Map from algebra to geometric transforms
数学 の 表現論 の分野では 、 体 F 上の ベクトル空間 V 上の 群 G の 射影表現は、 G から 射影線型群 への 群準同型 であり 、GL( V ) は F 上の V の 可逆 線型変換の 一般線型群 、 F ∗ は恒等変換の非ゼロのスカラー倍からなる正規部分群 である（ スカラー変換を 参照 ）。 [1] P G L ( V ) = G L ( V ) / F ∗ , {\displaystyle \mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},}
線型表現が線型変換を介してベクトル空間上のグループ G の可能な作用を調べるのと同様に、射影表現は線型変換を介してこれらのベクトル空間内の直線 (つまり V / F * ) 上の作用を調べます。
より具体的には、 の射影表現は、 定数までの準同型性を満たす 演算子の集合として表すことができます。 G {\displaystyle G} ρ ( g ) ∈ G L ( V ) , g ∈ G {\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G}
ρ ( g ) ρ ( h ) = c ( g , h ) ρ ( g h ) , {\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh),} 定数 に対して が成り立ちます 。任意の に対して の選択 がスカラー値まで同じであれば、 そのような 演算子の2つの選択は 同じ射影表現を定義します。同様に、 の射影表現は、 となる 演算子の集合です。この表記法では、 は非ゼロのスカラー値との乗算によって関連付けられた線型演算子の 集合 である ことに注意してください 。 c ( g , h ) ∈ F {\displaystyle c(g,h)\in F} ρ 1 , ρ 2 {\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}} g ∈ G {\displaystyle g\in G} ρ 1 ( g ) , ρ 2 ( g ) {\displaystyle \rho _{1}(g),\rho _{2}(g)} G {\displaystyle G} ρ ~ ( g ) ⊂ G L ( V ) , g ∈ G {\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)\subset \mathrm {GL} (V),g\in G} ρ ~ ( g h ) = ρ ~ ( g ) ρ ~ ( h ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}(gh)={\tilde {\rho }}(g){\tilde {\rho }}(h)} ρ ~ ( g ) {\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)}
各演算子族において、準同型性が 定数までではなく だけを満たすような特定の代表値を選択できる場合、 は「逆射影化」できる、あるいは は「通常の表現に持ち上げられる」と言えます 。 より 具体的には、 となる 各 に対して が 存在する場合、 は逆射影化できる と言えます 。この可能性については、以下でさらに議論します。 ρ ( g ) ∈ ρ ~ ( g ) {\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)} ρ ~ {\displaystyle {\tilde {\rho }}} ρ ~ {\displaystyle {\tilde {\rho }}} ρ ~ {\displaystyle {\tilde {\rho }}} ρ ( g ) ∈ ρ ~ ( g ) {\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)} g ∈ G {\displaystyle g\in G} ρ ( g ) ρ ( h ) = ρ ( g h ) {\displaystyle \rho (g)\rho (h)=\rho (gh)}
線形表現と射影表現 射影表現が生じる一つの方法は、 G の V 上の線型 群表現 をとり、商写像を適用すること
である。
GL ( V , F ) → PGL ( V , F ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V,F)\rightarrow \operatorname {PGL} (V,F)} これはスカラー変換 （すべての 対角 要素が等しい対角行列）の部分群 F ∗ による商です 。代数学にとって興味深いのは、逆方向のプロセスです。 射影表現 が 与えられたとき、それを通常の 線型表現 に「持ち上げる」ことを試みます。一般的な射影表現 ρ : G → PGL( V ) は 線型表現 G → GL( V ) に持ち上げることはできず、 この持ち上げの 障害は、以下で説明する 群コホモロジー によって理解できます。
しかしながら、 G の 射影表現を別の群 H の線型表現に持ち上げる ことが可能であり、これは G の 中心拡大 となる 。この群は以下のように定義される の部分群である 。 ρ {\displaystyle \rho } H {\displaystyle H} G × G L ( V ) {\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}
H = { ( g , A ) ∈ G × G L ( V ) ∣ π ( A ) = ρ ( g ) } {\displaystyle H=\{(g,A)\in G\times \mathrm {GL} (V)\mid \pi (A)=\rho (g)\}} 、 ここで、 は の へ の商写像です 。 は準同型なので、 が確かに の部分群である ことは簡単に確認できます 。元の射影表現が 忠実であれば、は の の逆像と同型です 。 π {\displaystyle \pi } G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {GL} (V)} P G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {PGL} (V)} ρ {\displaystyle \rho } H {\displaystyle H} G × G L ( V ) {\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)} ρ {\displaystyle \rho } H {\displaystyle H} G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {GL} (V)} ρ ( G ) ⊆ P G L ( V ) {\displaystyle \rho (G)\subseteq \mathrm {PGL} (V)}
と設定することで 準同型を定義できます 。 の核は 次のようになります。 ϕ : H → G {\displaystyle \phi :H\rightarrow G} ϕ ( ( g , A ) ) = g {\displaystyle \phi ((g,A))=g} ϕ {\displaystyle \phi }
k e r ( ϕ ) = { ( e , c I ) ∣ c ∈ F ∗ } {\displaystyle \mathrm {ker} (\phi )=\{(e,cI)\mid c\in F^{*}\}} 、 これは の中心に含まれます 。 が射影的であることも明らかなので 、 は の中心拡大です。 と設定することにより 、 の 通常の表現を定義することもできます 。 の 通常の 表現は、 の 射影 表現 を 持ち上げたものであり、 次の意味で次のようになります。 H {\displaystyle H} ϕ {\displaystyle \phi } H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} σ {\displaystyle \sigma } H {\displaystyle H} σ ( ( g , A ) ) = A {\displaystyle \sigma ((g,A))=A} σ {\displaystyle \sigma } H {\displaystyle H} ρ {\displaystyle \rho } G {\displaystyle G}
π ( σ ( ( g , A ) ) ) = ρ ( g ) = ρ ( ϕ ( ( g , A ) ) ) {\displaystyle \pi (\sigma ((g,A)))=\rho (g)=\rho (\phi ((g,A)))} 。 G が完全群 である 場合、 使用できる G の 単一の 普遍完全中心拡張が存在します。
群コホモロジー 持ち上げ問題の解析には 群コホモロジーが関係する。実際、 G の各 g に対して、 PGL( V )から GL( V ) への 持ち上げにおける 持ち上げ元 L ( g ) を固定すると 、持ち上げは次式を満たす。
L ( g h ) = c ( g , h ) L ( g ) L ( h ) {\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)} F ∗ の 何らかのスカラー c ( g , h ) に対して、2-コサイクルまたは シュアー乗数 c はコサイクル方程式を満たす
。
c ( h , k ) c ( g , h k ) = c ( g , h ) c ( g h , k ) {\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)} G の 全ての g 、 h 、 k に対して。この c は 揚力 Lの選択に依存する。揚力 L′ ( g ) = f ( g ) L ( g ) の選択が異なると、 異なるコサイクルが生じる。
c ′ ( g , h ) = f ( g h ) f ( g ) − 1 f ( h ) − 1 c ( g , h ) {\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)} c と共相である 。したがって、 L は H 2 ( G , F ∗ ) の唯一の類を定義する。この類は自明ではないかもしれない。例えば、 対称群 と 交代群 の場合 、シュアーはシュアー乗数の非自明な類がちょうど1つ存在することを証明し、対応するすべての既約表現を完全に決定した。 [2]
一般に、非自明な類は G の 拡大問題 を引き起こす。G が正しく拡大されれば 、拡大群の線型表現が得られ、これを G に押し戻すと元の射影表現が導かれる 。その解は常に 中心拡大である。 シュアーの補題 から、 G の中心拡大の 既約表現と G の既約射影表現は 本質的に同じ対象である ことが分かる。
最初の例: 有限アーベル群
2つの要素を持つグループ まず、で表される2つの元を持つ 群を考えます 。ここで は自明元であり、群は恒等写像 によって定義されます 。すべての射影表現において は 恒等写像に写像されるため、表現は の像によって完全に決定されます。この群には、 どちらも1次元で ある2つの（既約な） 線型表現があります。 G = Z / 2 {\displaystyle G=\mathbb {Z} /2} e , σ {\displaystyle e,\sigma } e {\displaystyle e} σ 2 = e {\displaystyle \sigma ^{2}=e} e {\displaystyle e} σ {\displaystyle \sigma }
単純な表現: σ ↦ 1 {\displaystyle \sigma \mapsto 1} 非自明な表現: σ ↦ − 1 {\displaystyle \sigma \mapsto -1} これらは線型表現としては異なる、つまり点への作用が異なるものの、射影表現としては同じです。1次元空間には1本の直線があり、どちらもその直線を自身に投影します。より一般的には、像をどのような形で選んでも 同じ1次元射影表現が得られます。つまり、1次元射影表現は唯一つ存在し、それが自明な表現です（これは任意の群に対して成り立ちます）。 σ ↦ c {\displaystyle \sigma \mapsto c}
2次元平面上で、回転 を 送信できます 。 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} σ {\displaystyle \sigma } 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }}
ρ : σ ↦ ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle \rho :\sigma \mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
2つの 回転、すなわち 回転は、平面上の直線をそれ自身に戻すため、射影表現を定義します。より正式には、 符号を除いて同じです。 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} ρ ( σ 2 ) , ρ ( σ ) 2 {\displaystyle \rho (\sigma ^{2}),\rho (\sigma )^{2}}
ρ ( σ ) 2 = − I d = − ρ ( e ) = − ρ ( σ 2 ) . {\displaystyle \rho (\sigma )^{2}=-Id=-\rho (e)=-\rho (\sigma ^{2}).}
1次元の場合とは異なり、この射影表現は標準的な線型表現からは生じません。しかし、 実数ではなく複素数を扱う場合、この射影表現は次のようになります。 C {\displaystyle \mathbb {C} }
ρ ′ : σ ↦ i ⋅ ( 0 1 − 1 0 ) , {\displaystyle \rho ':\sigma \mapsto i\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},} この場合は なので線形表現となります 。 ρ ′ ( σ ) 2 = ρ ′ ( σ 2 ) = I d {\displaystyle \rho '(\sigma )^{2}=\rho '(\sigma ^{2})=Id}
一般巡回群 ここで 、 を と乗法的に書き 、 を 射影表現の代表例として選びます。 G = Z / n {\displaystyle G=\mathbb {Z} /n} G = { e , σ , σ 2 , . . . , σ n − 1 } {\displaystyle G=\{e,\sigma ,\sigma ^{2},...,\sigma ^{n-1}\}} ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho :G\to GL(V)}
自明な元 ： 、 、 は可逆なので、 はスカラー でなければなりません。したがって、 表現を変えずに の選択を に変更できます。 ρ ( e ) ρ ( e ) = c ( e , e ) ρ ( e 2 ) = c ( e , e ) ρ ( e ) {\displaystyle \rho (e)\rho (e)=c(e,e)\rho (e^{2})=c(e,e)\rho (e)} ρ ( e ) {\displaystyle \rho (e)} ρ ( e ) = c ( e , e ) ⋅ I d {\displaystyle \rho (e)=c(e,e)\cdot Id} ρ ( e ) = I d {\displaystyle \rho (e)=Id} 非自明な要素 : はスカラーまで同じなので、 について となるように同様に代表値を選択でき ます 。 ρ ( σ ) k , ρ ( σ k ) {\displaystyle \rho (\sigma )^{k},\rho (\sigma ^{k})} ρ ( σ k ) = ρ ( σ ) k {\displaystyle \rho (\sigma ^{k})=\rho (\sigma )^{k}} k = 0 , . . . , n − 1 {\displaystyle k=0,...,n-1} これらの削減の後、我々はと という スカラーの 選択肢を残す。 ρ ( σ ) {\displaystyle \rho (\sigma )} c {\displaystyle c}
ρ ( σ ) n = c ⋅ ρ ( σ n ) = c ⋅ ρ ( e ) = c ⋅ I d . {\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=c\cdot \rho (\sigma ^{n})=c\cdot \rho (e)=c\cdot Id.}
一方、 あるスカラーの根の任意の選択は 、次のように設定することで射影表現を定義することができる。 A n = c ⋅ I d {\displaystyle A^{n}=c\cdot Id} c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} ρ ( σ k ) = A k , k = 0 , . . . , n − 1. {\displaystyle \rho (\sigma ^{k})=A^{k},\;k=0,...,n-1.}
複素数体（または一般に代数閉体）上で、 を に変更する と標準的な線型表現が得られる。言い換えれば、すべての射影表現は通常の線型表現から生じる。 ρ ( σ ) {\displaystyle \rho (\sigma )} 1 c n ρ ( σ ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{n}]{c}}}\rho (\sigma )}
巡回群の積 2つの巡回群の積では 、代表値の選択を変更して次の式を満たすことで同様の処理を実行できます。 G = { e , σ , . . . σ n − 1 } × { e , τ , . . . , τ m − 1 } {\displaystyle G=\{e,\sigma ,...\sigma ^{n-1}\}\times \{e,\tau ,...,\tau ^{m-1}\}}
ρ ( σ k ⋅ τ ℓ ) := ρ ( σ ) k ρ ( τ ) ℓ , 0 ≤ k < n , 0 ≤ ℓ < m . {\displaystyle \rho (\sigma ^{k}\cdot \tau ^{\ell }):=\rho (\sigma )^{k}\rho (\tau )^{\ell },\;\;0\leq k<n,\;0\leq \ell <m.}
これは次の 3 つの条件に要約されます。
ρ ( σ ) n = c σ ⋅ I d {\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=c_{\sigma }\cdot Id} 、 、 そして ρ ( τ ) m = c τ ⋅ I d {\displaystyle \rho (\tau )^{m}=c_{\tau }\cdot Id} ρ ( τ ) ρ ( σ ) = c τ , σ ρ ( σ τ ) = c τ , σ ρ ( σ ) ρ ( τ ) {\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma \tau )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma )\rho (\tau )} 。 この新しいスカラーは次を満たす必要があります:
c τ ρ ( σ ) = ρ ( τ ) m ρ ( σ ) = c τ , σ m ρ ( σ ) ρ ( τ ) m = c τ c τ , σ m ρ ( σ ) {\displaystyle c_{\tau }\rho (\sigma )=\rho (\tau )^{m}\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }^{m}\rho (\sigma )\rho (\tau )^{m}=c_{\tau }c_{\tau ,\sigma }^{m}\rho (\sigma )} 、 となることによって 。 c τ , σ m = 1 {\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{m}=1} 同様に、 . c τ , σ n = 1 {\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1} これら2つを合わせると、 となります 。これらの3つの条件を満たす任意の選択肢は 、射影表現を定義します。 c τ , σ gcd ( n , m ) = 1 {\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{{\text{gcd}}(n,m)}=1} ρ ( σ ) , ρ ( τ ) {\displaystyle \rho (\sigma ),\rho (\tau )}
複素数 については、前述のように と仮定できるので 、唯一のパラメータは です 。 c τ = c σ = 1 {\displaystyle c_{\tau }=c_{\sigma }=1} c τ , σ gcd ( n , m ) = 1 {\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{{\text{gcd}}(n,m)}=1}
例えば、 と の3つの条件 が成り立ち ます 。これらの方程式は、 および の任意の単位根に対して で解を持ちます 。より具体的には、 を そのような単位根とすると、次のように定義されます。 n = m {\displaystyle n=m} ρ ( σ ) n = ρ ( τ ) n = I d {\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=\rho (\tau )^{n}=Id} ρ ( τ ) ρ ( σ ) = c τ , σ ρ ( σ ) ρ ( τ ) {\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma )\rho (\tau )} c τ , σ n = 1 {\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1} G L n ( C ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )} n {\displaystyle n} c τ , σ n = 1 {\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1} ζ n {\displaystyle \zeta _{n}}
ρ ( σ ) ↦ ( 1 0 0 ⋯ 0 0 ζ n 0 ⋮ 0 0 ζ n 2 ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 ζ n n − 1 ) ; ρ ( τ ) ↦ ( 0 1 0 0 1 ⋱ ⋮ 0 ⋱ 0 0 ⋱ 1 1 0 ⋯ 0 ) {\displaystyle \rho (\sigma )\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\zeta _{n}&0&&\vdots \\0&0&\zeta _{n}^{2}&&\\\vdots &&&\ddots &0\\0&\cdots &&0&\zeta _{n}^{n-1}\end{pmatrix}}\;\;;\;\;\rho (\tau )\mapsto {\begin{pmatrix}0&1&0&&\\&0&1&\ddots &\\\vdots &&0&\ddots &0\\0&&&\ddots &1\\1&0&\cdots &&0\end{pmatrix}}} 。
どちらの行列も「 -回転」を定義します。 つまり、 は各座標を複素数として個別に回転しますが、 は ベクトルの座標を回転します。特に です 。さらに、 も成り立ちます 。 n {\displaystyle n} ρ ( σ ) {\displaystyle \rho (\sigma )} ρ ( τ ) {\displaystyle \rho (\tau )} ρ ( σ ) n = ρ ( τ ) n = I d {\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=\rho (\tau )^{n}=Id} ρ ( τ ) ρ ( σ ) = ζ n ρ ( σ ) ρ ( τ ) {\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=\zeta _{n}\rho (\sigma )\rho (\tau )}
は代表の選択とは独立であることに注意する 。したがって、上で定義された 単位元 に対する相異なる射影表現は相異なる表現である。 c τ , σ = ρ ( τ ) ρ ( σ ) ρ ( τ ) − 1 ρ ( σ ) − 1 {\displaystyle c_{\tau ,\sigma }=\rho (\tau )\rho (\sigma )\rho (\tau )^{-1}\rho (\sigma )^{-1}} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
巡回群の一般積の射影表現も同様の方法で行われます。
上で述べたように、の射影表現は 多くの場合、フーリエ変換のレンズを通して見られます。 Z / p × Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}
を法とする整数 体を考えます。 ここで は素数であり、 は に値を持つ 上の関数の 次元空間 とします 。 の各 について 、 と 上の を次のように2つの演算子で定義 し ます 。 Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} p {\displaystyle p} p {\displaystyle p} V {\displaystyle V} p {\displaystyle p} Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} C {\displaystyle \mathbb {C} } a {\displaystyle a} Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} T a {\displaystyle T_{a}} S a {\displaystyle S_{a}} V {\displaystyle V}
( T a f ) ( b ) = f ( b − a ) ( S a f ) ( b ) = e 2 π i a b / p f ( b ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b).\end{aligned}}} の式は、 と が整数で あるかのように書きますが、結果は と を 法として の値のみに依存することは容易に分かります 。演算子 は 平行移動ですが、 は周波数空間におけるシフトです（つまり、 の 離散フーリエ変換を 平行移動させる効果があります）。 S a {\displaystyle S_{a}} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} p {\displaystyle p} T a {\displaystyle T_{a}} S a {\displaystyle S_{a}} f {\displaystyle f}
の 任意の と に対して 、演算子 と は 定数倍を除いて可換である ことは簡単に確認できます。 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p} T a {\displaystyle T_{a}} S b {\displaystyle S_{b}}
T a S b = e − 2 π i a b / p S b T a {\displaystyle T_{a}S_{b}=e^{-2\pi iab/p}S_{b}T_{a}} 。 したがって、 の射影表現を次のように 定義できます 。 ρ {\displaystyle \rho } Z / p × Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}
ρ ( a , b ) = [ T a S b ] {\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]} 、 ここで、は 商群 における 作用素の像を表す 。 と は 定数項を除いて可換なので、 は射影表現であることが容易に分かる。一方、 と は 実際には可換ではなく、またそれらの非零倍は可換ではないため、 を の 通常の（線形）表現に持ち上げることはできない 。 [ A ] {\displaystyle [A]} A ∈ G L ( V ) {\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)} P G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {PGL} (V)} T a {\displaystyle T_{a}} S b {\displaystyle S_{b}} ρ {\displaystyle \rho } T a {\displaystyle T_{a}} S b {\displaystyle S_{b}} ρ {\displaystyle \rho } Z / p × Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}
射影表現は忠実なので、 前節の構成によって得られたの 中心拡大 は の像の における逆像に等しい 。これは、 が の形の作用素の群である
ことを意味する。 ρ {\displaystyle \rho } H {\displaystyle H} Z / p × Z / p {\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p} G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {GL} (V)} ρ {\displaystyle \rho } H {\displaystyle H}
e 2 π i c / p T a S b {\displaystyle e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}} に対してである。この群は ハイゼンベルク群 の離散版であり 、次の形式の行列群と同型である。 a , b , c ∈ Z / p {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}
( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} と 。 a , b , c ∈ Z / p {\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}
リー群の射影表現 リー群 の射影表現を研究すると、 その中心拡大の真の表現を考えることになります（ 「群の拡大」の「§ リー群」を 参照）。多くの場合、 被覆群 の表現を考えれば十分です。具体的には、 が連結リー群 の連結被覆である とし、 の 離散中心部分群 に対して が成り立つとします 。（ は の中心拡大の特殊な種類であることに注意 ）。また、 が （おそらく無限次元の） の既約ユニタリ表現であるとします。すると、 シュアーの補題 により、中心部分群 は 恒等式のスカラー倍によって作用します。したがって、射影レベルでは、 は に降下します 。つまり、 のそれぞれに対して、 における の 逆像を選び 、 の射影表現を 次のように
定義できます。 G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} G {\displaystyle G} G ≅ G ^ / N {\displaystyle G\cong {\hat {G}}/N} N {\displaystyle N} G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} G {\displaystyle G} Π {\displaystyle \Pi } G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} N {\displaystyle N} Π {\displaystyle \Pi } G {\displaystyle G} g ∈ G {\displaystyle g\in G} g ^ {\displaystyle {\hat {g}}} g {\displaystyle g} G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} ρ {\displaystyle \rho } G {\displaystyle G}
ρ ( g ) = [ Π ( g ^ ) ] {\displaystyle \rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]} 、 ここで、 は 演算子 の 像を表します 。 は の中心に含まれ 、 の中心は スカラー として作用する ため、 の値は の選択に依存しません 。 [ A ] {\displaystyle [A]} P G L ( V ) {\displaystyle \mathrm {PGL} (V)} A ∈ G L ( V ) {\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)} N {\displaystyle N} G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} [ Π ( g ^ ) ] {\displaystyle \left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]} g ^ {\displaystyle {\hat {g}}}
前述の構成は、射影表現の重要な例となる。後述するバーグマンの定理は、 の あらゆる 既約射影ユニタリ表現が このようにして生じるという基準を与える。 G {\displaystyle G}
射影表現 SO(3) 上記の構成の物理的に重要な例は、 普遍被覆が SU(2) である 回転群 SO(3 )の場合である。SU (2) の表現論 によれば、各次元において SU(2) の既約表現はちょうど1つ存在する 。次元が奇数の場合（「整数スピン」の場合）、表現は SO(3) の通常の表現に至る。 [3] 次元が偶数の場合（「分数スピン」の場合）、表現は SO(3) の通常の表現には至らないが、（上述の結果により） SO(3) の射影表現に至る。このような SO(3) の射影表現（通常の表現に由来しないもの）は「スピノル表現」と呼ばれ、その要素（ベクトル）は スピノル と呼ばれる。
以下で議論する議論によれば、 SO(3) のすべての有限次元既約 射影表現は SU(2) の有限次元既約 通常 表現から得られる 。
射影表現につながる被覆の例 興味深い射影表現を与える被覆群の注目すべき例:
有限次元射影ユニタリ表現 量子物理学では、物理系の 対称性は 典型的には量子 ヒルベルト空間 上のリー群の射影ユニタリー表現 、すなわち連続準同型写像 によって実現される。 ρ {\displaystyle \rho } G {\displaystyle G}
ρ : G → P U ( H ) , {\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),} ここで 、はユニタリ群を の形の演算子で割った商です 。この商を取る理由は、物理的には、ヒルベルト空間において比例する2つのベクトルは同じ物理的状態を表すからです。[つまり、（純粋）状態空間は 単位ベクトル の同値類の集合 であり、2つの単位ベクトルが比例する場合、それらは同値であるとみなされます。] したがって、単位元の倍数であるユニタリ演算子は、実際には物理的状態のレベルでは単位元として機能します。 P U ( H ) {\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})} U ( H ) {\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})} c I , | c | = 1 {\displaystyle cI,\,|c|=1}
の有限次元射影表現から、 の リー代数の 射影ユニタリ表現が得られる 。有限次元の場合、トレースが ゼロである 各 の代表を選択するだけで、リー代数表現を「逆射影化」することが常に可能である。 [4]準 同型定理 を考慮すると 、 自身を逆射影化することは可能であるが、 の 普遍被覆を通過するという犠牲を払うことになる 。 [5] つまり、 のすべての有限次元射影ユニタリ表現は、 このセクションの冒頭で述べた手順によって、 の通常のユニタリ表現から生じる。 G {\displaystyle G} ρ ∗ {\displaystyle \rho _{*}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G {\displaystyle G} ρ ∗ {\displaystyle \rho _{*}} ρ ∗ ( X ) {\displaystyle \rho _{*}(X)} ρ {\displaystyle \rho } G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}}
具体的には、リー代数表現はトレースゼロの代表を選択することで逆射影化されているため、 の有限次元射影ユニタリ表現はすべて、 の 行列式1 の通常ユニタリ表現 （すなわち、 の各元が 行列式1を持つ作用素として作用する表現） から生じる。 が半単純である場合、 のすべての元は 交換子の線型結合となり、その場合、の すべての 表現は トレースゼロを持つ作用素によって表される。したがって、半単純な場合、 の関連する線型表現は 一意である。 G {\displaystyle G} G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}}
逆に、 が の普遍被覆の既約ユニタリ表現である場合 、 シュアー の 補題 より 、 の中心は 恒等表現のスカラー倍として作用する。したがって、射影レベルでは、 は 元の群 の射影表現に降下する。したがって、 の既約射影表現と の 既約かつ行列式1の通常表現 との間には、自然な一対一対応が存在する 。（半単純な場合、「行列式1」という修飾語は省略可能である。その場合、 のすべての表現は 自動的に行列式1となるからである。） ρ {\displaystyle \rho } G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} G {\displaystyle G} G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} ρ {\displaystyle \rho } G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}}
重要な例として、普遍被覆が SU(2)である SO(3) の場合が挙げられます 。リー代数 は半単純です。さらに、SU(2)は コンパクト群 であるため、その任意の有限次元表現は、その表現がユニタリとなるような内積を持ちます。 [6] したがって、SO(3)の既約 射影表現は、SU(2)の既約 通常 表現と一対一に対応します 。 s u ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {su} (2)}
無限次元射影ユニタリ表現：ハイゼンベルクの場合 前節の結果は無限次元の場合には成り立たない。これは単に、 の軌跡が典型的には明確に定義されていないためである。実際、この結果は成り立たない。例えば、 を運動し 、ヒルベルト空間 に作用する 量子粒子の位置空間と運動量空間における並進を考えてみよう 。 [7] これらの演算子は以下のように定義される。 ρ ∗ ( X ) {\displaystyle \rho _{*}(X)} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} L 2 ( R n ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
( T a f ) ( x ) = f ( x − a ) ( S a f ) ( x ) = e i a x f ( x ) , {\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}} すべての に対して となる。これらの演算子は 、上記の「最初の例」のセクションで説明した 演算子の連続バージョンに過ぎない。そのセクションと同様に、 の 射影 ユニタリ表現を 定義できる 。 a ∈ R n {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}} T a {\displaystyle T_{a}} S a {\displaystyle S_{a}} ρ {\displaystyle \rho } R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
ρ ( a , b ) = [ T a S b ] , {\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],} なぜなら、演算子は 位相因子 まで可換であるからである。しかし、位相因子をどのように選んでも通常のユニタリ表現にはならない。なぜなら、位置の移動は運動量の移動と可換ではないからである（そして、非ゼロの定数を乗じても、これは変わらない）。しかし、これらの演算子は、 の1次元中心拡大である ハイゼンベルク群 の通常のユニタリ表現から来ている。 [8] （ ストーン・フォン・ノイマンの定理 も参照のこと 。） R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
無限次元射影ユニタリ表現：バーグマンの定理 一方、 バーグマンの 定理は、の 第二 リー代数コホモロジー 群が 自明であれば、 のすべての射影ユニタリ表現は 普遍被覆に移った後で逆射影化できることを述べています。 [9] [10] より正確には、 リー群 の射影ユニタリ表現から始めるとします 。すると、定理は を の普遍被覆の 通常のユニタリ表現に持ち上げることができることを述べています 。これは、 が被覆写像の核の各要素を単位元 のスカラー倍に写像することを意味します。そのため、射影レベルでは は に降下し 、 の関連する射影表現は に等しくなります 。 H 2 ( g ; R ) {\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G {\displaystyle G} ρ {\displaystyle \rho } G {\displaystyle G} ρ {\displaystyle \rho } ρ ^ {\displaystyle {\hat {\rho }}} G ^ {\displaystyle {\hat {G}}} G {\displaystyle G} ρ ^ {\displaystyle {\hat {\rho }}} ρ ^ {\displaystyle {\hat {\rho }}} G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} ρ {\displaystyle \rho }
定理は群には適用されない （前の例が示すように）。これは、付随する可換リー代数の第二コホモロジー群が非自明であるためである。この結果が適用される例としては、半単純群（例えば SL(2,R) ）と ポアンカレ群が挙げられる。この最後の結果は 、ウィグナーによる ポアンカレ群の射影ユニタリ表現の
分類 において重要である。 R 2 n {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
バーグマンの定理の証明は、 線型表現と射影表現に関する上記の節と同様に構築されたの 中心拡大 を直積群 の部分群として考えることによって行われる。 ここで はが 作用する ヒルベルト空間であり、 は 上のユニタリ作用素の群である 。この群 は次のように定義される。 H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} G × U ( H ) {\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ρ {\displaystyle \rho } U ( H ) {\displaystyle U({\mathcal {H}})} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} H {\displaystyle H}
H = { ( g , U ) ∣ π ( U ) = ρ ( g ) } . {\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.} 前のセクションと同様に、によって与えられる 写像は、 の核が と なる 射影準同型写像であり 、 は の中心拡大となる。また、前のセクションと同様に、 と設定することにより の 線型表現を定義できる 。すると、 は という意味で のリフトとなり 、は から へ の商写像となる 。 ϕ : H → G {\displaystyle \phi :H\rightarrow G} ϕ ( g , U ) = g {\displaystyle \phi (g,U)=g} { ( e , c I ) ∣ | c | = 1 } , {\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} σ {\displaystyle \sigma } H {\displaystyle H} σ ( g , U ) = U {\displaystyle \sigma (g,U)=U} σ {\displaystyle \sigma } ρ {\displaystyle \rho } ρ ∘ ϕ = π ∘ σ {\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma } π {\displaystyle \pi } U ( H ) {\displaystyle U({\mathcal {H}})} P U ( H ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})}
重要な技術的ポイントは、が リー 群であることを示すことです 。（この主張はそれほど自明ではありません。なぜなら、 が無限次元の場合、群 は 無限次元 位相群 となるからです。）この結果が確立されると、 が の1次元リー群中心拡大であること、したがって の リー代数 も の1次元中心拡大であることがわかります （ここで、「1次元」という形容詞は と を指すのではなく、それらの対象から と への射影写像の核を指すことに注意してください ） 。 しかし 、コホモロジー群は の1次元（前述の意味で）中心拡大の空間と 同一視できます 。 が自明であれば、 のすべての1次元中心拡大は 自明です。その場合、は と実数直線のコピーの 直和に過ぎません 。したがって、 の普遍被覆 はの普遍被覆と 実数直線のコピーの 直積に過ぎません。次に、 を に持ち上げ（被覆写像と合成することにより）、最終的にこの持ち上げ を の 普遍被覆に制限することができます 。 H {\displaystyle H} H {\displaystyle {\mathcal {H}}} G × U ( H ) {\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} H {\displaystyle H} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} H {\displaystyle H} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} G {\displaystyle G} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} H 2 ( g ; R ) {\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} H 2 ( g ; R ) {\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} H ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} H {\displaystyle H} G {\displaystyle G} σ {\displaystyle \sigma } H {\displaystyle H} H ~ {\displaystyle {\tilde {H}}} G ~ {\displaystyle {\tilde {G}}} G {\displaystyle G}
参照
注記 ^ ギャノン 2006年、176～179頁。 ^ シュール 1911 ^ ホール 2015 セクション 4.7 ^ ホール 2013 提案 16.46 ^ ホール 2013 定理 16.47 ^ Hall 2015 定理4.28の証明 ^ ホール 2013 例 16.56 ^ ホール 2013 第 14 章演習 6 ^ バーグマン 1954 ^ シムズ 1971
参考文献 
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{n}]{c}}}\rho (\sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b744005c1c488c545757d98259616929754d845)
![{\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc89d47dfef459f0d1481139197134e2c5d3812)
![{\displaystyle [A]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eaa334597b1861f1b08ca0c8fecb3858ebcb12)
![{\displaystyle \rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2d3ad64068e9bda91e69b6e942b4060e3f6828)
![{\displaystyle \left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3ba4caf2690a0c1fe73cfe8be666289e594f59)
![{\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff7ebe4089cf42db3873f1c9266b0267b9101490)
