クアンターレ

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数学において、量子体（クォンタイル）は、局所（点自由位相）や環論および関数解析（C*-代数、フォン・ノイマン代数）からのイデアルの様々な乗法格子を一般化する、特定の半順序代数構造である。^[¹^]量子体は、完全剰余半群と呼ばれることもある。

概要

クォンタルとは、その乗算と呼ばれる結合二項演算を備えた完全な格子であり、分配法則を満たす。 $Q$ $\ast \colon Q\times Q\to Q$

x*\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}(x*y_{i})

そして

\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)*{x}=\bigvee _{i\in I}(y_{i}*x)

全てのと（ここでは任意の添え字集合）に対して成り立つ。その乗法に単位元を持つとき、量子体は単位元となる。 $x,y_{i}\in Q$ $i\in I$ $I$ $e$

x*e=x=e*x

すべてのに対してとなる。この場合、量子体はその乗法に関して自然にモノイドとなる。 $x\in Q$ $\ast$

単位量体は、完全な結合半格子のカテゴリSup内のモノイドとして同値に定義できます。

単位量体は、結合と乗算に関して冪等な半環です。

単位元が基礎格子の最上位要素である単位量子は、厳密に両側性（または単に整数）であると言われます。

可換量子とは、乗法が可換である量子のことである。乗法がmeet演算で与えられるフレームは、厳密に両側可換な量子の典型的な例である。もう一つの単純な例として、単位区間とその通常の乗法があげられる。

べき等量子とは、その乗算がべき等である量子のことである。フレームは、厳密に2辺のべき等量子と同じである。

反転量子とは反転を持つ量子のことである

(xy)^{\circ }=y^{\circ }x^{\circ }

結合を保持する:

{\biggl (}\bigvee _{i\in I}{x_{i}}{\biggr )}^{\circ }=\bigvee _{i\in I}(x_{i}^{\circ }).

量子準同型写像は、すべてのおよびに対して結合と乗算を保存する写像である。 $f\colon Q_{1}\to Q_{2}$ $x,y,x_{i}\in Q_{1}$ $i\in I$

f(xy)=f(x)f(y),

f\left(\bigvee _{i\in I}{x_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}f(x_{i}).

^ Paseka, Jan; Slesinger, Radek (2018). 「クォンタル値超代数の表現定理」. 2018 IEEE 第48回多値論理国際シンポジウム (ISMVL) . pp. 91– 96. arXiv : 1810.09561 . doi : 10.1109/ISMVL.2018.00024 . ISBN 978-1-5386-4464-5– IEEE Xplore 経由。

CJ Mulvey (2001) [1994]、「Quantale」、数学百科事典、EMS Press [1]
J. Paseka, J. Rosicky, Quantales, B. Coecke , D. Moore, A. Wilce (編), Current Research in Operational Quantum Logic: Algebras, Categories and Languages , Fund. Theories Phys., vol. 111, Kluwer Academic Publishers, 2000, pp. 245–262.
M. ピアッツァ、M. カステラン、「クォンタレスと構造規則」、論理計算ジャーナル、6 (1996)、709–724。
K. Rosenthal, Quantales and Their Applications、Pitman Research Notes in Mathematics Series 234、Longman Scientific & Technical、1990 年。

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数学において、量子体（クォンタイル）は、局所（点自由位相）や環論および関数解析（C*-代数、フォン・ノイマン代数）からの様々なイデアルの乗法格子を一般化する、特定の半順序代数構造である。^{[1]量子体は、}完全剰余半群と呼ばれることもある。