Eric W.「フェルマー点」. MathWorld .

外部リンク

「フェルマー・トリチェリ問題」数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
Fermat Point、Chris Boucher、 Wolfram Demonstrations Project 著。
Dynamic Geometry Sketches の Fermat-Torricelli 一般化インタラクティブスケッチでは、Fermat-Torricelli ポイントが一般化されます。
フェルマー点の実例

[1] 結び目を切る - フェルマー点と一般化

[2] キンバリング、クラーク(1994). 「三角形の平面における中心点と中心線」.数学マガジン. 67 (3): 163– 187. doi :10.1080/0025570X.1994.11996210. JSTOR 2690608. MR 1573021.X _13、174ページを参照。

[3] 三角形の中心百科事典のエントリX(13) 2012年4月19日アーカイブ、Wayback Machine

[4] 三角形の中心百科事典のエントリX(14) 2012年4月19日アーカイブ、Wayback Machine

[5] 三角形の中心百科事典のエントリX(15) 2012年4月19日アーカイブ、Wayback Machine

[6] 三角形の中心百科事典のエントリX(16) 2012年4月19日アーカイブ、Wayback Machine

[ETC-7] キンバリング、クラーク、「三角形の中心の百科事典」。

[Bradley-8] Christopher J. BradleyとGeoff C. Smith、「三角形の中心の位置」、Forum Geometricorum 6 (2006)、57--70。http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html 2016年3月4日アーカイブ、Wayback Machineより

[9] Weisstein, Eric W.「フェルマー点」. MathWorld .

v t e ピエール・ド・フェルマー
仕事	フェルマーの最終定理フェルマー数フェルマーの原理フェルマーの小定理フェルマーの多角形定理フェルマー擬素数フェルマー点フェルマーの定理（停留点） 2平方数の和に関するフェルマーの定理フェルマーの螺旋フェルマーの直角三角形定理
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