絶対値

Distance from zero to a number

実数の絶対値関数のグラフ

数値の絶対値は、ゼロからの距離と考えることができます。

数学において、実数の絶対値または絶対値はと表記され、符号とは無関係なの非負値です。つまり、が正の数であれば、 が負の数であれば（この場合、負にすると正になります）、 となります。例えば、3 の絶対値は3 であり、 -3 の絶対値も 3です。数の絶対値は、ゼロからの距離と考えることができます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|=-x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle |0|=0}$

実数の絶対値の一般化は、様々な数学的設定で見られます。例えば、複素数、四元数、順序環、体、ベクトル空間にも絶対値が定義されています。絶対値は、様々な数学的・物理学的文脈において、大きさ、距離、ノルムといった概念と密接に関連しています。

用語と表記

1806 年、ジャン＝ロベール・アルガンは、フランス語で測定単位を意味する用語「モジュール」を、特に複素数の絶対値について導入しました^{[1] [2] 。そして、これは 1866 年にラテン語の同義語である}modulusとして英語に借用されました^[1]。絶対値という用語は、フランス語では少なくとも 1806 年から^[3]、英語では 1857 年からこの意味で使用されています^[4] 。両側に縦線が付いた表記| x |は、 1841 年にカール・ワイエルシュトラスによって導入されました^[5]。絶対値は、数値^[1]や大きさとも呼ばれます^[1]。の絶対値は、一部の数学出版物でも表記されています^[6]。また、スプレッドシート、プログラミング言語、計算ソフトウェア パッケージでは、 の絶対値は一般に、または類似の式で表されます^{[7]。これは、}高水準プログラミング言語の初期の頃からずっとそうでした^[8]。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {abs} x}$ ${\textstyle x}$abs(x)

縦棒表記は、他の多くの数学的文脈でも使用されます。たとえば、集合に適用された場合、それはその基数 を表します。行列に適用された場合、それはその行列式を表します。^[9]縦棒は、絶対値の概念が定義されている代数的オブジェクト、特にノルム除算代数の要素、たとえば実数、複素数、四元数に対してのみ絶対値を表します。密接に関連しているが異なる表記法として、内のベクトルのユークリッドノルム^[10]または補足ノルム^{[11]に縦棒を使用する方法がありますが}、下付き文字(それぞれと)の付いた二重の縦棒の方がより一般的で曖昧さの少ない表記法です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

定義と特性

実数

任意の実数 ${\displaystyle x}$に対して、の絶対値または絶対値は で表され、量の両側に縦線が付き、次のように定義されます^[12] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ $${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

したがって、の ${\displaystyle x}$絶対値は常に正の数かゼロのいずれかであり、負の数になることはありません。自身が負の数（）のとき、その絶対値は必ず正の数（）になります。^[13] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle |x|=-x>0}$

解析幾何学の観点から見ると、実数の絶対値は実数直線に沿ったゼロからの距離であり、より一般的には、2つの実数の差の絶対値（それらの絶対差）はそれらの間の距離です。^{[13]数学における抽象的な}距離関数の概念は、差の絶対値の一般化と見ることができます。^[14]下の§距離を参照してください。

平方根記号は唯一の正の 平方根を表すので、正の数に適用すると、^[15] } | x | = x 2 . {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.} となります。 これは上記の定義と同等であり、実数の絶対値の代替定義として使用できます。^[16]

絶対値には以下の4つの基本的な性質（、は実数）があり、これらはこの概念を他の領域に一般化するために用いられる。^[17] ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

| | ≥ 0 {\displaystyle |a|\geq 0}	非否定性[17]
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	正定値性[17]
${\displaystyle |ab|=\left|a\right|\left|b\right|}$	乗法性[17]
| a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}	劣加法性、特に三角不等式[17]

非負性、正定値性、乗法性は定義から容易に明らかです。劣加法性が成り立つことを確認するには、まず （符号は結果が正になるように選ばれている）に注目してください。そしてなので、のどちらがの値であっても、すべての実数に対してが成り立ちます。したがって、 は期待どおりです。 ${\displaystyle |a+b|=s(a+b)}$ ${\displaystyle s=\pm 1}$ ${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$

以下に、いくつかの追加の有用な特性を示します。これらは定義から直接導かれるもの、あるいは上記の4つの基本特性から導かれるものです。

${\displaystyle {\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|}$	冪等性（絶対値の絶対値は絶対値である）
${\displaystyle \left|-a\right|=|a|}$	均一性（グラフの反射対称性） [18]
${\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}$	識別不能なものの同一性（正定値性と同等）
${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$	三角不等式（劣加法性と同等）
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\ }$（もし） ${\displaystyle b\neq 0}$	除算の保存 – 乗法と同等[19]
${\displaystyle |a-b|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}}$	逆三角不等式– 劣加法性と同等[19]

不等式に関する他の2つの有用な性質は次のとおりです。^[19]

${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ }$または ${\displaystyle a\geq b}$

これらの関係は、絶対値を含む不等式を解くのに使用できます。例えば、

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

絶対値は「ゼロからの距離」として、任意の実数間の絶対差、つまり実数の 標準的な測定基準を定義するために使用されます。

複素数

複素数 ${\displaystyle z}$の絶対値は、原点からの距離 ${\displaystyle r}$ です。また、図から、複素共役数とその複素共役数は同じ絶対値を持つこともわかります。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$

複素数は の順序付けがされていないため、実数の絶対値について上で示した定義を複素数に直接適用することはできません。ただし、実数の絶対値を 0 からの距離として幾何学的に解釈することは、一般化できます。複素数の絶対値は、複素平面上の対応する点の原点からのユークリッド距離によって定義されます。これは、ピタゴラスの定理を使用して計算できます。およびが実数である任意の複素数に対して 、の絶対値または係数はと表され、は^[20]およびのピタゴラス加算によって定義されます。ここで、および はそれぞれの実部と虚部を表します。虚部が 0 のとき、これは実数の絶対値の定義と一致します。^[20] $${\displaystyle z=x+iy,}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|}$ $${\displaystyle |z|={\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)=x}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

複素数をその絶対値が極形式で表すと、 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta },}$ ${\displaystyle |z|=r.}$

任意の複素数とその複素共役の積は絶対値が同じなので、常に非負の実数 となるため、複素数の絶対値は の平方根となり、その平方根は の 絶対平方または平方係数と呼ばれる。^{[20]これは、実数}に対する別の定義を一般化したものである。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$$ ${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$

複素絶対値は、実絶対値で上記に示した4つの基本的な性質を共有しています。恒等式は乗法性の特殊なケースであり、それ自体で有用な場合が多いです。^[20] ${\displaystyle |z|^{n}=|z^{n}|}$

絶対値関数

実数の絶対値関数のグラフ

異なる次数の三次関数による絶対値の合成

実絶対値関数は、あらゆる点で連続である。x = 0を除くあらゆる点で微分可能である。(-∞, 0] 区間では単調減少し、 [ 0 , + ∞)区間では単調増加する。^[21]実数とその反数は絶対値が同じであるため、実絶対値関数は偶関数であり、したがって逆関数ではない。^[22]実絶対値関数は、区分線形凸関数である。^[18]

実数と複素数の両方において、絶対値関数はべき等です(つまり、任意の絶対値の絶対値はそれ自身になります)。

符号関数との関係

実数の絶対値関数は、その符号に関係なく実数値を返します。一方、符号関数（またはsignum関数）は、実数値の値に関係なく符号を返します。以下の式は、これら2つの関数の関係を示しています。

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

または

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

そしてx ≠0の場合、

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

最大関数と最小関数との関係

とすると、最小関数と最大関数との間に次の関係が成り立ちます。 ${\displaystyle s,t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |t-s|=-2\min(s,t)+s+t}$

そして

${\displaystyle |t-s|=2\max(s,t)-s-t.}$

それぞれのケースを個別に考慮することで、式を導き出すことができます。 ${\displaystyle s>t}$ ${\displaystyle t>s}$

最後の式からは、 も導き出すことができます。 ${\displaystyle |t|=\max(t,-t)}$

デリバティブ

実絶対値関数は、x ≠0のあらゆる値に対して導関数を持ち、その導関数は符号関数に等しいステップ関数で与えられる。ただし、 x = 0では絶対値関数は微分不可能である。^{[23] [24]} $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\left|x\right|}{dx}}&={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0\end{cases}}\\[7mu]&=\operatorname {sgn} x\quad {\text{for }}x\neq 0.\end{aligned}}}$$

実絶対値関数は、導関数が存在しない大域的最小値を達成する連続関数の例です。

x = 0における | x |の サブ微分は区間 [−1, 1]である。^[25]

複素絶対値関数はどこでも連続だが、コーシー・リーマン方程式に違反するため、どこでも複素微分可能ではない。 [ ^23]

| x |のxに関する 二階微分は 、ゼロ以外のあらゆる場所でゼロとなる。ゼロの場合はゼロは存在しない。一般化された関数として、二階微分はディラックのデルタ関数の2倍としてとることができる。

反微分

実絶対値関数の不定積分は

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

ここで、Cは積分の任意定数です。これは複素原始積分ではありません。なぜなら、複素原始積分は複素微分可能（正則）な関数に対してのみ存在し、複素絶対値関数は複素原始積分可能ではないからです。

組成物の派生

次の 2 つの式は連鎖律の特殊なケースです。

${\displaystyle {d \over dx}f(|x|)={x \over |x|}(f'(|x|))}$

絶対値が関数内にある場合、そして

${\displaystyle {d \over dx}|f(x)|={f(x) \over |f(x)|}f'(x)}$

別の関数が絶対値の範囲内にある場合。最初のケースでは、導関数は常に で不連続となり、 2番目のケースでは で不連続となります。 ${\textstyle x=0}$ ${\textstyle f(x)=0}$

距離

絶対値は距離の概念と密接に関連しています。前述のように、実数または複素数の絶対値は、実数の場合は実数直線上、複素数の場合は複素平面上における、その数から原点までの距離です。より一般的には、2つの実数または複素数の差の絶対値は、それらの間の距離です。

ユークリッドn空間における2点間の標準ユークリッド距離は次のように定義される: ^[14] $${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$$ $${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$$ $${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$$

これは一般化として見ることができる。なぜなら、と実数、すなわち 1 次元空間では、絶対値の別の定義によれば、 ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle b_{1}}$

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

および複素数、すなわち2次元空間では、 ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$ ${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$

${\displaystyle |a-b|}$	${\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}$
	${\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}$
	${\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

上記は、実数と複素数の「絶対値」距離が、それぞれ 1 次元と 2 次元のユークリッド空間として考えた結果として継承される標準ユークリッド距離と一致することを示しています。

2 つの実数または複素数の差の絶対値の特性、すなわち非負性、識別不能なものの同一性、対称性、および上記に示した三角不等式は、次のような距離関数のより一般的な概念の根拠となると考えられます。

集合X  ×  X上の実数値関数dが以下の4つの公理を満たすとき、X上の計量関数（または距離関数） と呼ばれる： ^[26]

${\displaystyle d(a,b)\geq 0}$	非否定性
${\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b}$	識別不能なものの正体
${\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}$	対称
${\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}$	三角不等式

一般化

オーダーメイドリング

実数に対する上記の絶対値の定義は、任意の順序付き環に拡張できる。すなわち、  aが順序付き環Rの元である 場合、aの 絶対値（| a |と表記）は次のように定義される。ここで、−aはaの 加法逆元、0は加法恒等元、<と≥は環の順序に関して通常の意味を持つ。^[27] $${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0.\end{array}}\right.}$$

フィールド

実数の絶対値の 4 つの基本的な特性は、次のように、絶対値の概念を任意の分野に一般化するために使用できます。

体F上の実数値関数 vは、次の4つの公理を満たすとき絶対値（絶対値、絶対値、値、評価とも呼ばれる）^{[28] [a]}と呼ばれる。 

${\displaystyle v(a)\geq 0}$	非否定性
${\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }$	正定値性
${\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}$	乗法性
${\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$	劣加法性または三角不等式

ここで、0はFの 加法的恒等式を表す。正定値性と乗法的性質から、v ( 1 )=1が成り立つ。ここで、1はFの 乗法的恒等式を表す。上記で定義した実数および複素数の絶対値は、任意体における絶対値の例である。

vがF上の絶対値である 場合、 d ( a ,  b ) = v ( a − b )で定義されるF  ×  F上の関数 d は計量であり、以下は同値です。

• d はF内の すべてのx、y、zに対して超計量不等式を満たします。 ${\displaystyle d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$はRで 有界です。
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$すべての について。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$すべてのために。 ${\displaystyle a\in F}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$すべてのために。 ${\displaystyle a,b\in F}$

上記の条件のいずれか（つまりすべて）を満たす絶対値は非アルキメデス的であると言われ、そうでない場合はアルキメデス的であると言われます。^[29]

ベクトル空間

ここでも、実数の絶対値に関する基本的な性質を少し修正するだけで、この概念を任意のベクトル空間に一般化することができます。

体 F上のベクトル空間 V上の実数値関数‖ · ‖は、次の公理を満たす場合 、絶対値と呼ばれますが、通常はノルムと呼ばれます。

Fの すべてのa、およびVのすべての v、uについて 、

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|\geq 0}$	非否定性
${\displaystyle \|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0}$	正定値性
${\displaystyle \|a\mathbf {v} \|=\left|a\right|\left\|\mathbf {v} \right\|}$	絶対的な均質性または正のスケーラビリティ
${\displaystyle \|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|}$	劣加法性または三角不等式

ベクトルのノルムは、長さまたは大きさとも呼ばれます。

ユークリッド空間 の場合、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}$

はユークリッドノルムと呼ばれるノルムです。実数を1次元ベクトル空間 と見なすと、絶対値はノルムとなり、任意のpに対してpノルム（L ^p空間 を参照） となります。実際、絶対値は 上の「唯一の」ノルムであり、 上の任意のノルム‖ · ‖に対して、‖ x ‖ = ‖ 1 ‖ ⋅ | x |が成り立つという意味です。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

複素絶対値は内積空間におけるノルムの特殊なケースであり、複素平面をユークリッド平面 と同一視した場合のユークリッドノルムと同一である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

合成代数

あらゆる合成代数Aには、共役と呼ばれる反転 x → x *が存在する。Aにおける元xとその共役元x * の積はN ( x ) = xx *と表され、 x のノルムと呼ばれる。

実数、複素数、四元数はすべて、定二次形式によってノルムが与えられる合成代数である。これらの除算代数における絶対値は、合成代数ノルムの平方根によって与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

一般に、合成代数のノルムは、定値ではなく、零ベクトルを持つ二次形式となることがある。しかし、除算代数の場合と同様に、元x が非零のノルムを持つ場合、xにはx */ N ( x )で与えられる乗法逆元が存在する。

参照

• 最小絶対値

注記

1. 評価値がこの意味で使われることは稀です。通常、評価値は絶対値の逆数の対数です。

脚注

1. Oxford English Dictionary、改訂草稿、2008年6月
2. Nahin、O'Connor、Robertson、およびfunctions.Wolfram.com。フランス語の意味については、Littré、1877を参照。
3. Lazare Nicolas M. Carnot、Mémoire sur la relationship qui presente entre les distances eachs de cinq point quelconques pris dans l'espace、p. Google ブックスで 105
4. ジェームズ・ミル・パース『解析幾何学の教科書』（インターネットアーカイブ）。オックスフォード英語辞典第2版における最古の引用は1907年のものである。「絶対値」という用語は「相対値」と対比的に用いられることもある。
5. ニコラス・J・ハイアム『数学科学のためのライティングハンドブック』SIAM. ISBN 0-89871-420-6、25ページ
6. シーゲル（1942年）。
7. Bluttman (2015)、135ページ。
8. クヌース（1962年）、43、126頁。
9. サージェント（2025）、10頁。
10. スピヴァック（1965年）、1ページ。
11. ムンクレス（1991）、4ページ。
12. メンデルソン（2008年）、2ページ。
13. Smith (2013)、8ページ。
14. Tabak (2014)、150ページ。
15. ヴァールベリ、パーセル、リグドン (2007)、p. 13.
16. スチュワート（2001）、p.A5。
17. Shechter (1997)、259ページ。
18. ヴァールバーグ、パーセル、リグドン (2007)、p. 32.
19. Varberg、Purcell、Rigdon（2007年）、11ページ。
20. ゴンサレス (1992)、p. 19.
21. ヴァールベリ、パーセル、リグドン (2007)、p. 84.
22. バロンティら。 （2016）、p. 37.
23. "Weisstein, Eric W. 絶対値。MathWorld – Wolfram Web リソースより".
24. バートル（2011）、163頁。
25. Curnier (1999)、31～32ページ。
26. これらの公理は最小ではありません。たとえば、非負性は他の 3 つから導き出されます: 0 = d ( a ,  a ) ≤ d ( a ,  b ) + d ( b ,  a ) = 2 d ( a ,  b )。
27. Mac Lane & Birkhoff (1999)、264ページ。
28. シェクター（1997）、260ページ。
29. シェクター（1997年）、260-261頁。

参考文献

• バロンティ、マルコ。デ・マリ、フィリッポ。ファン・デル・プッテン、ロバータス。ベンチュリ、アイリーン (2016)。微積分の問題。スプリンガー。土井：10.1007/978-3-319-15428-2。ISBN 978-3-319-15428-2。
• バートル、シャーバート (2011).実解析入門（第4版）. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-43331-6。
• ブラットマン、ケン (2015). 「符号を無視する」Excelの数式と関数 For Dummies . John Wiley & Sons. p. 135. ISBN 9781119076780。
• Curnier, A. (1999). Wriggers, Peter; Panatiotopoulos, Panagiotis (eds.). 接触問題における新展開. Springer. ISBN 3-211-83154-1。
• ゴンザレス、マリオ・O. (1992). 古典複素解析. CRC Press. p. 19. ISBN 9780824784157。
• Knuth, DE (1962). 「招待論文：コンパイラ作成の歴史」. 1962年ACMナショナルカンファレンス議事録. ACM Press. doi : 10.1145/800198.806098 .
• マック・レーン、サンダース、バーコフ、ギャレット (1999).代数学. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-1646-2。
• メンデルソン、エリオット（2008年）『シャウムの初級微積分概論』マグロウヒル・プロフェッショナル社、ISBN 978-0-07-148754-2。
• マンクレス、ジェームズ (1991). 『多様体上の解析』 ボルダー、コロラド州: ウェストビュー. ISBN 0201510359。
• サージェント、マレーIII（2025年1月22日）「数学のほぼ平文符号化」（PDF）（Unicodeレポート28） . 2025年2月23日閲覧。
• シェクター、エリック（1997年）『分析とその基礎ハンドブック』アカデミック出版、ISBN 0-12-622760-8。
• シーゲル、カール・ルートヴィヒ (1942). 「多変数保型関数に関するノート」Annals of Mathematics . 第2集. 43 (4): 613– 616. doi :10.2307/1968953. JSTOR  1968953. MR  0008095.
• スミス、カール (2013). 『プレカルキュラス：グラフ作成と問題解決への関数型アプローチ』 Jones & Bartlett Publishers. p. 8. ISBN 978-0-7637-5177-7。
• スピヴァック、マイケル（1965年）『多様体上の微積分』ボルダー、コロラド州：ウェストビュー、ISBN 0805390219。
• スチュワート、ジェームズ・B. (2001). 『微積分：概念と文脈』 オーストラリア：ブルックス/コール社. ISBN 0-534-37718-1。
• タバック、ジョン（2014）『幾何学：空間と形態の言語』数学ライブラリ「Facts on File」、Infobase Publishing、ISBN 978-0-8160-6876-0。
• ヴァールバーグ、デール E.パーセル、エドウィン J.リグドン、スティーブン E. (2007)。微積分学 (第 9 版)。ピアソン・プレンティス・ホール。 p. 11.ISBN​ 978-0131469686。
• ナヒン、ポール・J.；『An Imaginary Tale』、プリンストン大学出版局、（ハードカバー、1998年）。ISBN 0-691-02795-1。

• JJ オコナーとEF ロバートソン。 「ジャン・ロベール・アルガン」。

外部リンク

• 「絶対値」.数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
• PlanetMathの絶対値。
• ワイスタイン、エリック・W.「絶対値」。マスワールド。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Absolute_value&oldid=1315884451"